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(完整word版)正定矩阵的性质和判定方法及应用

内蒙古财经大学本科毕业论文

正定矩阵的性质及应用

作 者 郝芸芸
系 别 统计与数学学院
专 业 信息与计算科学
年 级 　 10级 　 　
学 号 102093113
指导教师 高菲菲
导师职称 讲师
答辩日期
成 绩

内 容 提 要

矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．
关键词：二次型　正定矩阵　判定方法　应用

Abstract
Matrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices.

Key words: Quadratic form Positive definite matrix Determination method
Application

目 录

引言 1
一、正定矩阵的定义 1
二、正定矩阵的性质 2
三、正定矩阵的有关定理 6
四、正定矩阵的判定方法 9
（一）定义法 9
（二）主子式法 10
（三）特征值法 11
（四）与单位矩阵合同法 12
五、正定矩阵的应用 13
（一）正定矩阵在不等式中的应用 13
（二）正定矩阵在多元函数极值问题中的应用 14
总结 16
参考文献 16
后记 17

正定矩阵的性质及应用

引言

矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具有使用价值，应用很广泛的数学理论．矩阵是矩阵理论中一个重要基本概念，是代数学的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类常用矩阵，其在计算数学、数学物理、运筹学、控制论、数值分析等领域中都具有广泛的应用．二次型理论起源于解析几何中化二次曲线和二次曲面方程为标准型的问题，正定二次型在二次型理论中占有很重要的地位，在实数域上文字的正定二次型与阶正定矩阵是一一对应的，本文首先运用二次型的有定性引出了矩阵的有定性，继而给出了正定矩阵的定义．其次本文证明了正定矩阵的一些实用性质以及有关定理，且论述了正定矩阵的多种判定方法，最后运用正定矩阵解决了数学中不等式的证明和多元函数极值的问题．

一、 正定矩阵的定义
定义1[3]　设均为实常数，则关于个实变量的二次齐次多项式函数
，
称为元实二次型．
定义2[3] 只含有平方项的二次型称为标准形，即
．
定义3[3]　若二次型的标准形中的系数仅为，则此标准形称为二次型的规范形．
定义4 [1] 　实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数，都有； 如果都有，那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果二次型既不是半正定又不是半负定，那么就称为不定的．
定义5 [1] 若实数域上的元二次型是正定二次型（负定二次型），则称为正定矩阵（负定矩阵）；若二次型是半正定二次型（半负定二次型），则称为半正定矩阵（半负定矩阵）．其中

， ．
定义6[1]　子式

称为矩阵的阶顺序主子式．
下面是正定矩阵的一些等价条件．
定理1[8] 设是阶实对称矩阵，则下列命题等价：
(1)是正定矩阵．
(2)的正惯性指数等于．
(3)的特征值全大于零．
(4)合同于阶单位矩阵．
(5)合同于主对角元大于零的对角矩阵．
(6)存在可逆矩阵，使得，其中表示的转置．
注：二次型的正定（负定），半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性．不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的．二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系．因此，二次型的正定性的判定可以转化为对应的实对称矩阵的正定性的判定．

