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圆周运动和向心加速度
编稿：周军 审稿：吴楠楠
【学习目标】
1、理解匀速圆周运动的特点，掌握描述匀速圆周运动快慢的几个物理量：线速度、角速度、周期、转速的定义，理解它们的物理意义并能灵活的运用它们解决问题。
2、理解并掌握描写圆周运动的各个物理量之间的关系。
3、理解匀速圆周运动的周期性的确切含义。
4、理解向心加速度产生的原因和计算方法。
【要点梳理】
要点一、圆周运动的线速度
要点诠释：
1、线速度的定义：
圆周运动中，物体通过的弧长与所用时间的比值，称为圆周运动的线速度。
公式： （比值越大，说明线速度越大）
方向：沿着圆周上各点的切线方向
单位：m/s
2、 说明
1）线速度是指物体做圆周运动时的瞬时速度。
2）线速度的方向就是圆周上某点的切线方向
线速度的大小是的比值。所以是矢量。
3）匀速圆周运动是一个线速度大小不变的圆周运动。
4）线速度的定义式，无论是对于变速圆周运动还是匀速圆周运动都成立，在变速圆周运动中，只要取得足够小，公式计算的结果就是瞬时线速度
注：匀速圆周运动中的“匀速”二字的含义：仅指速率不变，但速度的方向（曲线上某点的切线方向）时刻在变化。
要点二、描写圆周运动的角速度
要点诠释：
1、角速度的定义：
圆周运动物体与圆心的连线扫过的角度与所用时间的比值叫做角速度。
公式：
单位：(弧度每秒)
2、说明：
1)这里的必须是弧度制的角。
2）对于匀速圆周运动来说，这个比值是恒定的，即匀速圆周运动是角速度保持不变的圆周运动。
3）角速度的定义式，无论是对于变速圆周运动还是匀速圆周运动都成立，在变速圆周运动中，只要取得足够小，公式计算的结果就是瞬时角速度。
4)关于的方向：中学阶段不研究。
5）同一个转动的物体上，各点的角速度相等
例如：木棒以它上面的一点为轴匀速转动时，它上面的各点与圆心的连线在相等时间内扫过的角度相等。

