斐波那契数列主题探究教学设计专项方案讲解.doc

《斐波那契数列》主题探究教学设计方案

一、概述
本主题为人教课标必修5第二章——《数列》中关于有阅读与思考内容．
本主题是在已有数列基本知识基本上，摸索斐波那契数列发展历史、实际生活中斐波那契数列，以及斐波那契数列某些特性．斐波那契数列与实际生活联系比较紧密，有着广泛应用，并且自身也有许多特殊性质．使学生体会数学科学价值、应用价值，领略数学美学价值，从而提高自身文化素质和创新意识．
二、教学目的分析
1．进一步巩固数列有关知识，加深对数列结识，能在详细问题情境中，发现数列关系，并能用关于知识解决相应问题．
2．初步理解数学科学与人类社会发展之间互相作用，体会数学科学价值、应用价值，开拓视野，激发学习数学兴趣，提高自身文化素养和创新意识．
三、学习者特性分析
学生已经掌握数列、等差、等比数列知识，能在详细情境问题中，发现数列中特殊关系：等差或等比关系，能用有关知识解决相应问题．某些学生有一定自主学习能力、协作学习能力．但应用意识不强，创新能力不强，因而需要一定指引．
学生具备一定计算机运用能力，可以通过网络搜索有关资源，能借助计算机解决相应问题．
四、教学方略选取与设计
重要采用网络探究，小组协作方式，在复习数列有关知识，然后逐渐探究斐波那契数列历史、应用、特性，教师做好指引、协调工作，对于学生探究结论予以相应评价．
五、教学资源与工具设计
1． 人教A版普通高中课程原则实验教科书必修5；
2． 网络课件；
3． 斐波那契数列计算器；
4． 网络型多媒体教室．
六、教学过程
本主题共需1个学时．详细安排如下：
（一）问题引入
由学生计算，教师予以相应指引．
如果一对兔子每月能生1对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后第三个月里，又能生1对小兔子．假定在不发生死亡状况下，由1对出生小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？
提示：每月底兔子对数是：
1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， ……，
50个月后是 对．
这就是知名斐波那契数列．
或许大自然懂得数学，树木分杈、花瓣数量、种子排列、鹦鹉螺螺旋线……都遵循这个数列．你能写出后来项吗？
设计意图：通过斐波那契兔子问题引入，让学生通过计算、思考，对斐波那契数列有感性结识．
（二）数列知识
1．数列来源
人们对数列研究重要源于生产、生活需要，以及出于对自然数爱慕．数是刻画静态物体下量，一系列数刻画物体变化状况，这些按一定顺序排列着一列数称为数列（sequence of number）．数列是刻画离散过程重要数学模型，在生活中经常遇到存款利息、细胞分裂等问题都与数列关于．
在古希腊，对毕氏学派而言，万物都是数．她们将数用小石子排列成各种形状，可以排成三角形小石子数称为三角形数，可以排成正方形小石子数称为正方形数．
三角形数：

正方形数：

五边形数：

每种多边形数均是一种数列．
设计意图：让学生对于数列来源有所理解，便于理解研究数列意义．

2．数列有关知识
让学生迅速梳理数列基本知识：
（1）数列普通形式：，简记为．
（2）数列表达办法：（1）列表法；（2）图象法；（3）通项公式法．
（3）数列分类：
项数有限无限：
项数随序号变化状况：
（4）数列通项公式：；
重要办法：
①观测数列特点，寻找项数与相应序号关系．
②化归法（将数列变形，使原数列倒数或与某同一常数和成等差或等比数列）．
③逐差全加（对于后一项与前一项差中具有未知数数列）．例如：数列中，，求．
④逐商全乘法（对于后一项与前一项商中具有未知数数列）．例如：数列，，求．
⑤正负相间：运用或．
⑥（隔项有零：运用或．
（5）数列求和重要办法
①运用等差或等比求和公式．
②运用通项列项求和．
③错项相减法：合用于通项为等比和等差通项之积形式数列求和．
④倒序相加法：例如等差数列求和公式推导．
⑤配对法：适合某些正负相间型数列．
学生思考：
若咱们分别以来代表下图正方形数、三角形数及五边形数，你能发现求出通项公式吗？三者关系呢？（可以借助图形特点）
n个
n个
   n个
       n个

