薄壁箱梁抛物线系列剪滞翘曲位移函数的精度选择分析_臧小萌.pdf

第 42 卷第 3 期2023 年 6 月兰州交通大学学报Journal of Lanzhou Jiaotong UniversityVol 42 No 3Jun 2023收稿日期:2023-03-11学报网址:https:/lztx cbpt cnki net基金项目:甘肃省交通厅项目(2020-05);甘肃省科技厅计划项目(21J7A306)第一作者:臧小萌(1987 )，女，江苏丹阳人，博士研究生，主要研究方向为桥梁结构设计理论与工程应用。E-mail:zxmwork123163 com通信作者:王根会(1962 )，男，陕西礼泉人，教授，博士生导师，工学博士，主要研究方向为桥梁结构设计理论与工程应用。E-mail:13609341991139 com文章编号:1001-4373(2023)03-0015-07DOI:10 3969/j issn 1001-4373 2023 03 003薄壁箱梁抛物线系列剪滞翘曲位移函数的精度选择分析臧小萌，王根会*，金学军(兰州交通大学 土木工程学院，兰州730070)摘要:为了探讨抛物线系列剪滞翘曲位移函数的设置对薄壁箱梁力学性能分析计算精度的影响，选择了符合箱梁翼板纵向翘曲位移模式的抛物线函数，同时考虑剪力滞效应和剪切变形等因素，利用能量变分法建立箱梁的控制微分方程，基于简支和连续边界条件计算出不同翘曲位移函数箱梁的自振频率，进而根据箱梁自振频率的大小对所设置翘曲位移函数的精确度进行选择。研究结果表明:二次抛物线函数能够更准确地反映薄壁箱梁翼板剪力滞效应以及由其引起的箱梁纵向翘曲位移的分布特征;当箱梁跨宽比较小时，同一箱梁应用不同翘曲位移函数计算得到的自振频率相差很小，但箱梁翼板剪力滞系数却相差较大，故在对跨宽比较小的箱形梁桥进行力学分析时翘曲位移函数的选择更为重要。关键词:薄壁箱梁;剪力滞效应;能量变分法;翘曲位移函数;抛物线中图分类号:U448 213文献标志码:AAccuracy Selection Analysis of Parabolic Series Shear HysteresisWarping Displacement Function for Thin-walled Box BeamZANG Xiao-meng，WANG Gen-hui*，JIN Xue-jun(School of Civil Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China)Abstract:In order to explore the influence of the setting of parabolic series shear hysteresis warping dis-placement function on the accuracy of the mechanical performance analysis of thin-walled box girder，aparabolic function is selected to meet the longitudinal warping displacement pattern of the box girderwing，and the shear hysteresis effect and shear deformation are also considered to establish the control dif-ferential equations of the box girder using the energy variational method，and the self-oscillation frequen-cies of the box girder with different warping displacement functions are calculated based on the simplysupported and continuous boundary conditions The accuracy of the set warp displacement function is thenselected according to the magnitude of the self-oscillation frequency of the box beam The results show thatthe quadratic parabolic function can more accurately reflect the shear hysteresis effect of thin-walled boxgirder wings and the distribution characteristics of the longitudinal buckling displacement of box girdercaused