二、 正定矩阵的性质
性质1[1]　正定矩阵的行列式大于零．
证明　设是正定矩阵．因为与单位矩阵合同，所以有可逆矩阵使
．
两边取行列式，有．
推论1[1]　若是正定矩阵，则的顺序主子式全大于零．
证明　设二次型是正定的．对于每个，令．下面证明是一个元的正定二次型．对于任意一组不全为零的实数，有
．
因此是正定的．由性质１可知，的矩阵的行列式
．
这就证明了矩阵的顺序主子式全大于零．
性质2 [6]　若是正定矩阵，则的主对角元全大于零．
证明　设，对于任意的，恒有，其中，．令，将其代入，得，所以，，从而结论得证．
性质3[6]　正定矩阵中绝对值最大元素必可以在主对角线上取到．
证明　设是正定矩阵，则它的一切主子式都大于零．如果是的中绝对值最大的一个元素，那么，取的二阶主子式 ，由此可得，因此，的绝对值不可能都小于，所以，或，故中绝对值最大的元素必可以在主对角线上取到．
性质4[8] 若是正定矩阵，则，是正定矩阵，其中．
证明　由是正定矩阵，可知的特征值，则的特征值，因此是正定矩阵．
同理可得的特征值，因此也是正定矩阵．
性质5[7] 若是正定矩阵，则，是正定矩阵，其中表示的逆矩阵，表示的伴随矩阵．
证明 首先证是正定矩阵．
因为是正定矩阵，所以可逆且，则有
，
即为实对称矩阵．
设的特征值为，因为是正定矩阵正定，所以．故的特征值，因此也是正定矩阵．
再证是正定矩阵．
由，可得，即是实对称矩阵．因为的特征值，所以是正定矩阵．
性质6 [1]若是正定矩阵，则对于任意整数，都是正定矩阵．
证明　当时，显然是正定矩阵．
当时，由于，而，有性质３可知，也是正定矩阵，故下面只需假定为正整数即可．
Ⅰ 当为偶数时，由于，且，由正定矩阵的等价条件(6)可知是正定矩阵．
Ⅱ 当为奇数时，由于是正定矩阵，故存在实可逆矩阵，使．
由此可得：，从而仍由正定矩阵的等价条件(6)可知，是正定矩阵．
性质7[4] 设为阶正定矩阵，则，其中为的主对角元素.
证明 　设，其中为的阶顺序主子式，．
那么
，
两边取行列式得 ：
，
因为是正定矩阵，所以，都是正定矩阵，那么 ．由上式可知
．
同理，其中为的级顺序主子式阵，这样继续下去可得 .
性质8[5]　任意两个同阶正定矩阵的和是正定矩阵，更一般地，多个正定矩阵的正线性组合也是正定矩阵．
证明　设,都是正定矩阵，又设．由,是正定矩阵，可得．则有
，
所以是实对称矩阵．因为对任意有
，
由性质4可知是正定矩阵，则有，．所以．因此是正定矩阵．
多于两个矩阵的情形可按同样方式得出结论，并利用数学归纳法给出证明：
（1）当时已证明命题成立；
（2）假设时命题成立，现证明时命题也成立．
设是同阶正定矩阵，．对任意有
，
其中每一项均为正．所以当时，结论成立．
综合（1）（2）可知，对于一切的自然数，多个正定矩阵的正线性组合必为正定矩阵．
性质9[8] 如果是正定矩阵，是任意实数，则存在正定矩阵，使得．
证明　由于是正定矩阵，所以存在正交矩阵，使，其中，所以
．
令，则，结论得证 ．

三、 正定矩阵的有关定理

定理2[5]　若，都是正定矩阵，则是正定矩阵．
由定理2的推广，可以得到如下推论：
推论2　若，，，都是正定矩阵，则是正定矩阵．
推论3　若都是正定矩阵，则是正定矩阵．
定理3[5]　正定矩阵的合同矩阵一定是正定矩阵．
证明　设为阶正定矩阵，为阶实对称矩阵且与合同．
由正定矩阵的等价条件可知，与单位矩阵合同．又因为与合同，那么也与单位矩阵合同，即为正定矩阵．
定理4[5]　若,是实对称矩阵，的特征值全大于，的特征值全大于．若，则是正定矩阵．
证明　性质5已证得是实对称矩阵，且由已知条件可知，都是正定矩阵，由性质5可得是正定矩阵．
设是的任一特征值，则
，
这表明是的特征值．由于是正定矩阵，故，所以，即的特征值全大于，从而为正定矩阵．
推论4　设都是实对称矩阵，的特征值均大于．若，则是正定矩阵．
定理5[9] 若,是正定矩阵，则是正定矩阵的充要条件是．
证明 必要性：设是正定矩阵，则是实对称矩阵，从而
．
充分性：由知，，故是实对称矩阵．
由于正定，存在可逆矩阵使得，从而
，
即与相似，因而与有相同的特征值．因为正定，故也正定，的特征值全大于零，故的特征值全大于零，所以是正定矩阵．
定理6[7]　若是实对称矩阵，且可逆，则是正定矩阵．
证明 由已知可知，，，则是实对称矩阵.又因为，故与合同，从而是正定矩阵正定.
对定理6推广，可以得到如下推论：
推论5 若是实对称矩阵，且可逆，则是正定矩阵.
注：当满足推论４的条件时，不一定是正定矩阵．例如，则是实对称矩阵，且可逆．显然不是正定矩阵．
定理7[6] 设都是阶正定矩阵，则也是正定矩阵，其中．
证明　是实对称矩阵，显然也是实对称矩阵．任取，则由矩阵是正定矩阵，可知：
，
且存在阶可逆矩阵，使得，即
，
所以
，
对任意，因为可逆，所以总存在一个，使得
，
(不妨设，则由可逆知的第一列中总有一个元素不为零，设为，于是)．又由是正定矩阵有：对以上的成立．所以，即为正定矩阵．
定理8[6]　设是正定矩阵，为实矩阵，其中为的转置矩阵，则为正定矩阵的充要条件是的秩．
证明 必要性 设为正定矩阵，则对任意的维非零列向量，有，于是，因此元齐次线性方程组只有零解，故系数矩阵的秩．
充分性 因为，故为实对称矩阵.
若，则齐次线性方程组只有零解，从而对任意实维非零列向量，有．又因为正定，所以对于有，于是当时，有，故为正定矩阵.