教师予以恰当指引．
提示：
由上图咱们不难看出：．
而．
每个正方形数都可以当作两个三角形数和．

n个

         观测五角形数

可以懂得

即
设计意图：让学生回顾数列基本知识，便于将知识系统化，能更好从整体上把握，灵活应用数列解决相应问题．
3．数列与函数关系
让学生回顾．
数列可以当作是定义域为正整数集（或它有限子集）函数．当自变量顺次从小到大依次取值时相应一列函数值，而数列通项公式则是相应函数解析式．由于数列项是函数值，序号是自变量，因此以序号为横坐标，相应项为纵坐标画出图像是某些孤立点，因此说数列是一类特殊函数．数列具备函数普通性质，可以借助数形结合思想研究问题，但研究侧重点有所不同，函数侧重研究单调性、最值、奇偶性等，数列侧重研究下标子数列或两个数列合成性质等．
设计意图：回顾函数与数列关系，进一步加深结识研究数列角度和意义．
4．特殊数列
让学生填写下列表格：
名称
等差数列
等比数列
定义
普通地，如果一种数列从第2项起，每一项与它前一项差等于同一种常数，那么这个数列就叫等差数列（arithmetic sequence），这个常数叫做等差数列公差（common difference），通惯用字母d表达．

普通地，如果一种数列从第2项起，每一项与它前一项比等于同一种常数，那么这个数列就叫等比数列（geometric sequence），这个常数叫做等比数列公比（common ratio），通惯用字母q表达．

通项公式

等差数列实际是一次型函数，是最简朴递推数列

等比数列实际是指数型函数．

前n项和公式

．
比例中项
等差中项：三个数成等差数列，则A叫做a与b等差中项（artithmetic mean）．

等比中项：三个数成等比数列，则G叫做a与b等比中项．
．

设计意图：对比中学中重要两个特殊数列：等差数列和等比数列性质，加深对这两种数列理解和应用，通过系统比较能更好理解．
（三）斐波那契
教师恰当加以简介，可以在让学生运用互联网收集有关资料．
中世纪最有才华数学家斐波那契（1175年～1259年）出生在乎大利比萨市一种商人家庭．因爸爸在阿尔及利亚经商，因而幼年在阿尔及利亚学习，学到不少潮流未流传到欧洲阿拉伯数学．成年后来，她继承父业从事商业，走遍了埃及、希腊、叙利亚、印度、法国和意大利西西里岛．
斐波那契是一位很有才干人，并且特别擅长于数学研究．她发现当时阿拉伯数学要比欧洲大陆发达，因而有助于推动欧洲大数学发展．她在其她国家和地区经商同步，特别注意收集本地算术、代数和几何资料．回国后，便将这些资料加以研究和整顿，编成《算经》（12，或叫《算盘书》）．《算经》出版，使她成为一种闻名欧洲数学家．继《算经》之后，她又完毕了《几何实习》（12）和《四艺经》（1225年）两部著作．
《算经》在当时影响是相称巨大．这是一部由阿拉伯文和希腊文材料编译成拉丁文数学著作，当时被以为是欧洲人写一部伟大数学著作，在两个多世纪中始终被奉为典型著作．
在当时欧洲，虽然多少懂得某些阿拉伯记数法和印度算法，但仅仅局限在修道院内，普通人还只是用罗马数学记数法而尽量避免用“零”．斐波那契《算经》，简介了阿拉伯记数法和印度人对整数、分数、平方根、立方根运算办法，这部著作在欧洲大陆产生了极大影响，并且变化了当时数学面貌．她在这本书前言中写道：“我把自己某些办法和欧几里得几何学中某些微妙技巧加到印度办法中去，于是决定写当前这本15章书，使拉丁族人对这些东西不会那么生疏．
在斐波那契《算经》中，记载着大量代数问题及其解答，对于各种解法都进行了严格证明．书中记载一种有趣问题：抱负中兔子繁殖问题，兔子每月对数就构成了知名斐波那契数列．据载一方面是由19世纪法国数学家吕卡将级数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，...命名为斐波那契级数，它是一种特殊线性递归数列，在数学许多分支中有广泛应用．1963年美国还创刊《斐波那契季刊》来专门研究数列．
设计意图：理解斐波那契历史，提高学习数学兴趣，感受数学家严谨态度和锲而不舍摸索精神．
（四）斐波那契数列特性
小组探究，归纳总结结论，可以参照提示，对于能力较强小组可以进一步探究其他性质．教师对于各小组探究过程加以评价．

