数学建模第3章_微分方程建模.pdf

使命科技人当理学浣第三章微分方程建模在许多实际问题的研究中，要直接导出变量之间的函数关系较为困难,但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，此时即可用建 立微分方程模型的方法来研究实际问题。例如，根据自由落体运动的重力 加速度g为常数及初始条件即可得出自由落体运动的公式、根据单摆的受 力分析及牛顿第二定理即可得到单摆运动满足的方程等等就是典型的实 例。本章除了介绍一些来自经典力学的物理及一些几何方面的微分方程问 题以外，也介绍了一些稍有不同的微分方程应用题。这些模型研究的主要 是来自于非物理领域的实际问题，对这些问题，我们将分析其特征，根据 具体情况进行类比，提出假设条件并建立微分方程模型加以研究。提出的 假设条件不同，将会导出不同的微分方程。最后还要将求解的结果与实际 现象进行对比，如果差异较大还应反复修改假设建立新的模型。因此，在 这类模型中，微分方程被当成了研究问题的工具。事实上，在连续变量问 题的研究中，微分方程或微分方程组还是十分常用的数学工具之一。3.1 几个简单实例例3.1（理想单摆运动的周期）本例的目的是建立理想单摆运动满足的微分方程，由该微分方程即可 得出理想单摆运动的周期公式。（图 3-1）从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsm0,根据牛顿第二定 律可得:族曲科技人当理学浣m!0=-mg sin0从而得出两阶微分方程：l.13=0 I（3.1）I 一,（0）=%这就是理想单摆运动满足的微分方程。（3.1）是一个两阶非线性常微分方程，不容易求解。根据微积分知识,当6很小时，有sinQ心6,此时，为简单起见，我们可考察（3.1）的近 似线性方程：3+&3=01/O3(0)=0,3(0)=3。(3.2)的特征方程为+,=0对应的特征根为；t=（其中，为虚单位），故（3.2）中的微分方程的 通解为:=G sin&+c2 co s&,其中 0=,7代入初始条件，即可求得满足初始条件的微分方程问题（3.2）的解0（。=0 0co s3 tT注意到当/=时，0（0=0,即可得出故有T=2j4族曲科技人当理学浣这就是中学物理中理想单摆运动周期的近似公式。例3.2（交通管理中的黄灯问题）在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，要亮一段时间的黄灯，这是 为了让那些正行驶在十字路口的人注意，告诉他们红灯即将亮起，假如你 能够停住，应当马上刹车，以免冲红灯违反交通规则。这里我们不妨想一 下：黄灯应当亮多久才比较合适？现在，让我们来分析一下这个问题。在十字路口行驶的车辆中，交警 主要考虑的是机动车辆，因为只要机动车辆能停住，那么非机动车辆自然 也应当能停住。驶近交叉路口的驾驶员在看到黄色信号灯后要立即做出决 定：是停车还是通过路口。如果他决定停车，必须有足够的距离能让他能 停得住车。也就是说，在街道上存在着一条无形的线，（见图3-2）,从这条 线到街口的距离与此街道的法定速度有关，法定速度越大，此距离也越大。当黄灯亮起时车子到路口的距离小于此距离时不能停车，否则会冲出路口。大于此距离时必须停车，等于此距离时可以停车也可以通过路口（注：此 街道的法定速度由另一问题讨论，制定法定速度的目的是为了最大限度地 发挥这一街道的作用）。对于那些已经过线而无法停住的车辆，黄灯又必须留下 足够的时间使它们能顺利地通过路口。（图 3-2）根据上述分析，我们确定了求解这一问题的步骤如下：步1.根据该街道的法定速度求出停车线位置（即停车线到街口的 距离）步2.根据停车线位置及法定速度确定黄灯该亮多久（停车线的确定）要确定停车线位置应当考虑到两点：（1）驾驶员看到黄灯并决定停车 需要一段反应时间。，在这段时间里，驾驶员尚未刹车。（2）驾驶员刹车 后，车还需要继续行驶一段距离，我们把这段距离称为刹车距离。驾驶员的反应时间（实际为平均反应时间）。较易得到，可以根据经 验或者统计数据求出，交通部门对驾驶员也有一个统一的要求（在考驾照 时都必须经过测试）。例如，不失一般性，我们可以假设它为1秒，（反应 时间的长短并不影响到计算方法）。停车时，驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力，该摩擦力使汽车减速并最终停下。设汽车质量为m，刹车摩擦系数为f,x（t）为刹车后在t时刻 内行驶的距离，更久刹车规律，可假设刹车制动力为加g（g为重力加速度）。由牛顿第二定律，刹车过程中车辆应满足下列运动方程d2X dt（3.3）MO）=0,W=v0 dtdx在方程（3.3）两边同除以利并积分一次，并注意到当，=0时=v0,得至 dtdx7 f gi（3.4）dx刹车时间可这样求得，当才二/2时，丝=0,故dt一2 fg将（3.4）再积分一次，得=一不加）+%乙将才2=?