必要探路明方向 充分证明解难题——对2023年高考甲卷理科第21题的拓展.pdf

必要探路明方向充分证明解难题 对 年高考甲卷理科第 题的拓展福 建 省 福 清 第 三 中 学（）福建教育学院数学教育研究所（）何灯福 建 省 福 清 第 一 中 学（）赵秀珍 试题 已知 （），（，）（）当 时，讨论 （）的单调性；（）若 （），求 的取值范围本题以三角函数与一次函数为基本素材，主要考查函数的单调性、最值，不等式等基础知识；考查逻辑推理能力，运算求解能力和创新能力等；考查函数与方程思想，化归与转化思想，数形结合思想，分类与整合思想等；导向对数学抽象，数学建模，数学运算核心素养的关注；体现综合性和创新性由问题（）可得不等式 ，此不等式结构简洁优美，引发笔者对其进行探究，通过将不等式中的数值 替换为参数 （），建立了如下推广结论定理 （），（，），若（），则 的取值范围为（，定理的证明需要如下两个引理引理 设 ，则（）引理 设，则 （）引理 证明：令 （）（），得 （），易证 ，从而 （），得 （）关于 在（，）上单调递增，（）（），得证 （）定理证明：令 （）（），（），由于（）在（，）上恒成立，则 （）可求 （）（），从而 （），得 下面证明 时 （）成立由 ，要证明 （）成立，只需证明 （）成立 令（）（）（），由引理 得 （）（）可求 （）（），（），（）（）（）由 于 ，则 ，由引理 得 ，结 合 引 理 得 （），所以 （），（）关于 在 ，）上单调递增，得 （）（），则（）关于 在 ，）上单调递增，可得 （）（），从而证得 （）成立，进而证明（）成立综上，的取值范围为（，评析：定理的证明，借助“端点效应”，猜出 的取值范围，实现了必要性探路，在此基础上，验证充分性，极大的简化了计算 在充分性的验证过程中，（）是一个双变元函数，以中学数学研究 年第 期 为主元借助导数工具研究其单调性，发现较为困难，而以 为主元进行研究，则较易入手 反映了在解题过程中，多角度思考问题，能够更深刻的理解问题本质，可能会有意想不到的收获参考文献 匡继昌 常用不等式（第四版），济南：山东科学技术出版社，（）：檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻檻 三角形垂心的一个定理及其运用江西省抚州市第二实验学校（）洪海燕定理设 的垂心为，外接圆半径为，则 ，图 证明：当 为锐角三角形时，如图，作 于，于 由 于 ，故 在 中，在 中，代入上式得 同理 ，图 当 为钝角三角形时，不妨设角 为钝角，如图所示，易知 （），当 为直角三角形时，不妨设角 ，如图，可验证定理的结论仍然成图 立 所以定理对任意 都成立如果 为非直角三角形，定理的结论可以写成 形 式 上 与 正 弦 定 理类似以下略举数例说明定理的应用例 设 的垂心为，外接圆半径为，若 槡 ，则角 解：根据定理有 ，而 槡 ，故 槡，由此可知 或 例（三角形垂心与外心之间的关系定理）三角形任意一个顶点到垂心的距离，等于外心到该顶点对边的距离的 倍图 证明：如图 ，已知，分别是 的垂心和外心，于，于 ，于 即要证：，设 外接圆的半径为 ，由定理知 槡，根据正弦定理有 ，从而 槡 槡 又在 中，槡 槡 槡 所以 同理有 ，例 设锐角 的外心与垂心分别为，外接圆半径与内切圆半径分别为 ，求证 图 （）证明：如图 ，过外心分别作 于，于 ，于 由例 知 （），故以下只要证明 即可再设 的面积为 年第 期中学数学研究