信号与系统吴大正第四版第三章.ppt

信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-1页电子课件电子课件 第三章第三章 离散系离散系统统的的时时域分析域分析1.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-2页电子课件电子课件3.1 LTI离散系统的响应一、差分与差分方程一、差分与差分方程 与与连续时间连续时间信号的微分及信号的微分及积积分运算相分运算相对应对应，离散，离散时间时间信号有差分及序列求和运算。信号有差分及序列求和运算。设设有序列有序列 ，则则称称 为为 的移位序列。的移位序列。序列的差分可分序列的差分可分为为前向差分和后向差分。前向差分和后向差分。一一阶阶前向差分定前向差分定义义：一一阶阶后向差分定后向差分定义义：前向差分和后向差分的关系：前向差分和后向差分的关系：2.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-3页电子课件电子课件本本书书主要采用的是后向差分，主要采用的是后向差分，简简称差分。称差分。差分运算具有差分运算具有线线性性性性质质。3.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-4页电子课件电子课件二二阶阶差分可定差分可定义为义为：类类似可定似可定义义三三阶阶、四、四阶阶、n阶阶差分。差分。N阶阶差分差分式中式中4.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-5页电子课件电子课件 序列序列 的求和运算的求和运算为为 差分方程是包含关于差分方程是包含关于变变量量k k的未知序列的未知序列 及其各及其各阶阶差分差分的方程式，它的一般形式可写的方程式，它的一般形式可写为为：式中差分的最高式中差分的最高阶为阶为n n阶阶，称，称为为n n阶阶差分方程。差分方程。各各阶阶差分均可写差分均可写为为 及其各移位序列的及其各移位序列的线线性性组组合，故上合，故上式常写式常写为为：若各移位序列的系数若各移位序列的系数为为常数，常数，则则方程方程为为常系数差分方程。常系数差分方程。5.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-6页电子课件电子课件例：若描述某离散系例：若描述某离散系统统的差分方程的差分方程为为：已知初始条件已知初始条件 ，激励，激励 ，求，求解：将差分方程中除解：将差分方程中除 以外的各以外的各项项都能移到等号右都能移到等号右 端，得端，得对对于于 ，将已知初始，将已知初始值值 代入上式，得代入上式，得类类似地，依次迭代得似地，依次迭代得6.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-7页电子课件电子课件二、差分方程的二、差分方程的经经典解典解 一般而言，如果一般而言，如果单输单输入入单输单输出的出的LTILTI系系统统的的激励激励 ，其全响，其全响应为应为 ，那么，描述，那么，描述该该系系统统激励激励 与响与响应应 之之间间关系的数学模型是关系的数学模型是n n阶阶常系数常系数线线性差性差分方程，它可以写分方程，它可以写为为：式中式中 都是常数上式可都是常数上式可缩缩写写为为差分方程的解由差分方程的解由齐齐次解和特解两部分次解和特解两部分组组成：成：7.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-8页电子课件电子课件 齐齐次解：次解：当差分方程中的激励及其各移位当差分方程中的激励及其各移位项项均均为为零零时时，齐齐次方程的解次方程的解为齐为齐次解。次解。首先分析最首先分析最简单简单的一的一阶阶差分方程。若一差分方程。若一阶阶差分差分方程的方程的齐齐次方程次方程为为 它可改写它可改写为为：8.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-9页电子课件电子课件 之比等于之比等于-a-a表明，序列表明，序列 是一个公比是一个公比为为-a-a的等比的等比级级数，因此数，因此 有如下形式：有如下形式：对对于于n n阶齐阶齐次方程，它的次方程，它的齐齐次解由形式次解由形式为为 的序的序列列组组合而成，将合而成，将 代入到差分方程中，得：代入到差分方程中，得：由于由于 ，消去，消去C C，且，且 ，以，以 除上式，得除上式，得 为为差分方程的特征根。差分方程的特征根。9.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-10页电子课件电子课件特征根特征根单实单实根根一一对对共共轭轭复根复根r重重实实根根R重共重共轭轭复根复根齐齐次解次解y h(k)不同特征根所不同特征根所对应对应的的齐齐次解次解齐齐次解次解10.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-11页电子课件电子课件特解特解11.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-12页电子课件电子课件 全解 线线性差分方程的全解是性差分方程的全解是齐齐次解与特解之和，如次解与特解之和，如果方程的特征根均果方程的特征根均为单为单根，根，则则差分方程的全解差分方程的全解为为 如果特征根如果特征根1为为r重根，而其余重根，而其余n-r个特征根个特征根为单为单根根时时，差分方程的全解，差分方程的全解为为：式中式中 由初始条件决定。由初始条件决定。12.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-13页电子课件电子课件 如果激励信号是在如果激励信号是在k=0k=0时时接入的，差分方程的解接入的，差分方程的解适合于适合于k0k0。对对于于n n阶阶差分方程，用差分方程，用给给定的定的n n个初始个初始条件条件 就可确定全部待定系数。如果差分就可确定全部待定系数。如果差分方程的特解都是方程的特解都是单单根，可得：根，可得：由以上方程可求得全部待定系数由以上方程可求得全部待定系数13.