电磁场与电磁波-静态场边值问题.ppt
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1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page15/27/2024第四章第四章 静静态场边值问题态场边值问题的解法的解法1.边值问题边值问题的分的分类类2.唯一性定理唯一性定理3.直角坐直角坐标标系中的系中的分离分离变变量法量法4.圆圆柱坐柱坐标标系中的系中的分离分离变变量法量法5.球坐球坐标标系中的系中的分离分离变变量法量法6.镜镜像法像法7.有限差分法有限差分法主主 要要 内内 容容1.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page25/27/20244.1 4.1 边值问题边值问题的分的分类类 第一第一类类边值问题边值问题:已知位函数在全部已知位函数在全部边边
2、界面上的分布界面上的分布值值l 边值问题边值问题 是指存在是指存在边边界面的界面的电电磁磁问题问题。l 根据根据给给定定边边界条件界条件对边值问题对边值问题分分类类:狄里赫利狄里赫利问题问题(Dirichlet)第二第二类类边值问题边值问题:已知位函数在全部:已知位函数在全部边边界面上的法向界面上的法向导导数数值值第三第三类类边值问题边值问题:已知一部分:已知一部分边边界面上的位函数界面上的位函数值值,和另一和另一 部分部分边边界面上位函数的法向界面上位函数的法向导导数数值值诺诺埃曼埃曼问题问题(Neumann)混合混合边值问题边值问题 2.边值问题边值问题框框图图一、二一、二类边类边界界条件
3、的条件的线线性性组组合,即合,即已知已知场场域域边边界界上各点上各点电电位位的法向的法向导导数数已知已知场场域域边边界界上各点上各点电电位位值值第一第一类类边边界条件界条件第二第二类类边边界条件界条件第三第三类类边边界条件界条件边值问题边值问题参考点参考点电电位位 有限有限值值场场域域边边界条件界条件分界面分界面衔衔接条件接条件自然自然边边界条件界条件微分方程微分方程边边界条件界条件3.解析法解析法数数值值法法实测实测法法模模拟拟法法定性定性定量定量边值问题边值问题研究方法研究方法计计算法算法实验实验法法作作图图法法有限差分法有限差分法有限元法有限元法边边界元法界元法矩量法矩量法模模拟电拟电荷
4、法荷法积积分法分法分离分离变变量法量法镜镜像法像法、电轴电轴法法微分方程法微分方程法保角保角变换变换法法数学模数学模拟拟法法物理模物理模拟拟法法边值问题边值问题研究方法框研究方法框图图4.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page55/27/2024唯一性定理:唯一性定理:在在场场域域V V的的边边界面界面S S上上给给定位函数定位函数 或或 的的值值,则则泊松方程泊松方程或或拉普拉斯方程拉普拉斯方程在在场场域域V V内的解唯一。内的解唯一。l 唯一性定理的意唯一性定理的意义义 指出了静指出了静态场边值问题态场边值问题具有唯一解的条件;具有唯一解的条件;为为静静态场边值问题态
5、场边值问题求解方法提供了理求解方法提供了理论论根据,根据,为结为结果果 正确性提供了判据;正确性提供了判据;唯一性定理是唯一性定理是间间接法求解接法求解拉普拉斯方程拉普拉斯方程(泊松方程泊松方程)的的 理理论论根据。根据。4.2 4.2 唯一性定理唯一性定理 (Uniquness Theorem)5.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page65/27/20244.3 4.3 直角坐直角坐标标系中的分离系中的分离变变量法量法 分离分离变变量法是数理方程中量法是数理方程中应应用最广泛的一种方法,它用最广泛的一种方法,它适用于求解具有理想适用于求解具有理想边边界条件的典型界条件的
6、典型边值问题边值问题。分分离离变变量量法法是是通通过过偏偏微微分分方方程程求求解解边边值值问问题题。其其基基本本思思想想是是:首首先先要要求求给给定定边边界界面面与与坐坐标标面面相相合合,或或分分段段相相合合;其其次次要要求求待待求求偏偏微微分分方方程程的的解解可可表表示示为为若若干干个个函函数数的的乘乘积积,其其中中的的每每个个函函数数分分别别仅仅是是一一个个坐坐标标变变量量的的函函数数。这这样样,通通过过分分离离变变量量可可将将一一个个偏偏微微分分方方程程转转化化为为多多个个常常微微分分方方程程来来求解。求解。6.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page75/27/20
7、24l 分离分离变变量法解量法解题题的一般步的一般步骤骤:根据根据边边界的几何形状和界的几何形状和场场的分布特征的分布特征选选定坐定坐标标系系,写出,写出 对应对应的的边值问题边值问题(微分方程和(微分方程和边边界条件);界条件);分离分离变变量量,将一个偏微分方程,分离成几个常微分方程;,将一个偏微分方程,分离成几个常微分方程;解常微分方程,并叠加各特解得到解常微分方程,并叠加各特解得到通解通解;利用利用给给定的定的边边界条件界条件确定确定积积分常数分常数,最,最终终得函数的解。得函数的解。在直角坐在直角坐标标系中,系中,拉普拉斯方程拉普拉斯方程为为:l 直角坐直角坐标标系中的分离系中的分离
8、变变量法量法7.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page85/27/2024设设 可以表示可以表示为为三个函数的乘三个函数的乘积积,即:即:当当 时时 代入上式,得代入上式,得 其中其中 为为分离常数分离常数,且,且分析分析 与与 讨论讨论上式中每上式中每项项都只是一个都只是一个变变量的函数,其成立的唯一条件是量的函数,其成立的唯一条件是三三项项中每中每项项都是一个常数,故有都是一个常数,故有8.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page95/27/2024当当 时时 通解:通解:当当 时时 令令 其中其中 为实为实数数通解:通解:或者或者同理可以求得同理