即：
3、关于弧度制的介绍
(1)角有两种度量单位：角度制和弧度制
(2)角度制：将一个圆的周长分为360份，其中的一份对应的圆心角为一度。因此一个周角是3600，平角和直角分别是1800和900。
(3)弧度制：定义半径长的弧所对应的圆心角为一弧度，符号为rad。一段长为的圆弧对应的圆心角是 rad,
(4)特殊角的弧度值：在此定义下，一个周角对应的弧度数是：；平角和直角分别是 （rad）。
（5）同一个角的角度和用弧度制度量的之间的关系是：rad ,
要点三、匀速圆周运动的周期与转速
要点诠释：
1、周期的定义：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期，单位：。
它描写了圆周运动的重复性。
2、周期T的意义：不难看到，周期是圆周运动的线速度大小和方向完全恢复初始状态所用的最小时间；周期长说明圆周运动的物体转动得慢，周期短说明转动得快。
观察与思考：同学们看一看你所戴的手表或者墙上钟表上的时、分、秒针，它们的周期分别是多少？想一想角速度和周期的关系如何？（秒针的周期最小，其针尖的最大，也最大。）
3、匀速圆周运动的转速
转速n：指转动物体单位时间内转过的圈数。
单位： r/s（转每秒），常用的单位还有(转每分)
关系式：s(n单位为r/s)或s(n单位为r/min)
注意：转速与角速度单位的区别：
要点四、描述圆周运动快慢的几个物理量的相互关系
要点诠释：
因为这几个都是描述圆周运动快慢，所以它们之间必然有内在联系
1、线速度、角速度和周期的关系
匀速圆周运动的线速度和周期的关系
匀速圆周运动的角速度和周期的关系
匀速圆周运动的角速度和周期有确定的对应关系：角速度与周期成反比。
2、线速度、角速度与转速的关系：
匀速圆周运动的线速度与转速的关系：（n的单位是r/s）
匀速圆周运动的角速度与转速的关系：（n的单位是r/s）
3、线速度和角速度的关系：
(1)线速度和角速度关系的推导：
特例推导：
设物体沿半径为的圆周做匀速圆周运动，在一个Ｔ时间内转过的弧长及角度，则：
一般意义上的推导：
由线速度的定义：
而，所以
又因为，所以
(2) 线速度和角速度的关系：
可知：，。
同理： 一定时，一定时。
(3)对于线速度与角速度关系的理解：
是一种瞬时对应关系，即某一时刻的线速度与这一时刻的角速度的关系，适应于匀速圆周运动和变速圆周运动。
【高清课程：圆周运动和向心加速度 向心加速度】
要点五、圆周运动的向心加速度
要点诠释：
1、向心加速度产生的原因：向心加速度由物体所受到的向心力产生,根据牛顿第二定律知道，其大小由向心力的大小和物体的质量决定。
2、向心加速度大小的计算方法：
（1）由牛顿第二定律计算： ；
（2）由运动学公式计算：
如果是匀速圆周运动则有：
3、向心加速度的方向：沿着半径指向圆心，时刻在发生变化，是一个变量。
4、向心加速度的意义：在一个半径一定的圆周运动中，向心加速度描述的是线速度方向改变的快慢。
5、关于向心加速度的说明
（1）从运动学上看：速度方向时刻在发生变化，总是有必然有向心加速度；
（2）从动力学上看：沿着半径方向上指向圆心的的合外力必然产生指向圆心的向心加速度。
加速度是个矢量，既有大小又有方向，匀速圆周运动中加速度大小不变，而方向却不断变化。因此，匀速圆周运动不是匀变速运动。
【典型例题】
类型一、描述匀速圆周运动的各个物理量
例1、一个直径为1.4m的圆盘以中心为轴匀速转动，转速为2转/秒，求圆盘边缘一点的线速度、角速度、周期和向心加速度。
【思路点拨】熟练的运用描写圆周运动的各个物理量之间的关系，可顺利的解题
【解析】由题意可知，
再根据公式，
可得：。
【总结升华】熟练的运用描写圆周运动的各个物理量之间的关系，可顺利的解题。
例2、 (2015 海南会考模拟)如图所示，钟表的秒针、分针、时针转动周期、角速度都不同，下列说法中正确的是（ ）

A．秒针的周期最大，角速度最大 B．秒针的周期最小，角速度最大
C．时针的周期最大，角速度最大 D．时针的周期最小，角速度最大
【答案】B
【解析】时针的周期是12h，分针的周期是1h，秒针的周期是1min，秒针的周期最小，根据可知秒针的角速度最大，故A错误B正确；时针的周期是12h，分针的周期是1h，秒针的周期是1min，时针的周期最大，根据可知时针的角速度最小，故CD错误。
【总结升华】该题为基本公式的应用，一定要搞清楚时针、分针、秒针的周期。
举一反三
【变式】电风扇叶片边缘一点的线速度为56.7m/s，若它转动半径为18cm，求电扇转动的角速度和周期。
【解析】根据线速度与角速度的关系得

类型二、向心加速度的计算
例3、在长20cm的细绳的一端系一个小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以5m/s的速度在桌面上做匀速圆周运动，求小球运动的向心加速度和转动的角速度。
【思路点拨】小球在水平桌面上做匀速圆周运动，可根据向心加速度公式和线速度与角速度的关系求解。
【解析】由题意可知根据向心加速度的计算公式

例4、如图所示，定滑轮的半径r=2cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得重物以加速度a＝2m/s做匀加速运动。在重物由静止下落距离为1m的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度ω多大？向心加速度a多大？

【思路点拨】这是一个关于变速圆周运动向心加速度计算的问题。物体的速度时刻等于轮缘上一点的线速度，求出物体下落1m时的瞬时速度，然后利用角速度、向心加速度和线速度的关系可以求解。
【解析】 (1)重物下落1m时，瞬时速度为
显然，滑轮边缘上每一点的线速度也都是2m/s，故滑轮转动的角速度，即滑轮边缘上每一点的转动角速度为：
(2)向心加速度为：
【总结升华】此题讨论的是变速运动问题，重物落下的过程中滑轮转动的角速度，轮上各点的线速度都在不断增加，但在任何时刻角速度与线速度的关系，向心加速度与角速度、线速度的关系仍然成立。
类型三、皮带传动问题
例5、如图，主动轮匀速转动，通过皮带不打滑地带动从动轮转动，已知分别为上的中点，轮边缘上一点，轮边缘上一点，为皮带上一点。试比较：