by the induced buckling Therefore，the choice of the warp displacement function is more importantin the mechanical analysis of box girder bridges with small span widths兰州交通大学学报第 42 卷Key words:thin-walled box beam;shear hysteresis effect;energy variational method;warping displace-ment function;parabola目前，薄壁箱梁被广泛应用于连续箱形梁桥中，其具有高效、低耗和强度高等特点1-5。但是，由于薄壁箱梁翼板正应力分布是不均匀的，通常在翼缘和腹板交界处应力最大，而在趋向上下翼板的中间点和悬臂板端时，其翼板正应力逐渐减小，这就是箱形梁的剪力滞后现象6-10，在箱梁力学分析中存在正剪切滞后效应和负剪切滞后效应11，通过初等梁理论很难准确地描述箱形结构的剪力滞后现象。因而，研究人员采用了最小势能原理的理论和方法12-13，以反映剪力滞后对结构力学行为的影响。在众多解决剪力滞后问题的理论和方法中，能量变分法被认为是行之有效的方法，并在该领域得到了广泛应用14-18。然而，能量变分法涉及一个关键问题，即需要对翼板选择适当的纵向翘曲位移函数，因为基于高精度的翘曲位移函数可以准确计算箱梁上下翼板的应力分布，从而提高了其力学分析的精准度。eissner15 假设了箱梁翼板纵向位移沿其横向截面的分布模式，并应用最小势能原理求解了双轴对称薄壁箱梁的剪滞效应。虽然这种方法对于某些简单问题可能是有效的，但对于复杂问题则不一定适用，因为它仅限于具有特定边界条件的问题的闭合解。继 eissner15 的研究后，出现了许多类似的研究论文，这些论文假设翼缘纵向位移为多种曲线形式，如三次抛物线、四次抛物线和五次抛物线等12-14，且将这些曲线用于反映薄壁箱梁翼板纵向位移的变化幅度。然而，这些基于翘曲位移模式假设的位移函数缺乏充分的理论依据，因此其适用性存在一定的局限性。虽然可以通过试验数据验证这些翘曲位移函数在结构分析中的准确性，但模型试验是有限的，且试验结果受很多种条件的影响，其翘曲位移函数的选择具有一定的主观性。因而，剪滞翘曲位移函数的选择需要更深入的理论基础。1纵向翘曲位移函数的选择处于对称弯曲状态下的薄壁箱梁横截面如图 1所示。在箱梁的横截面上，考虑剪力滞后和剪切变形等影响，箱梁轴向动位移(x，y，z，t)应满足下式:(z，y，z，t)=y(x，t)+s(z)u(x，t)(1)式中:(x，t)为箱梁段绕 z 轴的竖向动转角;s(z)为箱梁翼板纵向翘曲位移沿横向的分布函数，它可以用本文研究中提出的多种抛物曲线来表示;u(x，t)为箱梁翼缘剪切变形的最大动差值函数。图 1箱形梁横截面Fig 1Cross section of box beam本研究选择了一系列满足箱梁翼板翘曲模式的抛物线翘曲位移函数，如二次抛物线、三次抛物线、四次抛物线和五次抛物线等。进而，根据本文的算例结果分析研究，可以选择出精度更高的抛物线翘曲位移函数。翘曲位移函数的抛物线形式:s(z)=1|z|nbn;0|z|b1(b+b|z|)n(b)n;b|z|b+b(2)式中:n 为正整数;b 为上翼板宽度的一半;为矩形箱梁悬臂板与上翼板一半 b 的比值;z 为箱梁横截面以 O 为原点的横向坐标。2控制微分方程和相应自然边界条件2 1势能和动能根据最小势能原理判断结构的稳定状态。假设结构的跨度为 l，薄壁箱梁的总势能可由以下公式表示:V=V1+V2+V3+V4+Vp(3)外荷载引起的势能为:Vp=l0q(x，t)w(x，t)dx Q(x，t)w(x，t)|l0 M(x，t)(x，t)|l0(4)式中:w(x，t)为截面的竖向动挠度;M(x，t)为 x 截面的动弯矩;Q(x，t)为梁段端垂直剪切力。假设 y 方向应变 y、横向应变 z和剪切应变 zy都很小，因此可以忽略。腹板的应变能为:61第 3 期臧小萌等:薄壁箱梁抛物线系列剪滞翘曲位移函数的精度选择分析V1=12l0EI(ddx)2dx(5)式中:I 为整个截面相对于 z 轴的惯性矩。顶板的应变能为:V2=12(h1+t12)(h2+t22)l0t1 E1(x，y，z，t)x2+G1(x，y，z，t)z2 dxdy(6)式中:1为关于顶板和悬臂板的纵向翘曲位移函数。底板的应变能为:V3=12(h1+t12)(h2+t22)l0t2 E2(x，y，z，t)x2+G2(x，y，z，t)z2 dxdy(7)式中:2为关于底板的纵向翘曲位移函数。剪切应变能量为:V4=12l0kGA(wx)2dx(8)式中:A 为箱梁的横截面面积;k 为截面的形状系数。那么，箱梁结构体系的总动能可由下式给出:T=12l0(wt)2Adx+12Isl0(u)2dx+12Il0()2dx(9)式中:Is为上下翼缘相对于 z 轴的惯性矩;为箱梁质量密度。