9、可以求得 和和l 利用利用给给定的定的边边界条件确定界条件确定积积分常数,最分常数,最终终得函数的解。得函数的解。双曲函数9.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page105/27/2024例例4.3-1 横横截截面面如如图图所所示示的的导导体体长长槽槽,上上方方有有一一块块与与槽槽相相互互绝绝缘缘的的导导体体盖盖板板,截截面面尺尺寸寸为为ab,槽槽体体的的电电位位为为零零,盖盖板板的的电电位位为为U(x),求此区域内的求此区域内的电电位。位。在区域在区域 0 xa、0yb内内边边界条件界条件为为:x=0,(0,y)=0 x=a,(a,y)=0 y=0,(x,0)=0 y=b
10、,(x,b)=U(x)解:解:选择选择直角坐直角坐标标系系10.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page115/27/2024通解:通解:其中其中确定常数:确定常数:当当 时时 所以所以由于在由于在X X方向上方向上有重复零点有重复零点(x x0 0和和a a点),因此点),因此 函数函数应应为为三角函数,三角函数,即:即:且且令令分离分离变变量量11.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page125/27/2024当当 时时 故:故:分离变量法当当 时时 因因为为12.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page135/27/2024所以
11、所以故:故:当当 时时 讨论讨论两种情况两种情况 和和分离变量法I.I.当当13.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page145/27/2024左右两左右两边边同乘以同乘以 ,并在区,并在区间间(0(0,a)a)积积分分 又有又有因此因此m=1,3,5,分离变量法14.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page155/27/2024对应对应系数相等系数相等II.II.当当因此因此分离变量法15.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page165/27/2024分离分离变变量法的量法的求解步求解步骤骤 l 选择选择适当的坐适当的坐标标系系,确
12、定确定变变量的个数;量的个数;l 写出方程的通解;写出方程的通解;l 利用自然利用自然边边界条件化界条件化简简通解;通解;l 利用利用电电磁磁边边界条件建立待定系数的方程界条件建立待定系数的方程 并解方程并解方程,求出待定系数。求出待定系数。16.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page175/27/20244.4 4.4 圆圆柱坐柱坐标标系中的分离系中的分离变变量法量法圆圆柱坐柱坐标标中的拉普拉斯方程(中的拉普拉斯方程()为为仅讨论仅讨论二二维维平面平面场场,即,即与坐与坐标变标变量量无关的情况无关的情况令令,代入上式得,代入上式得化化简简得得17.电磁场与电磁波电磁场与
13、电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page185/27/2024令令 第二第二项项等于(等于()分析分析 与与 讨论讨论当当 时时 当当 时时 1讨论讨论分离变量法由于由于 是周期性函数,即是周期性函数,即所以所以 ,且,且为为正整数,即正整数,即 。18.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page195/27/2024当当 时时 当当 时时 2讨论讨论欧拉方程欧拉方程令令代入上式,整理得:代入上式,整理得:通解通解19.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page205/27/2024例例4.4-1一根半径一根半径为为a、介、介电电常数常数为为的无限的无限长长介
14、介质圆质圆柱体置柱体置于均匀外于均匀外电场电场中,且与中,且与相垂直。相垂直。设设外外电场电场方向方向为为x轴轴方方向,向,圆圆柱柱轴轴与与z轴轴重合(如重合(如图图所示),求所示),求圆圆柱内、外的柱内、外的电电位函位函数。数。解:解:选择圆选择圆柱坐柱坐标标系。系。设设园柱内、园柱内、外的外的电电位分位分别为别为、,并假,并假设设零零电电位点在坐位点在坐标标原点。原点。显显然然、均是与均是与z无关的二无关的二维维场场,都,都满满足拉氏方程:足拉氏方程:分离变量法20.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page215/27/2024则则,圆圆柱坐柱坐标标系中二系中二维场维场
15、的通解的通解为为:令令由由题题意知,意知,场场分布分布对对称于称于x轴轴,即:,即:故通解中只能包含余弦故通解中只能包含余弦项项即:即:当当 时时,其中:其中:21.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page225/27/2024当当 时时,应为应为有限有限值值,即,即 中不能有中不能有 项项。当当 时时,由介,由介质质分界面条件知。分界面条件知。切向:切向:22.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page235/27/2024法向:法向:联联立方程(立方程(1)、()、(2)解得:)解得:23.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page2
