几何模型:一线三等角模型.doc
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1、(word完整版)几何模型:一线三等角模型一线三等角模型一.一线三等角概念“一线三等角”是一个常见的相似模型,指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼, “K 形图,“三垂直”,“弦图等,以下称为“一线三等角”。二.一线三等角的分类全等篇 同侧 锐角 直角 钝角 异侧相似篇 同侧 锐角 直角 钝角 异侧三、“一线三等角的性质1.一般情况下,如图 3-1,由1=2=3,易得AECBDE。2。当等角所对的边相等时,则两个三角形全等。如图 3-1,若 CE=ED,则AECBDE.3.中点型“一线三等角”如图 32,当1=2=3
2、,且 D 是 BC 中点时,BDECFDDFE。4.“中点型一线三等角“的变式(了解)如图 3-3,当1=2 且时,点 O 是ABC 的内心。可以考虑构造“一线三等角.如图 34“中点型一线三等角通常与三角形的内心或旁心相关, 这是内心的性质,反之未必是内心.在图 34(右图)中,如果延长 BE 与 CF,交于点 P,则点 D 是PEF 的旁心.5.“一线三等角”的各种变式(图 35,以等腰三角形为例进行说明 )图 3-5其实这个第 4 图,延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的,不延长理解,以为是一种新型的,同侧穿越型?不管怎么变,都是由三等角确定相似三角形来进行解题四、“一线三等角”的应用
3、1.“一线三等角”应用的三种情况.a。图形中已经存在“一线三等角”,直接应用模型解题;b。图形中存在“一线二等角”,不上“一等角”构造模型解题;c。图形中只有直线上一个角,不上“二等角”构造模型解题。体会:感觉最后一种情况出现比较多,尤其是压轴题中,经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时,我经常构造“一线三等角”来解题。2。在定边对定角问题中,构造一线三等角是基本手段,尤其是直角坐标系中的张角问题,在 x 轴或 y 轴(也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线)上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.3.构造一线三等角的步骤:找角、定线、构相似坐标系中,要讲究“线”的特殊性如图 36,线上有
4、一特殊角,就考虑构造同侧型一线三等角当然只加这两条线通常是不够的,为了利用这个特殊角导线段的关系,过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化的需要。上面就是作辅助线的一般程序,看起来线条比较多,很多老师都认为一下子不容易掌握.解题示范例 1 如图所示,一次函数与坐标轴分别交于 A、B 两点,点 P 是线段 AB 上一个动点(不包括 A、B 两端点),C 是线段 OB 上一点,OPC=45,若OPC 是等腰三角形,求点 P 的坐标。例 2 如图所示,四边形 ABCD 中,C=90,ABD=DBC=22。5,AEBC 于 E,ADE=67。5,AB=6,则 CE
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