2 2控制微分方程及其自然边界条件基于 Hamilton 原理 l0(T V)dt=0，可得箱形梁的动微分方程为:Aw (w)kGA+q(x，t)=0(10)I+EI+s1uEIs(w)kGA=0(11)uIs+s1EIs+s2uEIs+s3uGIs=0(12)相应的自然边界条件为:M(x，t)EI s1uEIs|l0=0(13)s1EIs+s2uEIs u|l0=0(14)(w)kGA Q(x，t)w|l0=0(15)在式(10)(15)中，位移函数上方的表示对时间t求偏导，表示对坐标x求偏导;s1、s2和s3为关于不同纵向翘曲位移函数的系数，s1=1n+1;s2=2n2(2n+1)(n+1);s3=n2b2(2n 1)3薄壁箱梁的动态分析3 1动态方程的求解广义动态位移函数为 w(x，t)，u(x，t)和(x，t)，根据结构的动态特性，w(x，t)=W(x)sin(t+)，u(x，t)=U(x)sin(t+)，(x，t)=(x)sin(t+)，同时 q(x，t)=q0sin(t+)。代入 w(x，t)，u(x，t)和(x，t)，且将式(10)(11)与式(12)整理代换，可得新微分方程为:W(6)+W(4)s21EIs2kGI(2+Gs3)s22I(E+kG)(s21EIss2EI)kGW(2)2 s2E(I2 kGA)+(kG+E)(2+Gs3)I(s21EIs s2EI)kGEW2(I2kGA)(2+Gs3)(s21EIss2EI)kGE=(I2kGA)(2+Gs3)(s21EIss2EI)kGEAq0(16)式(16)特征方程解为:r1，2=N1;r3，4=N2;r5，6=N3根据常微分方程性质，可得式(16)的通解为:W(x)=D1coshN1x+D2sinhN1x+D3coshN2x+D4sinhN2x+D5coshN3x+D6sinhN3x 1A2q0(17)式中:D1 D8为方程待定常数，可根据其相应边界条件求解。而当式中 q0=0 时，可得箱梁的自振频率。将式(17)代入式(10)，根据恒等式原理，可得(x)的通解为:(x)=D1r+N21N1sinhN1x+D2r+N21N1coshN1x+D3r+N22N2sinhN2x+D4r+N22N2coshN2x+D5r+N23N3sinhN3x+D6r+N23N3coshN3x(18)式中:r=2kG。同理，将式(18)代入式(12)可得 U(x)方程通解为:U(x)=D1r+N21N1N21T2+T1N21sinhN1x+D2r+N21N1N21T2+T1N21coshN1x+D3r+N22N2N22T2+T1N22sinhN2x+D4r+N22N2N22T2+T1N22coshN2x+D5r+N23N3N23T2+T1N2371兰州交通大学学报第 42 卷sinhN3x+D6r+N23N3N23T2+T1N23coshN3x(19)式中:T1=s2s1;T2=2+Gs3Es1。3 2几种常见边界条件基于实际工程中常见箱梁，根据式(13)(15)，推导出其具体自然边界条件为:1)对于简支箱梁，其边界条件为:简谐均布力W(x)|l0=0;(x)|l0=0;U(x)|l0=0(20)简谐集中力针对两端简支组合箱梁，如果其简谐集中力 F=F0sin(t+)作用于简支梁跨间C点，且集中力F与左右边界距离分别为l1和l2，荷载示意图如图2所示，可将以下连续边界条件引入到 C 点:W1(l1)=W2(0);W1(l1)=W2(0);1(l1)2(0)=FkGA;1(l1)=2(0);U1(l1)=U2(0);U1(l1)=U2(0)(21)图 2简谐集中力条件下简支梁荷载图Fig 2Load diagram of a simply supported beam underharmonic concentrated force conditions2)对于连续箱梁，其边界约束条件为:假设跨径1，j，n 的长度分别为 L1，Lj，Ln，且各跨径的质量和刚度相同，则:W1(0)=0;W1(L1)=0;Wj1(Lj1)=0;Wj(0)=0;Wj(Lj)=0;Wj+1(0)=0;Wn(0)=0;Wn(Ln)=0;Wj1(Lj1)=Wj(0);Wj(Lj)=Wj+1(0);Uj1(Lj1)=Uj(0);Uj(Lj)=Uj+1(0);U1(0)=0;Uj1(Lj1)=Uj(0);Un(Ln)=0;1(0)=0;j1(Lj1)=j(Lj);n(Ln)=0(22)将式(17)(19)代入薄壁箱梁相应边界条件，可得其动力方程。进而，通过求解薄壁箱梁的动力方程，可以得到特定翘曲位移函数箱梁的自振频率值。4薄壁箱梁的静力分析4 1控制微分方程和自然边界条件基于式(3)和能量变分原理 V=0，薄壁箱梁静力分析的控制微分方程为:(w)kGA+q(x)=0(23)EI+s1uEIs(w)kGA=0(24)s1EIs+s2uEIs+s3uGIs=0(25)相应自然边界条件为:M(x)EI s1uEIs|l0=0(26)s1EIs s2uEIs u|l0=0(27)(w)kGA Q(x)w|l0=0(28)在式(23)(28)中，表示对坐标x的偏导数。