椭圆难题(包括答案).doc
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1、(完整版)椭圆难题(包括答案)关于焦点三角形与焦点弦(1)椭圆上一点与两个焦点所构成的称为焦点三角形.设,则有:P ,当(即为短轴顶点)时,最大,此时 的面积当(即为短轴顶点)时,最大,且 AB(2)经过焦点或的椭圆的弦,称为焦点弦.设,的中点为,则弦长 (左焦点取“+”,右焦点取“)当轴时,最短,且关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法1 联立方程法:联立直线和椭圆方程,消去,得到关于的一元二次方程,设交点坐标为,则有,以及,还可进一步求出。在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法2 点差法:设交点坐标为代入椭圆方程,并将两式相减,可得,在涉及斜率、中点、范围等问题时,常用此法典例剖
2、析1 求椭圆的标准方程【例2】设椭圆的左焦点为,上顶点为,过点作的垂线分别交椭圆于,交轴于,且(1)求椭圆的离心率。(2)若过三点的圆恰好与直线相切,求椭圆的方程。【解】(1)由已知可得: 由可得:,将点坐标代入椭圆方程可得:。 即 (2)由(1)得:,圆心为,半径于是有:(圆心到直线距离), 所以 。故椭圆方程为:【例4】已知椭圆的中心在原点,短轴长为,右准线交轴于点,右焦点为,且,过点的直线交椭圆于两点(1)求椭圆的方程(2)若,求直线的方程(4)求的最大面积【解】(1) 椭圆方程为:(2)设直线的方程为:,且设联立 消去,得:则 从而求得:由 得 : ,求得 所以的方程为:(4)由(1)
3、得:令 , 则 当且仅当,即时,取“”所以的最大面积为2 椭圆的性质【例6】已知椭圆的两个焦点分别为,,在椭圆上存在一点,使得(1)求椭圆离心率的取值范围(2)当离心率取最小值时,的面积为,设是椭圆上两动点,若线段的垂直平分线恒过定点。求椭圆的方程;求直线的斜率的取值范围。【解】(1)设椭圆短轴的端点为B,由已知及椭圆的性质得: 所以,从而 ,即,又, 所以,得:,所以 。(2)当取得最小值时,在短轴顶点,所以, 又, 故求得:。 所以椭圆方程为:设,设直线的方程为,的垂直平分线方程为:联立消去得:则有 即 又有: 从而所以的中点为 。又在的垂直平分线上,所以, 即 将代人求得:求取值范围问题
4、通常要建立不等式,关于不等式的来源有以下几种情况:(1)已知不等式;(2)椭圆上的点的横坐标满足;(3);(4)椭圆内部的点满足; 【例7】椭圆的中心在原点,焦点在轴上,斜率为的直线过椭圆的右焦点与椭圆交于两点,与向量共线.(1)求椭圆的离心率(2)设为椭圆上任一点,若,求证:为定值【解】(1)设椭圆方程为 ,设, 由已知:直线AB的方程为:,代入椭圆方程,得: , 由韦达定理得:,易知: 因为与向量共线,所以 , 而,所以, 即 ,于是有: 又 ,所以,故有:.(2)由(1)得:,所以椭圆方程为:,即,直线AB的方程为:,于是有:,从而,。于是。设,由已知:,将M的坐标代入椭圆方程得:, 即
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