（1）A、B、C点线速度的大小？
（2）A、B、E、F各点角速度的大小？
（3）E、F点线速度的大小？
【思路点拨】分析比较各个点运动情况的异同，建立相互关系是解题的切入点。
【解析】（1）因为皮带传动过程与轮子不打滑，所以A、B、C三个点可以看成是皮带上的三个点，相同时间必定通过相同的路程，因此，A、B、C点的线速度相等，这也是两个轮子的联系。
即
（2）比较各点角速度：
比较应通过入手分析

因为A、F是同一物体上的点，角速度必然相等即，同理
所以
（3）由

【总结升华】（1）同一转动物体上的各点，角速度必然相等；（2）皮带传动时，与皮带接触的点线速度相等。
例6、如图所示为录音机在工作时的示意图，轮子1是主动轮，轮子2为从动轮，轮1和轮2就是磁带盒内的两个转盘，空带一边半径为r1＝0.5cm，满带一边半径为r2＝3cm，已知主动轮转速不变，恒为n1＝36 r/min，试求：

(1)从动轮2的转速变化范围；
(2)磁带运动的速度变化范围．
【解析】本题应抓住主动轮(r1)的角速度恒定不变这一特征，再根据同一时刻两轮磁带走动的线速度相等，从磁带转动时半径的变化来求解．
(1)因为，且两轮边缘上各点的线速度相等，所以，即．
当r2＝3cm时，从动轮2的转速最小，．当磁带走完，即r2＝0.5cm，r1＝3cm时，从动轮2的转速最大，为，故从动轮2的转速变化范围是6 r/min～216 r/min．
(2)由得知：
cm时，，
cm时，．
故磁带的速度变化范围是0.019 m/s～0.113 m/s．
【总结升华】解答本题的关键是掌握磁带传动装置中主动轮、从动轮上各点线速度、角速度之间的关系，并且注意从动轮转速的变化及磁带速度的变化是由于转动半径的变化引起的．
举一反三
【高清课程：圆周运动和向心加速度 例题】
【变式】图中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r．b点在小轮上，到小轮中心的距离为r．c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑．则a、b、c、d的线速度之比 ；角速度之比 ；向心加速度之比 。

【答案】2:1:2:4 2:1:1:1 4:1:2:4

类型四、平抛运动和匀速圆周运动综合题
例7、如图所示，在半径为的水平放置的圆板中心轴上距圆板高为的A处以沿水平抛出一个小球，此时正在做匀速转动的圆板上的半径恰好转动到与平行的位置，要使小球与圆板只碰一次且落点为B。求：
（1）小球抛出的速度；
（2）圆板转动时的角速度ω。

【思路点拨】思维的切入点是分析小球落在B 点的条件,即：小球平抛落地时的水平位移是R,且圆盘在这段时间内转动了整数圈。
【解析】小球落在B 点的条件即：小球平抛落地时的水平位移是R 且圆盘在这段时间内转动了整数圈。
（1）“只碰一次”：若较小，小球有可能在圆板上弹跳几次后落在B点。
所以此小球第一次落至圆板上时的。由平抛运动的规律得

（2）因为圆板运动具有周期性，所以小球可在空中运动的时间t内，圆盘可能转动了整数圈，设圆板周期为Ｔ，则0，1，2，3……）。
所以圆盘的角速度1，2，3……）
【总结升华】解决圆周运动问题要充分注意到其周期性的特点;解决综合性的问题要重视分析物理现象发生的条件。
举一反三
【变式】（2015 河南校级模拟）如图所示，在水平匀速转动的圆盘圆心正上方一定高度处，若向同一方向以相同速度每秒抛出N个小球，不计空气阻力，发现小球仅在盘边缘共有6个均匀对称分布的落点，则圆盘转动的角速度可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】小球在盘边缘共有6个均匀分布的落点，说明每转动后就有一个小球落在圆盘的边缘，故（n=0，1，2，3……），，故角速度为：（n=0，1，2，3……），当n=0时，则，当n=1时，则，当n=2时，。