4 2薄壁箱梁的弯曲方程将式(23)代入式(24)，可得方程如下:(3)EI+s1u(3)EIs q(x)=0(29)将式(25)代入式(29)，可以得到以下方程:u(3)+s3GI(s2I s21Is)Eus1(s2I s21Is)Eq(x)=0(30)式(30)特征方程的解为:r1，2=Ns1，r3=0根据微分方程的性质，可得式(30)的通解为:u(x)=Ds1sinhNs1x+Ds2coshNs1x+Ds3+s1xs3GIq(x)(31)式中:s1、s2和 s3为翘曲位移函数的相关系数。将式(31)代入式(25)，基于常微分方程组性质及恒等式原理，转角(x)的通解为:(x)=Ds1Ti1Ns21+Ti2Ns21sinhNs1x+Ds2Ti1Ns21+Ti2Ns21coshNs1x+Ds3Ti22x2+Ds4x+Ds5+Ti2s1x36s3GIq(x)(32)其中 Ti1=s2s1;Ti2=s3Gs1E。同理，将式(32)代入式(23)可得竖向挠度 w(x)的方程通解为:w(x)=Ds1Ti1Ns21+Ti2Ns31coshNs1x+Ds2Ti1Ns21+Ti2Ns31sinhNs1x+Ds3(Ti26x3Ti2EIkGAx)+Ds4x22+Ds5x+Ds6+Ti2s1x424s3GIq(x)x22kGAq(x)(33)式中:Ds1 Ds5为方程待定常数，可根据其相应边界81第 3 期臧小萌等:薄壁箱梁抛物线系列剪滞翘曲位移函数的精度选择分析条件求解。4 3简支薄壁箱梁的边界条件通过研究，静力分析边界条件与动态分析边界条件一致，但 W(x)，U(x)和(x)应分别用 w(x)，u(x)和(x)代替。针对两端简支的薄壁箱梁，如果 1 个集中力作用于跨间 C 点，且集中力 F 与左右边界距离为 lC1和lC2，则 C 点的连续边界条件为:wC1(lC1)=wC2(0);wC1(lC1)=wC2(0);uC1(lC1)=uC2(0);uC1(lC1)=uC2(0);C1(lC1)C2(0)=FkGA;C1(lC1)=C2(0)(34)5算例5 1算例 1对于一薄壁箱形梁，其几何尺寸和材料参数如下:G=15 104MPa;E=35 104MPa;t1=025 m;t2=025 m;t3=0 4 m;=2 500 kgm3;b=b=3 55 m;h=2 m。根据本文方程，可得全长为 40 m的简支薄壁箱梁和全长为 120 m，单跨长度为 40 m的三跨连续薄壁箱梁的前四阶自振频率，其具体数值如表 1 2 所列。为验证本文理论的可靠性，采用ABAQUS 建立有限元模型，各板件用 S4 壳单元模拟，腹板与顶底板间共节点连接，在支承处施加相应边界约束，简支梁有限元模型如图 3 所示，三跨连续梁有限元一阶振型如图 4 所示。基于箱梁自振频率值，可以判断其纵向翘曲位移函数的精度。因为任何结构体系的能量皆包括势能和动能，对于同一结构，如果计算出的自振频率较小，其总能量的计算值也应较小。根据最小势能原理，该结构的力学特性将更为真实。因此，可以将计算所得的薄壁箱梁自振频率作为确定不同纵向翘曲位移函数精度的标准。不同自然边界条件下薄壁箱梁的自振频率可以用于选择翘曲位移函数，如基于简支和连续边界条件计算得出的自振频率值。分析表 1 和表 2 的数据，由于根据二次抛物线形的翘曲位移函数所算得的自振频率最低，进而计算所得到的势能最小，即在抛物线系列函数中，高精度的翘曲位移函数应为二次抛物线。且研究表明，二次抛物线更好反映了剪力滞后效应引起的纵向翘曲位移的非均匀分布，而传统三次、四次和五次抛物线作为剪滞翘曲位移函数的精度较低。而且，基于不同边界条件箱梁自振频率值得到了一致的结论，这表明本文方法是准确且有效的。表 1简支箱梁的自振频率Tab 1Natural frequencies of simply supported box beamHz翘曲函数的类型1234按频率值排序抛物线曲线(n=1)2 640 88 697 615 855 723 312 25抛物线曲线(n=2)2 637 28 639 315 674 122 958 41抛物线曲线(n=3)2 638 28 650 515 703 523 005 02抛物线曲线(n=4)2 639 38 669 915 762 223 114 33抛物线曲线(n=5)2 640 68 691 015 824 423 229 34有限元法2 596 88 680 715 416 122 203 4表 2三跨连续箱梁的自振频率Tab 2Natural frequencies of three-span continuous box beamHz翘曲函数的类型1234按频率值排序抛物线曲线(n=1)2 725 03 435 94 857 89 320 65抛物线曲线(n=2)2 721 63 412 94 802 29 179 11抛物线曲线(n=3)2 722 43 417 34 811 29 197 72抛物线曲线(n=4)2 723 43 425 04 829 29 241 43抛物线曲线(n=5)2 724 83 433 34 848 29 287 44有限元法2 730 33 359 04 655 78 709 25 2算例 2如图 1 所示的薄壁箱形梁，其几何和材料参数如下:t1=0 25 m;t2=0 25 m;t3=0 4 m;b=b=355 m;h=2 m;G=15 104MPa;E=35 104MPa，集中荷载 F=2 105N。