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-14页电子课件电子课件例：若描述某系例：若描述某系统统的差分方程的差分方程为为已知初始条件已知初始条件 激励激励 求方程全解求方程全解解：求解：求齐齐次解次解差分方程的特征方程差分方程的特征方程为为可解得特征根可解得特征根 为为二重根，其二重根，其齐齐次解次解求特解，根据激励函数的形式可知其特解：求特解，根据激励函数的形式可知其特解：将将 代入微分方程中得代入微分方程中得14.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-15页电子课件电子课件微分方程的全解微分方程的全解为为将初始条件代入上式，有将初始条件代入上式，有由上式得由上式得 。最后得方程的全解。最后得方程的全解为为15.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-16页电子课件电子课件例：若描述某离散系例：若描述某离散系统统的差分方程的差分方程为为 已知初始条件已知初始条件 ；激励；激励为为有始有始的周期序列的周期序列 ，求其全解。，求其全解。解：首先求解：首先求齐齐次解。差分方程的特征方程次解。差分方程的特征方程为为 解得特征根解得特征根 方程的方程的齐齐次解次解16.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-17页电子课件电子课件求特解求特解根据激励函数形式根据激励函数形式设设特解特解为为其移位序列其移位序列将特解及其移位序列代入微分方程中，得将特解及其移位序列代入微分方程中，得17.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-18页电子课件电子课件解得解得 ，于是特解，于是特解方程的全解方程的全解将已知的初始条件代入上式，有将已知的初始条件代入上式，有由上式解得由上式解得 ，最后得全解，最后得全解18.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-19页电子课件电子课件19.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-20页电子课件电子课件 一般而言，如果差分方程所有的特征根均一般而言，如果差分方程所有的特征根均满满足足 ，那么其自由响，那么其自由响应应将随着将随着k k的增大而逐的增大而逐渐渐衰减衰减趋趋近近于于0 0。这样这样的系的系统统称称为稳为稳定系定系统统，这时这时的自由响的自由响应应也称也称为为瞬瞬态态响响应应。稳稳定系定系统统在在阶跃阶跃序列或有始周序列或有始周期序列作用下，其期序列作用下，其强强迫响迫响应应也称也称为稳态为稳态响响应应。20.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-21页电子课件电子课件 三、零零输输入响入响应应 系系统统的激励的激励为为零，零，仅仅由系由系统统的初始状的初始状态态引起的引起的响响应应，称，称为为零零输输入响入响应应，用，用 表示。在零表示。在零输输入条件入条件下，微分方程等号右端下，微分方程等号右端为为零，化零，化为齐为齐次方程。次方程。一般一般设设定激励是在定激励是在k=0k=0时时接入系接入系统统的，在的，在k0k0k0时时，系系统统的的单单位序列响位序列响应应与系与系统统的零的零输输入响入响应应的函数形的函数形式相同。式相同。这样这样就把求就把求单单位序列响位序列响应应的的问题转问题转化化为为求求差分方程差分方程齐齐次解的次解的问题问题，而，而k=0k=0处处的的值值 可按零状可按零状态态的条件由差分方程确定。的条件由差分方程确定。41.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-42页电子课件电子课件例：求如例：求如图图所示离散系所示离散系统统的的单单位序列响位序列响应应写差分方程写差分方程根据根据单单位序列响位序列响应应 的定的定义义，它，它应满应满足方程足方程DD42.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-43页电子课件电子课件求初始求初始值值由由 求求由于由于（2 2）求）求 对对于于k0k0，满满足方程足方程 求求齐齐次解次解其特征方法其特征方法为为其特征根其特征根 ，方程的，方程的齐齐次解次解为为 43.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-44页电子课件电子课件 将初始将初始值值代入，有代入，有 请请注意，注意，这时这时已将已将 代入，因而方程的解也代入，因而方程的解也满满足足k=0k=0。有上式可解得。有上式可解得 于是得系于是得系统统的的单单位序列响位序列响应为应为：44.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-45页电子课件电子课件例：如例：如图图离散系离散系统统，求其，求其单单位序列响位序列响应应（1）列方程）列方程 由由 得得DD45.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-46页电子课件电子课件根据根据单单位序列响位序列响应应的定的定义义，应满应满足方程足方程和初始状和初始状态态（2 2）求）求 思路：思路：将将 和和 看作是两个激励，分看作是两个激励，分别别求它求它们们的的单单位序列响位序列响应应，然后按，然后按线线性性性性质质求得系求得系统统的的单单位序列响位序列响应应。46.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-47页电子课件电子课件47.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-48页电子课件电子课件48.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-49页电子课件电子课件 阶跃阶跃响响应应 当当LTILTI离散系离散系统统的激励的激励为单为单位位阶跃阶跃序列序列时时 时时，系，系统统的零的零状状态态响响应应称称为单为单位位阶跃阶跃响响应应称称为单为单位位阶跃阶跃响响应应或或阶跃阶跃响响应应，用，用 表示。