四、 正定矩阵的判定方法

(一) 定义法
阶实对称矩阵称为正定矩阵，如果对于任意维实非零向量，都有．则实对称矩阵简称为正定矩阵，记作：．
用定义证明矩阵是正定矩阵需证明两点：
(1)为实对称矩阵．
(2)对任意的非零向量，．
运用定义判定正定矩阵适用于一些题目中未给出具体数字的矩阵，且容易推出相关矩阵所对应的二次型大于零，根据已知条件得出所求矩阵对应的二次型大于零，则可以确定该矩阵属于正定矩阵．
例1　设是实矩阵，且是列满秩，即，证明是正定矩阵．
证明　首先，因为，所以，是实对称矩阵．
其次，由可知，齐次线性方程组只有零解．因此，对任意维列向量，必有，不妨设，则是一组不全为零的实数．从而，对任意维列向量，二次型
，
即二次型正定，所以矩阵是正定矩阵．
例2　设是矩阵，，证明当时，是正定矩阵．
证明　因为，故是阶实对称矩阵，对于任意的维实向量，有
．
由于，，则恒有，而，因此，由定义可得是正定矩阵．
(二) 主子式法
若矩阵的各阶顺序主子式全大于零，则矩阵为正定矩阵．
运用主子式判定正定矩阵，首先需确定该矩阵的各阶顺序主子式容易求得．然后根据矩阵的各阶顺序主子式均大于零，可以快速地判定出一个矩阵是否属于正定矩阵，但是此法只适用于判定一些比较简单，或方便计算各阶顺序主子式的矩阵．
例3 设二次型，判定该二次型的矩阵是
否属于正定矩阵.
解 二次型的矩阵为
，
其各阶顺序主子式分别为全大于零，所以矩阵
是正定矩阵．
例4 取何值时，二次型的矩阵是正定矩阵．
解　二次型对应的矩阵为
，
要使矩阵正定，必须使的各阶顺序主子式全大于零，即满足
，
得到，所以，当时，二次型的矩阵是正定矩阵．
(三) 特征值法
若矩阵的特征值全为正数，则矩阵为正定矩阵．
运用特征值判定正定矩阵，先计算出矩阵的所有特征值，若所有特征值都为正数则可以判定该矩阵属于正定矩阵．如果可以保证所有特征值全为正数，则可以不计算出特征值的具体值直接判定．此法适用于一些行列较多且不容易计算各阶主子式，或根据已知条件容易判断特征值是否全为正数的矩阵．
例5　已知是阶实对称正定矩阵，证明是正定矩阵．
证明　由可知，是对称矩阵．设是的特征值，则的特征值，即，那么，从而．
综上可得：的特征值全为正数，即是正定矩阵．
例6　判定元二次型的矩阵是否属于正定矩阵．
解　二次型的矩阵为
．
则，记．
由可得，的特征值是与（重）．于是的特征值是(重) ．
的特征值全为正数，故属于正定矩阵．
例7　设是阶实对称矩阵，且满足，证明是正定矩阵．
证明　设是矩阵的特征值，是矩阵的属于特征值的特征向量，则有
，
因为，所以，即
，
由于是实对称矩阵，故由上式可知矩阵的特征值为１或２，即矩阵的特征值全为正数，从而可得是正定矩阵．
(四) 与单位矩阵合同法
正定二次型的规范形为，而规范形的矩阵为单位矩阵，所以一个实对称矩阵是正定矩阵当且仅当它与单位矩阵合同．
此法较上述方法比较简单，即此法不需要判定该矩阵对应的二次型是否大于零，也不用计算顺序主子式和特征值，只需判定该矩阵是否与同阶单位矩阵合同即可．此法适用于较容易判断出与单位矩阵合同的矩阵．
例8　已知是阶可逆矩阵，证明是正定矩阵．
证明　由于，则是对称矩阵．
因为，且是可逆矩阵，所以与是合同矩阵，从而是正定矩阵．
例9 用此法证明分块矩阵是正定矩阵，其中分别为阶正定矩阵．
证明　由于矩阵为正定矩阵，故存在可逆矩阵和，使得
，
令，则，且为阶可逆矩阵．
，
所以，矩阵与单位矩阵合同，故分块矩阵是正定矩阵．