斐波那契数列：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， ……
 1．通项公式
观测斐波那契数列项数之间有什么关系？
提示：从第三项开始每一项等于其前两项和，即若用表达第n项，则有．
通过递推关系式，咱们可以一步一种脚印地算出任意项，但是，当n很大时，推算是很费事．咱们必要找到更为科学计算办法．你能否寻找到通项公式，借助网络资源，能否予以证明？
提示：1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式，19世纪初另一位法国数学家比内一方面证明这一表达式，当前称为之为比内公式．可以运用归纳法证明．
网络资源：求斐波那契数列通项公式．
2．项间关系
依照下列问题分组探究，写下探究成果．有能力学生可以继续研究其她性质．提供斐波那契数列计算器网页．
斐波那契数列有许多奇妙性质，下面一起研究某些性质：
（1）问题：观测相邻两项之间有什么关系？
相邻两项互素，（）
（2）1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， 21 ， 34 ， 55 ， 89 ， 144 ， …
第3项、第6项、第9项、第12项、……数字，有什么共同特点？
提示：可以被 2 整除．
第4项、第8项、第12项，可以被 3 整除．
第 5项、第 10 项、……数字，可以被 5 整除．
你还能发现哪些类似规律？
（3）
如果你把前五加起来再加 1，成果会等于第七项；如果把前六项加起来，再加 1，就会得出第八项．那么前 n 项加起来再加 1，会不会等于第 n + 2 项呢？

提示：
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 1 = 13
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 = 21
由于每一项都是其前两项和，

因此　
（4）如果咱们分别对偶数项与奇数项做加法运算话，情形又如何呢？

1 + 2 + 5 = 8
1 + 2 + 5 + 13 = 21
1 + 1 + 3 + 8 = 13
1 + 1 + 3 + 8 + 21 = 34
提示：
咱们可以得到下列成果：

你与否能给出证明？
（5）不可思议是，如果咱们把第三项平方加上第四项平方会得到第七项．

22 + 32 = 4 + 9 = 13
32 + 52 = 9 + 25 = 34
82 + 132 = 64 + 169 = 233
试试看其他情形．是不是都成立呢？
（6）更不可思议是，你能想象到吗，斐波那契数列与杨辉三角居然有联系？
提示：

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1
1
2
8
13
3
5

3．黄金分割
动手做一下：把斐波那契数列中从第二项开始每一项除此前一项， 得到一种新数列，并画出图象，分析新数列特点．
提示：
1，2，1.5，1.67，1.6，1.63，1.615，1.619，1.618， .....
　下图中横轴为 n 值，纵轴为取值：

看起来好像会趋近某个定值，大概为1.61……．这为人所知作为金黄比率，并且因而斐波那奇序列并且称金黄序列， 开普勒发现斐波那契数列黄金比率．
4．探究其他特性
运用斐波那契数列计算器和互联网，每小组探究斐波那契数列其他性质，然后运用网络搜索所得到性质，与否已经被发现。在网络中查找一下与否尚有其他性质，将得到结论填入下表．
小组： 人员构成：
性质
描述
证明过程
网络有关资源
备注