若已知系表示。若已知系统统的差分方程，那么利用的差分方程，那么利用经经典典法可以求得系法可以求得系统统的的单单位位阶跃阶跃响响应应。类类似地似地 有有49.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-50页电子课件电子课件例：求如例：求如图图所示离散系所示离散系统统的的单单位位阶阶响响应应（1）经经典法典法 系系统统的差分方程的差分方程为为：根据根据阶跃阶跃响响应应的含的含义义，满满足方程足方程DD50.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-51页电子课件电子课件初始状初始状态态 上式可写上式可写为为得：得：差分方程的特征根：差分方程的特征根：方程的特解解方程的特解解为为：则则系系统阶跃统阶跃响响应为应为将初始将初始值值 代入，得代入，得 ，则则51.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-52页电子课件电子课件（2 2）利用）利用单单位位阶跃阶跃序列序列 已知系已知系统统的的单单位序列响位序列响应为应为：系系统统的的阶跃阶跃响响应为应为：52.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-53页电子课件电子课件常用的几何数列求和公式：1.2.3.53.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-54页电子课件电子课件4.5.6.7.54.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-55页电子课件电子课件 3.3 卷积和 本本节讨论节讨论离散系离散系统对统对任意任意输输入的零状入的零状态态响响应应一、卷一、卷积积和和 在在LTILTI连续时间连续时间系系统统中，把激励信号分解中，把激励信号分解为为一系列冲激函数，求出各冲激函数一系列冲激函数，求出各冲激函数单单独作用独作用于系于系统时统时的冲激响的冲激响应应，然后将，然后将这这些响些响应应相加就相加就得到得到对对于于该该激励信号的零状激励信号的零状态态响响应应。这这个相加个相加的的过过程表程表现为现为求卷求卷积积积积分。分。55.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-56页电子课件电子课件 将离散信号分解将离散信号分解为单为单位序列之和，利用系位序列之和，利用系统统的的单单位序列响位序列响应应求激励信号作用于系求激励信号作用于系统统的零状的零状态态响响应应，这这个个过过程表程表现为现为求卷求卷积积和。和。任意离散任意离散时间时间序列序列 可表示可表示为为：56.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-57页电子课件电子课件 如果如果LTILTI系系统统的的单单位序列响位序列响应为应为 ，那么，由，那么，由线线性性系系统统的的齐齐次性和次性和时时不不变变系系统统的移位不的移位不变变性可知，系性可知，系统统对对 的响的响应为应为 。则则序列序列 作用于系作用于系统统所引起的零状所引起的零状态态响响应应 应为应为 57.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-58页电子课件电子课件 卷卷积积和也和也简简称称为为卷卷积积，通常用，通常用 表示，即表示，即 LTI系系统对统对于任意激励的零状于任意激励的零状态态响响应应是激励是激励 与系与系统单统单位序列响位序列响应应 的卷的卷积积和。和。一般地，若有两个序列一般地，若有两个序列 ，其卷，其卷积积和和为为58.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-59页电子课件电子课件例：如例：如 求求解：由卷解：由卷积积的定的定义义式，考式，考虑虑到到 得得根据根据 的定的定义义，故故59.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-60页电子课件电子课件（2）由卷积和的定义故显然，上式中k0，故应写成：60.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-61页电子课件电子课件二、卷积和的图示 在在计计算卷算卷积积和和时时，正确地，正确地选选定参定参变变量量k k的适用的适用区域以及确定相区域以及确定相应应的求和上限和下限是十分关的求和上限和下限是十分关键键的的步步骤骤，图图示法也是求示法也是求简单简单序列卷序列卷积积和的有效方法。和的有效方法。用作用作图图法法计计算序列卷算序列卷积积和的有效方法。和的有效方法。61.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-62页电子课件电子课件例：如有两个序列例：如有两个序列62.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-63页电子课件电子课件 （1 1）将序列）将序列 的自的自变变量量换为换为i i，序列，序列 的的图图形如形如图图所示。所示。（2 2）将）将 反反转转后，得后，得 ，如，如图图所示。所示。63.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-64页电子课件电子课件64.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-65页电子课件电子课件65.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-66页电子课件电子课件66.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-67页电子课件电子课件求卷求卷积积和的序列和的序列阵阵列表列表67.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-68页电子课件电子课件列表法求解例列表法求解例68.