五、 正定矩阵的应用

(一) 正定矩阵在不等式中的应用
实对称矩阵是正定矩阵是由于其对应的实二次型（其中）正定，而二次型正定是指对于任意恒有．因此可以利用此性质来证明不等式是否成立．
例10 证明不等式（其中是不全为零的实数）成立．
证明　令，其系数矩阵为
，
的各阶顺序主子式为，则为正定矩阵．因此对于任意一组不全为零的都有，故原不等式成立．
例11 证明不等式成立．
证明　令，则二次型为
，
则
．
的各阶顺序主子式，所以是半正定的，那么二次型是半正定的，即．故原不等式成立．
(二) 正定矩阵在多元函数极值问题中的应用
在实际问题中经常遇到求多元函数的极值问题，对此可应用二次型的正定性加以解决.
定义7[2]　设元实函数在的某个邻域内存在一阶、二阶连续偏导数．记,称为函数在点处的梯度．
定义8[2]　，此矩阵称为函数在点处的(Hessian)黑塞矩阵．则是由的个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵．
定理9[2]　(极值必要条件)设函数在点处可微，且为该函数的极值点，则
1) 必为的稳定点，即.
2) 若在的某领域存在连续二阶偏导数，则当为极小值时，
在的黑塞矩阵为正定或正半定；则当为极大值时，在的黑塞矩阵为负定或负半定．
定理10[2]　(极值充分条件)设函数在点的某个邻域内存在一阶、二阶连续偏导数时，且．则：
(1)当是正定矩阵时，在处取得极小值；　　
(2)当是负定矩阵时，在处取得极大值；
(3)当是不定矩阵时，在处不取极值．
例12　求多元函数的极值.
解　先求驻点，由
， 解得．
可得驻点为．
再求(Hessian)黑塞矩阵，因为，所以，由正定矩阵的等价命题（5）可知是正定的，所以是的极小点，且在点的极小值为．
例13　求多元函数的黑塞矩阵，并根据结果判断该函数的极值点．
解　先求驻点，由
，解得．
可得驻点为．
由上述方程组可求得(Hessian)黑塞矩阵为，由于，所以黑塞矩阵为不定矩阵，故不是极值点．

总结

本文深刻研究了正定矩阵的各类性质以及相关定理，并从这些性质和定理出发探讨了多种判定正定矩阵的方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．判定一个矩阵是否属于正定矩阵，根据已知条件及各种方法的适用范围选定上述一种方法．最后本文又利用正定矩阵的性质以及判定方法把正定矩阵应用于不等式、多元函数极值的相关问题中，继而减少各类问题的计算量，提高准确率．

参考文献：
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[9] 倪凌炜．实正定矩阵的若干判定方法［J］．湖州师范学院学报，2010,26（2）．

后记
写完这篇论文之时，我深深地叹了口气，虽然写作过程艰苦，但是最终还是喜悦地，顺利地完成了毕业论文．在这个过程中我对正定矩阵有了更深入的了解，尤其是对于正定矩阵的应用．我更认识到毕业论文的结束并不意味着学习的终止，而是人生的又一起点．
首先诚挚的感谢我的导师高菲菲老师，她在忙碌的教学工作中挤出时间来审查、修改我的论文．无论从选题、文章的整体结构还是语言规范上高老师都给了我悉心指导．从高老师的指导中我深深感受到了高老师的渊博的专业知识、严谨的治学态度以及诲人不倦的师德．还有教过我的所有老师们，你们循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪．
同时也要感谢我的同学，在大学四年里，无论从生活上还是学习上给了我很大的帮助和鼓励，让我不断进步．最后感谢我的父母，让我在他们的关怀中逐渐的成长，给了我无限的包容，我要以勤奋的工作和优秀的成绩回报他们．

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