设计意图：通过系列、逐级进一步问题串，引导学生运用数列知识摸索斐波那契数列特性，进一步加深学生对数列结识和运用．
（五）联系生活
将学生分组，运用网络搜索斐波那契数列与生活联系，将收集资源加工整顿，制作成课件，以小组为单位展示课件，并加以阐明．
尝试一下，能否借助斐波那契数列特性设计图案？在网络中查找一下运用斐波那契数列设计图案，并分析其中蕴含数列．
下面是从生物、艺术、计算机设计图形等方面简朴示例．
1．生物学与斐波那契数列
在现实自然世界中，《算盘书》里那样神奇兔子自然是找不到，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列．起绒草椭球状花头，你可以看见那上面有许多螺旋．很容易想像，如果从上面俯视下去话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向，尚有些是逆时针方向．逆时针与顺时针螺旋数就是斐波那契数列中相邻两项．
斐波那契数列在自然界中浮现是如此地频繁，人们深信这不是偶尔． 以这样形式排列种子、花瓣或叶子植物尚有诸多（最容易让人想到是向日葵），事实上许多常用植物，咱们食用蔬菜如青菜，包心菜，芹菜等叶子排列也具备这个特性，只是不容易观测清晰．尽管这些顺逆螺旋数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契序列中相邻数字．这样螺旋被称为斐波那契螺旋．
展示自然界中各种各样斐波那契螺旋图片．
（1）细察下列各种花，它们花瓣数目具备斐波那契数：延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花．斐波那契数经常与花瓣数目相结合：
　　3…百合和蝴蝶花
　　5…蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草
　　8…翠雀花
　　13…金盏草
　　21…紫宛
　　34，55，84…雏菊
雏菊
展示花图片．
（2）斐波那契数还可以在植物叶、枝、茎等排列中发现．例如，在树木枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子(假定没有折损)，直至到达与那片叶子正对位置，则其间叶子数多半是斐波那契数．叶子从一种位置到达下一种正对位置称为一种循回．叶子在一种循回中旋转圈数也是斐波那契数．在一种循回中叶子数与叶子旋转圈数比称为叶序(源自希腊词，意即叶子排列)比．多数叶序比呈现为斐波那契数比．
（3）斐波那契数有时也称松果数，由于持续斐波那契数会出当前松果左和右两种螺旋形走向数目之中．这种状况在向日葵种子盘中也会看到．此外，你能发现某些持续卢卡斯数吗？
（4）菠萝是又一种可以检查斐波那契数植物．对于菠萝，咱们可以去数一下它表面上六角形鳞片所形成螺旋线数．
（5）树木生长，由于新生枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才 能萌发新枝．因此，一株树苗在一段间隔（如图4），例如一年，后来长出一条新枝；次年新枝“休息”，老枝仍旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年枝同步 萌发，当年生新枝则次年“休息”．这样，一株树木各个年份枝桠数，便构成斐波那契数列．这个规律，就是生物学上知名“鲁德维格定律”．
这些植物懂得斐波那契数列吗？应当并非如此，它们只是按照自然规律才进化成这样．这似乎是植物排列种子“优化方式”，它能使所有种子具备差不多大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太各种子而在圆周处却又稀稀拉拉．叶子生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长过程中始终都能最佳地运用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同步浮现），每片叶子和前一片叶子之间角度应当是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，由于它和整个圆周360度之比是黄金分割数1.……倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋产生．向日葵种子排列形成斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条．
2．艺术
展示埃及图像
古埃及人体画像绘画都是基于"神圣比例"﹐也就是咱们所理解黄金分割．
展示希腊神庙图片
3．计算机设计
由于是自然规律而并非抽象数学或哲学原理决定了植物各种器官排列图样；此外尚有详细环境影响，例如地形、气候或病害，你并不总能找到完美斐波那契螺旋．虽然是生长得很健康植物，也难免有这样那样缺陷．仔细观测上面图片，你会发现螺旋中心经常是一片混乱．因此最后还是让咱们来欣赏一下由计算机绘制出来完美斐波那契螺旋吧．
展示计算机绘制斐波那契螺旋图片．
设计意图：通过展示斐波那契数列与生物、艺术、建筑、计算机等方面联系，增强学生应用意识，扩展学生视野，激发学生学习数学兴趣．
七、教学评价设计
借助于网络资源资源，摸索斐波那契数列其他特性，并给出相应说理过程．
调查周边生物、艺术作品、建筑能否找出与斐波那契数列联系？写出调查报告．

评价
评价是整个教学环节中非常重要一某些，因而非常有必要设计合理有效评价来督促、勉励学生保质保量完毕任务．
一方面，教师在第一学时时候就应当把整个单元学习所采用评价方式讲清晰，某些量表可以在详细学习本单元内容之前就发给学生，这样就使学生做到心里有数．
总方式：过程性评价和总结性评价相结合，教师评价与同伴评价相结合，组内评价与组间评价相结合．
小组报告评价量表和组内互评量表请参照附录二和附录三．

附录一：小组任务分工表
组别

探究数列性质

组长

小构成员

分工状况：
组长

成员一

成员二

成员三

成员四

进度安排：（请小组讨论后，对将要进行探究进行一种时间上规划）

预期成果设计：（请小组讨论后，对最后成果内容和形式进行一种初步设计）

推荐资源：（请推荐在探究过程中发现更好结论）

附录二：
小组报告量化评分表
一级指标
二 级 指 标
分值

内容 （70分）

内容无科学性错误
25

说理清晰
20

内容完整
15

观点独特
10

报告者体现（10分）
表情自然
2

表达清晰
2

回答问题有针对性
4

能在规定期间内完毕
2

小组协作学习（20分）
小构成员能和谐相处
6

回答问题时成员间能发挥合伙精神
7

该小构成员在研究过程中给了其她小组协助
7

　注：此表算出是小构成员平均分数，个人分数还得依照小构成员互评量表和回答问题状况来调节．

（该教学设计方案由 中央电教馆教诲信息资源开发部 王新民 提供）