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-69页电子课件电子课件三、卷积的性质 离散信号卷离散信号卷积积和的运算也服从某些代数运算和的运算也服从某些代数运算规则规则。交交换换律律 分配律分配律 结结合律合律69.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-70页电子课件电子课件70.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-71页电子课件电子课件 如果序列之一是如果序列之一是单单位序列，由于位序列，由于 仅仅当当k为为0时时等于等于1，不，不为为0时时全全为为0，因而有：，因而有：即序列即序列 与与单单位序列位序列 的卷的卷积积和就是序列和就是序列 本身本身 将上式推广，将上式推广，与移位序列与移位序列 的卷的卷积积和和有交有交换换律，有律，有71.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-72页电子课件电子课件 例：如例：如图图的复合系的复合系统统由两个子系由两个子系统级联组统级联组成，已知子成，已知子系系统统的的单单位序列响位序列响应应分分别为别为 ，求复合系，求复合系统统的的单单位序列响位序列响应应 。72.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-73页电子课件电子课件 解：根据解：根据单单位序列响位序列响应应的定的定义义，复合系，复合系统统的的单单位序位序列响列响应应 是激励是激励 时时系系统统的零状的零状态态响响应应，即，即 令令 ，则则子系子系统统1 1的零状的零状态态响响应为应为：当子系当子系统统2 2的的输输入入为为 时时，子系，子系统统2 2的零状的零状态态响响应应亦亦即复合系即复合系统统的零状的零状态态响响应为应为：73.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-74页电子课件电子课件复合系复合系统统的的单单位序列响位序列响应为应为：考考虑虑到当到当 时时，时时 以及在以及在 区区间间 当当 时时 当当 时时 74.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-75页电子课件电子课件显显然上式然上式仅仅在在k0k0成立，故得：成立，故得：通常利用通常利用单单位序列来位序列来简简便求移位序列的卷便求移位序列的卷积积和。和。75.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-76页电子课件电子课件例：如例：如图图所示的离散系所示的离散系统统，求系，求系统统的全响的全响应应。已知初始状已知初始状态态 激励激励解：解：该该系系统统的差分方程的差分方程为为：76.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-77页电子课件电子课件（1 1）求零）求零输输入响入响应应根据零根据零输输入响入响应应的定的定义义，它，它满满足方程足方程由初始状由初始状态态 得初始条件：得初始条件：对应对应特征方程的特征根特征方程的特征根为为 ，故有，故有将初始条件代入得零将初始条件代入得零输输入响入响应为应为：77.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-78页电子课件电子课件（2 2）求）求单单位序列响位序列响应应和零状和零状态态响响应应根据根据单单位序列响位序列响应应的定的定义义，系，系统统的的单单位序列响位序列响应应 满满足足初始状初始状态态 如前例中求法得：如前例中求法得：系系统统的零状的零状态态响响应应等于激励等于激励 与与单单位序列响位序列响应应 的的卷卷积积和，即和，即78.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-79页电子课件电子课件系系统统的全响的全响应为应为：79.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-80页电子课件电子课件 3.4 3.4 反卷反卷积积 在前面的在前面的讨论讨论中，若中，若给给定系定系统统的激励的激励 和和单单位位序列响序列响应应 ，则则系系统统的零状的零状态态响响应应：而在一些而在一些实际应实际应用（如地震信号用（如地震信号处处理、地理、地质质勘探或考勘探或考古勘探等）中，往往是古勘探等）中，往往是对对待待测测目目标发标发送信号送信号 ，测测得得反射回波反射回波 ，由此，由此计计算被算被测测目目标标的特性的特性 ，也就是，也就是说说，给给定定 和和 ，求，求 ，这这称称为为反卷反卷积积，也称，也称为为解卷解卷积积或逆卷或逆卷积积。80.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-81页电子课件电子课件由前例得：由前例得：由上式得由上式得可可见见，求，求 的的过过程是一个程是一个递递推的推的过过程程81.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-82页电子课件电子课件依据依据递递推推规规律可以求出律可以求出 的表达式的表达式为为：上式也可以上式也可以这样这样推得推得同理可得根据同理可得根据 求求 的表达式的表达式82.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-83页电子课件电子课件例：已知某系例：已知某系统统的激励的激励 ，其零状，其零状态态响响应为应为求求该该系系统统的的单单位序列响位序列响应应 。解：解：依此依此类类推，不推，不难归纳难归纳出出83.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-84页电子课件电子课件84.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-85页电子课件电子课件85.信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统第1-86页电子课件电子课件86.