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(完整word版)第五章信道编码习题解答
第五章 信道编码 习题解答
1．写出与10011的汉明距离为3的所有码字。
解：共有10个：01111，00101，00000，01010，01001，00110，11101，10100，11000，11110。

2． 已知码字集合的最小码距为，问利用该组码字可以纠正几个错误？可以发现几个错误？请写出一般关系式。
解：根据公式：
可发现e个错。
可纠正t个错。
得出规律：
（1） ，则不能发现错及纠错。
（2）为奇数：可纠个码元错或发现个码元错。
（3）为偶数：可纠个码元错，或最多发现个码元错。
（4）码距越大，纠、检错能力越强。

3．试计算（8，7）奇偶校验码漏检概率和编码效率。已知码元错误概率为。
解：由于较小，可只计算错两个码元（忽略错4或6个码元）的情况：

4．已知信道的误码率，若采用“五三”定比码，问这时系统的等效（实际）误码率为多少？
解：由于较小，可只计算错两个码元的情况

5．求000000，110110，011101，101011四个汉明码字的汉明距离，并据此求出校正错误用的校验表。
解：先求出码字间距离：
000000 110110 011101 101011
000000 4 4 4
110110 4 4 4
011101 4 4 4
101011 4 4 4
汉明距离为4，可纠一位错。
由于一个码字共有6个码元，根据公式： 得 即每个码字应有3位监督码元，6-3=3位信息码元。
直观地写出各码字：
令为监督码元，观察规律则可写出监督方程：
从而写出校验子方程：
列出校验表：
校验子
ok
x1*
x2*
x3*
x4*
x5*
x6*
s1
0
1
0
1
1
0
0
s2
0
0
1
1
0
1
0
s3
0
1
1
0
0
0
1

6．写出信息位，且能纠正1个错的汉明码。
解：汉明码的信息码元为六个，即：。监督码元数r应符合下式：
取满足上式的最小r：，即为(10，6)汉明码。其码字由10个码元构成：。
先设计校验表(不是唯一的)：
校验子
ok
x1*
x2*
x3*
x4*
x5*
x6*
x7*
x8*
x9*
x10*
s1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
s2
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
s3
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
s4
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
根据校验表写出校验子方程：
写出监督方程，即监督码元与信息码元之间的关系：
根据监督方程编码，写出（10，6）汉明码码字(大部分略，同学们可自行完成)：
码字号
信息码元
监督码元

1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
2
0 0 0 0 0 1
0 0 1 1
3
0 0 0 0 1 0
0 1 0 1
4
0 0 0 0 1 1
0 1 1 0
5
0 0 0 1 0 0
0 1 1 0
6
0 0 0 1 0 1
0 1 0 1
：
：
：
：
：
：
63
1 1 1 1 1 0
1 1 0 0
64
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1

7. 已知纠正一位错的（7，4）汉明码的生成矩阵为：
1）请写出其监督矩阵；
2）请写出其校验表；
3）对信源序列1110，1010，0110，...进行编码；
4）对接收端接收到的码字序列0011101，1100100，1011001，…进行译码。
解：1）监督矩阵：右边3×3是单位阵，左边3×4子阵是生成矩阵右边4×3子阵的转置：

2）校验表：每个校验子列向量对应为监督矩阵的列向量，增加一个无差错列向量000。

校验子
ok
x1*
x2*
x3*
x4*
x5*
x6*
x7*
s1
0
1
1
0
1
1
0
0
s2
0
1
0
1
1
0
1
0
s3
0
0
1
1
1
0
0
1

3）根据编码：
或者用由监督矩阵得到的监督方程编码：

编码得：1110000，1010101，0110110，…
4）根据校验子方程（校验子方程是监督方程左右两边异或）：

0011101 à [S]=[001]T à x7*错 à 0011100 à 0011
1100100 à [S]=[111]T à x4*错 à 1101100 à 1101
1011001 à [S]=[011]T à x3*错 à 1001001 à 1001
译码得：0011，1101，1001，…

8. （7，4）循环码的生成多项式为：
1）写出其监督矩阵和生成矩阵；
2）对信息码元0110，1001进行编码，分别写出它们的系统码和非系统码；
3）对接收端接收到的系统码字0101111，0011100进行译码。
解：1）生成矩阵：生成多项式系数降幂排列：1101，补零成n位的行向量：1101000，循环移位成k行的矩阵：
监督矩阵：校验多项式系数升幂排列：10111，补零成n位的行向量：1011100，循环移位成r 行的矩阵：
2）根据编码：

得非系统码字：0101110，1100101
根据多项式除法（长除法见第9题解答）编码得系统码字：0110100，1001011，具体方法如下：
0110 m(x) = x2+x xrm(x) = x5+x4
à 0110100
1001 m(x) = x3+1 xrm(x) = x6+x3
à 1001011
3）生成多项式为g(x) = x3+x2+1的（7,4）循环码校验表（获取方法见第9题解答）
校验子
无错
C0*
C1*
C2*
C3*
C4*
C5*
C6*
s2
0
0
0
1
1
1
0
1
s1
0
0
1
0
0
1
1
1
s0
0
1
0
0
1
1
1
0

0101111写成多项式，除以生成多项式得余式1， à [S]=[001]T ，查表知C0*错，即0101111 à 0101110，去尾部3位监督码元，得信息码元0101 。

0011100写成多项式，除以生成多项式得余式x2+x ，à [S]=[110]T ，查表知C6*错，即0011100 à 1011100，去尾部3位监督码元，得信息码元1011。

9. 已知（7，4）循环码的生成多项式为：
当收到一循环码字为0010011时，根据校验子判断有无错误？哪一位错了？
解：
对信息码元0001用多项式除法编码得循环码字：0001101。
将0001101错成0001100，除以生成多项式得余式1，s2s1s0=001表示C0*错。
将0001101错成0001111，除以生成多项式得余式x，s2s1s0=010表示C1*错。
将0001101错成0001001，除以生成多项式得余式x2，s2s1s0=100表示C2*错。
……
将0001101错成1001101，除以生成多项式得余式x2+x，s2s1s0=110表示C6*错。
写出校验表：
校验子
无错
C0*
C1*
C2*
C3*
C4*
C5*
C6*
s2
0
0
0
1
1
1
0
1
s1
0
0
1
0
0
1
1
1
s0
0
1
0
0
1
1
1
0

当收到一循环码字0010011时其对应的多项式为: 。
列竖式做多项式除法（以下左式）：

得余式为，s2s1s0=100，表示C2*错，即右起第三位错，正确的码字应为0010111，其对应的多项式为：。将此多项式进行验证（上式右式），余式为0，可见正确。

10. 已知（3，1，3）卷积码的监督方程为：
或者：已知（3，1，3）卷积码的基本监督矩阵：
对信源序列010110…进行编码。
解：对于（3，1，3）卷积码，若输入信息码元： mi-2 , mi-1, mi, …，则编码后码字：
mi-2, pa,i-2, pb,i-2, mi-1, pa,i-1, pb,i-1, mi, pa,i, pb,i, …
根据监督方程编码得：000，111，010，110，101，011，
（默认初始化状态为0）

11. 已知（4，3，3）卷积码的基本监督矩阵：，
对输入信息码元:101100110111…进行编码。
解：根据k = 3分组，计算1位监督码元置于后，得卷积码字：1010，1001，1100，1111，…
（提示：编码后的码字形式为：
根据监督矩阵知其计算方法，前三个码字计算为：

第四个码字起，移动对应位置使p2*为当前要求的监督码元，计算为：
）

作业：1、3、4、7、8、10、11
8