极坐标基础.doc
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1、极坐标知识点剖析1极坐标系(1)定义在平面内取定点O,叫做极点,引一条射线OX叫做极轴,再选定一个长度单位和角的正方向(通常以逆时针方向),这样就建立了极坐标系;(2)点的极坐标点M在极坐标平面内,|OM|=,MOX=,则点M的坐标为M(,),叫做点M的极径,叫做点M的极角当0时,XOP=,在OP的反向延长线上取一点M,使|OM|=|,点M就是坐标为(,)的点由于(,+2k),(-,+(2k+1)(kZ)都表示同一点,因此在极坐标平面上点与有序数对不是一一对应的但如果限定0,02或-,则除极点外就可以一一对应了;(3)对称点坐标点M(,)关于极轴的对称点为M;(,-),点M(,)关于极点的对称
2、点为M。(-,),点M(,)关于过极点与极轴垂直的直线(极垂线)的对称点为M(-,-);(4)极坐标内两点的距离公式2直角坐标与极坐标的互化(1)互化条件原点与极点重合,极轴与x轴正半轴重合,两个坐标系长度单位一致(2)互化公式(3)互化公式所得到的圆锥曲线的方程例题在极坐标系中,点(,0)与(-,-)的位置是 A关于极轴所在直线对称;B关于极点对称;D重合说明 一般地,为了求出点(,)满足一定条件的极坐标,可先写出它的极坐标的一般形式,再根据和的条件确定k的值,从而得到所要求的坐标【例4】 已知点B,C,D的直角坐标为(2,-2),(0,-15),(-12,5),求它的极坐标(0,02) A
3、直线B圆C双曲线D抛物线分析 将方程化为直角坐标方程,即可判断曲线形状因为给定的 极坐标方程是=1+cos(图形是心脏线)说明 通过上两例可看出,化极坐标方程为直角坐标方程有时较容易判断曲线形状,但如曲线是由动点旋转运动而产生的,则它的极坐标方程可能比直角坐标方程简单解法2 由圆锥曲线的统一方程可知b2=a2-c2=132-122=52以下同上说明 显然解法2简便,直接根据,的几何意义求出a和c*【例8】 求以抛物线y2=3x的焦点为极点,对称轴向右的方向为极轴的正方向时,抛物线的极坐标方程说明 本例作了特殊的要求,则不能用互化公式,利用圆锥曲线统一的极坐标方程不仅方程形式简单,而且几何意义明
4、显,这种特殊的互化方法有广泛的应用,应予以特别注意解(0)=6即a+c=6()=2即a-c=2【例10】 点P在直线x+y=1上移动,在连接原点与点P的射线上取点Q,使|QP|OQ|=4,求点Q的轨迹方程(如图3-2)解 x+ y=1化成极坐标方程为cos+sin=1即x2+y2=(4x+4y)故Q点轨迹方程为 x2+y2-4x-4y=0,和x2+y2+4x+4y=03曲线的极坐标方程在极坐标系中,称方程F(,o)=0是曲线C的极坐标方程,如果以这个方程的每一个解为坐标的点都是曲线C上的点,而且C上每一个点的坐标中至少有一个坐标能够满足这个方程4求曲线的极坐标方程和直角坐标系中一样,在极坐标系
5、中求曲线的极坐标方程的主要方法有直接法、转移法和参数法,每种方法的计算步骤与直角坐标系完全类似,只需把步骤中的直角坐标(x,y)改成极坐标(,)就可以了求曲线的极坐标方程,经常要用正、余弦定理三角形面积公式和有关三角知识5常见曲线的极坐标方程(1)经过极点倾斜角为的直线方程为=和=+;(2)与极轴平行并与极轴距离为a(a0)的直线方程为sin=a;(3)与极轴垂直(含极轴所在直线)与极点距离为b(b0)的直线方程 cos=b;(4)圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程为=r;(5)圆心在O(0,0),半径为r的圆的极坐标方程为2-20cos(-0)+02-r2=0;当0el时,方程表示椭圆,当
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