第一章习题答案(2).doc

机械振动基础
习 题
1-1 一物体放在水平台面上，当台面沿竖直方向作频率为5Hz的简谐振动时，要使物体不跳离台面，试问对台面的振幅有何限制？
解：物体做简谐运动，设系统运动方程为：

对物体分离作受力分析:

要使物体不条离台面，要求，即：

也就是

1-2 求简谐运动和合成运动的最大振幅与最小振幅，并求其拍频和周期。
解：最大振幅为
最大振幅为
拍频为
周期为
1-3 写出图示系统的等效刚度表达式。当，，时，求系统的固有频率。

题1-3图
解：系统等效刚度为：

系统的固有频率为：

1-4 图中简支梁长、抗弯刚度，且，。分别求图示两种系统的固有频率。

题1-4图
解：简支梁的等效刚度

左图系统等效于弹簧并联：

系统固有频率为：

右图系统等效于弹簧串联：

系统固有频率为：

1-5 钢索的刚度为，绕过定滑轮吊着质量为的物体以匀速下降。若钢索突然卡住，求钢索内的最大张力。
解：此问题等效于单自由度无阻尼系统的自由振动
固有频率
初始条件是：
则系统的振幅
故由振动引起的最大动张力
1-6 图示重物挂在弹簧上使弹簧静变形为。现重新将重物挂在未变形弹簧的下端，并给予向上的初速度，求重物的位移响应和从开始运动到它首次通过平衡位置的时间。

题1-6图
解：系统的固有频率为

初始条件是：
则系统的振幅
初相位
那么系统的位移响应为
系统首次经过平衡位置，也即，于是有：

1-7 证明对于临界阻尼或过阻尼，系统从任意初始条件开始运动至多越过平衡位置一次。
证明：时

式中，而单调，故对任意，也即任意初始条件至多
有一次过平衡位置；
时

式中，而单调，故对任意，也即任意初
始条件至多有一次过平衡位置；
1-8 一单自由度阻尼系统， 时，弹簧静伸长。自由振动20个循环后，振幅从降至。求阻尼系数c及20个循环内阻尼力所耗能量。
解：静平衡时：

系统固有频率
自由振动20个循环有：

此时
又，
则
20个循环内阻尼力所耗能量

1-9 已知单自由度无阻尼系统的质量和刚度分别为、，求该系统在零初始条件下被简谐力激发的响应。
解：系统的运动方程为：

初始条件是：
令方程特解为：
其中
由零初始条件知齐次方程解为零
系统的激发响应为：

1-10 质量为的机器安装在刚度和阻尼系数的隔振器上，受铅垂方向激振力作用而上下振动。求：
(1) 当时的稳态振幅；
(2) 振幅具有最大值时的激振频率；
(3) 与之比值。

解：

(1) 当时
(m)
(2) 振幅最大时激振频率

(3) 振幅最大时激振频率

其中
1-11 一质量为的单自由度系统，经试验测出其阻尼自由振动频率为，在简谐激振力作用下位移共振的激振频率为。求系统的固有频率、阻尼系数和振幅对数衰减率。
解：位移共振时

又
那么
阻尼比
振幅对数衰减率

题1-12图
1-12 图示系统中刚性杆质量不计，写出运动微分方程。并分别求出和时质量的线位移幅值。
解：对绞支点取矩，系统的运动微分方程为

由上式有固有频率
阻尼比
静力幅
又稳态振动振幅

当时质量的线位移幅值：

当时质量的线位移幅值：

1-13 一电机质量为，转速为3000转/分，通过4个同样的弹簧对称地支承在基础上。欲使传到基础上的力为偏心质量惯性力的10%，求每个弹簧的刚度系数。
解：系统运动微分方程为：

由上式可得系统的稳定振型为：

其中
又
则
每个弹簧的刚度系数
1-14 发动机的工作转速为1500～2000 转/分，要隔离发动机引起的电子设备90%以上的振动，若不计阻尼，求隔振器在设备自重下的静变形。
解：隔振系统的固有频率

系统绝对运动传递率

由以上两式

又，即
可得
1-15 为测量频率为的简谐运动，分别设计位移传感器和加速度传感器，并要求其误差不超过10%。若取，问对传感器的固有频率有何限制？
解：由题意知加速度传感器测得的振幅应为实际的90％，即

解得：
则要求
位移传感器测得的振幅应为实际的90％，即

解得：
则

题1-16图
1-16 单自由度无阻尼系统受图示力激励，求系统在初始条件、下的响应。
解：系统的运动微分方程及初始条件为

单位脉冲响应函数为

由积分，求得系统响应函数
(1) 当时，系统的响应为自由响应

(2) 当时，系统的响应为

(3) 当时，系统的响应为

1-17 图示系统，基础有阶跃加速度，求系统在、下的相对位移响应。

题1-17图
解：质量的运动方程为

令，则有

初始条件为
零初始条件下，由积分得：

初始条件引起的响应为：

则系统的相对响应位移为：
1-18 单自由度无阻尼系统的初始条件为零，求其在图示外力作用下的响应。

题1-18图
解：系统的运动微分方程及初始条件为

激励的表达式为：

由积分，求得系统响应函数
(2) 当时，系统的响应为

(2) 当时，系统的响应为

(3) 当时，系统的响应为

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