16、45/27/2024介介质圆质圆柱体内、外的柱体内、外的电场电场强强度度为为:24.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page255/27/2024边边界条件界条件:1例例4.4-1 将将半半径径为为 的的无无限限长长导导体体圆圆柱柱置置于于真真空空中中的的均均匀匀电电场场 中,柱中,柱轴轴与与 垂直,求任意点的垂直,求任意点的电电位。位。2解:解:25.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page265/27/202412分离变量法26.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page275/27/2024分离变量法27.电磁场与电磁波电磁场与电
17、磁波合肥工业大学合肥工业大学Page285/27/20244.5 4.5 球坐球坐标标系中的分离系中的分离变变量法量法球坐球坐标标中的拉普拉斯方程(中的拉普拉斯方程()为为仅讨论场问题仅讨论场问题与坐与坐标标无关无关时时的情形的情形令令,代入上式并整理得,代入上式并整理得令两令两项项分分别别等于常数等于常数和和28.引入引入一个新的自一个新的自变变量量则则有有勒勒让让德方程德方程当当时时,勒勒让让德方程德方程有一个有界解有一个有界解勒勒让让德多德多项项式式1讨论讨论29.下面是前几个勒下面是前几个勒让让德多德多项项式式当当时时,;时时,当当勒勒让让德多德多项项式式勒让德多项式图形 勒勒让让德多
18、德多项项式具有正交性式具有正交性 30.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page315/27/20242讨论讨论欧拉方程欧拉方程通解通解综综上上,球坐,球坐标标中中 的通解的通解为为令令31.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page325/27/2024例例4.5-1 在在均均匀匀电电场场 中中,放放置置一一个个半半径径为为a的的导导体体球球,球心在原点。求球外的球心在原点。求球外的电电位及位及电场电场强强度分布。度分布。解:解:边边界条件界条件 通解通解选择选择球坐球坐标标系,并系,并设导设导体球体球为为零零电电位。位。32.电磁场与电磁波电磁场与电磁
19、波合肥工业大学合肥工业大学Page335/27/2024 33.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page345/27/2024l 求解位于接地求解位于接地导导体板附近的点体板附近的点电电荷荷产产生的生的电电位位 非均匀感非均匀感应电应电荷荷等效等效电电荷荷4.6 4.6 镜镜像法像法l 接地接地导导体球附近有一个点体球附近有一个点电电荷荷产产生的生的电电位位等效等效电电荷荷非均匀感非均匀感应电应电荷荷产产生的生的电电位很位很难难求解,可以用等效求解,可以用等效电电荷的荷的电电位替代。位替代。34.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page355/27/20
20、24 镜镜像像法法的的目目的的:把把具具有有典典型型边边界界的的静静态态场场的的计计算算问问题题,转转化化为为无无限限大大均均匀匀媒媒质质空空间间中中的的问问题题求求解解,以以达达到到简简化化计计算的目的。算的目的。镜镜像像法法基基本本思思路路:在在待待求求解解场场域域外外的的适适当当位位置置,以以虚虚拟拟电电荷荷替代分界面上替代分界面上导导体的体的感感应电应电荷荷或媒或媒质质的极化的极化电电荷。荷。镜像法 镜镜像像法法的的理理论论依依据据:由由唯唯一一性性定定理理知知:满满足足同同一一方方程程和和同同样样边边界界条条件件的的位位函函数数的的解解是是相相同同的的。所所以以引引入入镜镜像像电电荷
21、荷后,后,应该应该:保持原方程和原保持原方程和原边边界条件不界条件不变变。l 镜镜像像电荷位置荷位置选择原原则 1 镜镜像像电电荷必荷必须须位于待求解位于待求解场场域以外域以外2 镜镜像像电电荷的引入不能改荷的引入不能改变变原原问题问题的的边边界条件界条件35.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page365/27/20241.1.平面平面边边界的界的镜镜像法像法例例4.6-1 求求置置于于无无限限大大接接地地平平面面导导体体上上方方,距距导导体体面面为为 处处的的点点电电荷荷 的的电电位,并求出位,并求出场场的分布。的分布。一、静一、静电场电场中的中的镜镜像法像法(除除 q
22、 所在点外的区域所在点外的区域)(边边界条件界条件)解:解:当当 时时,;当当 时时,当当 时时,;确定确定镜镜像像电电荷(位置、数量和大小)荷(位置、数量和大小)上半空上半空间间内任意点内任意点的的电电位位为为 平面导体的镜像 Pzz36.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page375/27/2024平面平面导导体上的体上的感感应电应电荷密度荷密度为为 验证边验证边界条件界条件当当Z=0时时,所以所以 平面导体的镜像 z37.电磁场与电磁波电磁场与电磁波合肥工业大学合肥工业大学Page385/27/2024对应对应的的场场分布分布图图:镜像法38.电磁场与电磁波电磁场与电
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