根据本文计算公式，可得 J点和 K 点的剪力滞后系数，如图 5 6 所示。91兰州交通大学学报第 42 卷图 340 m 简支梁有限元模型Fig 3Finite element model of 40 m simply supported beam图 4三跨连续梁有限元一阶振型Fig 4First order vibration mode of three span continuousbeam finite element method图 5跨中截面 J、K 点剪力滞系数随不同抛物线形式的翘曲位移函数的变化曲线Fig 5Variation curves of shear hysteresis coefficientsat points J and K in the span section with diff-erent parabolic forms of warp displacementfunctions根据图 5 和图 6 可知:当薄壁箱梁的跨宽比(L/2b)较小时，翘曲位移函数的选择更为重要。如L/2b=1 4 时，对于 J 点，五次抛物线翘曲位移函数的剪力滞系数是 0 62，而二次抛物线翘曲位移函数的剪滞系数是 0 32，其差值为 0 3。当 L/2b 逐渐增大时，同一箱梁不同翘曲位移函数剪滞系数的计算值差异减小，如 L/2b=7 时，对于 J 点，五次抛物线翘曲位移函数剪力滞系数是 0 92，二次抛物线翘曲位移函数剪滞系数是 0 85，其差值仅为 0 07。然而，现有立交桥和高架桥中，箱形梁应用广泛，且其跨宽比较小，梁高较低，在此情况下翘曲位移函数的选择对该类箱梁桥力学分析更为重要。因此，本文对箱梁纵向剪滞翘曲位移函数精度选择的研究具有重要的理论和工程实际意义。图 6集中荷载作用下跨中截面 J、K 点的剪力滞系数Fig 6Shear hysteresis coefficients at points J and K inthe span section under concentrated load6结论1)在抛物线系列翘曲位移函数中，二次抛物线函数更为准确反映了薄壁箱梁翼板剪力滞后效应的变化规律，以及剪力滞后效应引起箱梁纵向翘曲位移的非均匀分布。特别是本文理论为翘曲位移函数的准确选择提供一种更为实用的分析方法;2)对于跨宽比较小的箱形梁桥，翘曲位移函数的选择更为重要。本文方法显著提高了其静力分析计算精度，这对该类桥梁钢筋和预应力筋的布置具有指导意义。在既有研究中，学者们应用了三次、四次和五次抛物线作为剪滞翘曲位移函数，本文计算了不同抛物线形的剪滞翘曲位移函数下简支箱梁和三跨连续箱梁的自振频率值，发现不同边界条件下箱梁自振频率从小到大的排序是一致的，即二次抛物线形的剪滞翘曲位移函数计算所得的箱梁自振频率最小，故从理论上证明了二次抛物线翘曲位移函数的精度更高。3)本文解析解得到了有限元数值模拟的有效验证，这表明了本文方法的合理性。但二次抛物线函数对于箱形梁桥动力反应的影响尚需进行系统性的研究，这将对该类结构的抗震设计具有重要意义。02第 3 期臧小萌等:薄壁箱梁抛物线系列剪滞翘曲位移函数的精度选择分析参考文献:1 倪元增，钱寅泉 弹性薄壁梁桥分析M 北京:人民交通出版社，1998 2 王根会，陈义勤，樊江，等 单箱双室组合箱形梁桥静力学特性的研究 J 计算力学学报，2020，37(3):355-361 3AMANATHAN K，PADGETT J E，DESOCHES Temporal evolution of seismic fragility curves for con-crete box-girder bridges in CaliforniaJ EngineeringStructures，2015，97:29-46 4 ZIANE N，MEFTAH S A，BELHADJ H A，et al Free vi-bration analysis of thin and thick-walled FGM box beams J International Journal of Mechanical Sciences，2013，66:273-282 5 ABID S，TAYSI N，OZAKCA M Experimental analysisof temperature gradients in concrete box-girders J 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