代入，即可求得停车距离为龙2龙据此可知，停车线到路口的距离应为：r 1说L=vozi+彳72宏等式右边的第一项为反应时间里驶过的路程，第二项为刹车距离。（黄灯时间的计算）现在我们可以来确定黄灯究竟应当亮多久了。在黄灯转为红灯的这段 时间里，应当能保证已经过线的车辆顺利地通过街口。记街道的宽度为。（。很容易测得），平均车身长度为/,这些车辆应通过的路程最长可达到 L+D+1,因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯持续时间至少应 当为：.L+D+11=-%例3.3（饿狼追兔问题）设有一只兔子，一匹狼，兔子位于狼的正西100米处。假设兔子与狼 同时发现对方，并开始了一场追逐。兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼则 在其后追赶。假设兔子和狼均以最大速度匀速奔跑且狼的速度是兔子速度 的两倍，问兔子能否安全回到巢穴？建立坐标系如图3-3,兔子在初始时刻位于坐标原点。处，狼在横坐 标上的4处,。4间的距离为100米。由于狼要盯着兔子跑，所以狼行走的 是一条曲线，且在任一时刻，曲线上狼的位置与兔子的位置的连线是曲线 上该点处的切线方向。（图 3.3）设狼的行走轨迹为歹=/（X）,则有川io。=，Ri。=0又因为狼的速度是兔子的两倍，所以在相同时间内，狼行走的距离为 兔子行走的距离的两倍。假设在某时刻兔子跑到（0,）处，而狼在（l/）处,则根据微积分中的弧长计算公式容易得出，应满足宿而F力=2即有 2卜 _ 切（%）=71+/（o 2出两边求导得2卜-/(%)-xf(x)=+，(%)注意到/=/1(%),由上式整理得下述模型2 切(%)=-J1+-(%)K 时，0dt当x)0,它的实际意义是：当人口数量超过环境 dt容纳量时，人口将减少，当人口数量小于环境容纳量时，人口数量将增加。导出罗杰斯蒂克模型还另有解释。如前所述，人口增长率应当是人口数量的函数，即厂二%),可惜我们根本无法求得这一函数。不知道增长率r,就不可能建立起具有实用价值的模型，怎么办呢？我们不妨采用一下 工程师原则，工程师们经常采用这样的办法：当我们无法得到一个函数时,就用尽可能简单的函数来代替它。马尔萨斯模型假设r为常数，现在，既 然我们认为从长远的观点来看r为常数有不太合理的地方，那么下一步应 当考虑的函数显然应当是一次函数。设ar(x)=(r-ax)x=r(l-x)xr记K=L,则由上面的关系式即可得出罗杰斯蒂克模型(3.7)的等价形 a式=r(l-)x=k(K-x)x 其中左=二、dt K K(3.8)同样，既然我们认为人口数不可能趋向于无穷，那么一个合乎情理的结果 应当是人口数增长会有一个上限。观察模型(3.7)或(3.8)不难发现，它 dx恰好具有这样的性质。K即为人口增长的上限，当x 0,x单 dt调递增，当x K时，一 铅206若画为真品，颜料应有300年左右或300年以上的历史，容易证明：每克白铅中针210的每分钟分解数几乎等于铅210的分解数（相差极微，已无法区别）。可用前者代替后者，因针的半衰期较短，易于测量。建模（1）记提炼白铅的时刻为L0,当时每克白铅中铅210的分子数为外,由于提炼前岩石中的铀系是处于放射性平衡的，故铀和铅在单位时间里的 分解数相同。由此容易推算出每克白铅中铅210每分钟分解数不能大于 30000个，否则铀的含量将超过4%,而这是不可能的。事实上，若4o=现o 2 30000,（乙为铀的衰减率，入为铅210的分解率）贝ij：30000 x 60 x 24 x 365l.O2x lO20（个）In 2TuTu=4.5x 10年），这些铀约重1.02 x lQ206.02x 1023x 238 0.04（克），即每克白铅约含0.04克铀，含量为4%。（注：4,（2）设/时刻1克白铅中铅210的含量为7，而镭的单位时间分解 数为尸（常数），则满足微分方程：=-Ay+rdt由此解得9)=?1-6.3。)+为6一3。)故 =彻)V。)reA(Wo)-l油画中每克白铅所含铅210目前的分解数入及目前镭的分解数均 可用仪器测出。若此画是真品，”0300（年），则可求出人为的近似值，并利用（1）来判断这样的分解数是否合理。若判断结果为不合理，则可以 确定此画必是魔品，但反之却不一定能说明画是真迹（因为估计仍是十分 保守的，且只能证明画的“年龄”，不能判断画的作者）。Carne gie-Me llo n大学的科学家们利用上述模型对部分有疑问的油画作 了鉴定，测得数据如下（见表3-1）。表3-1油画名称210分解数（个/分）镭226分解数（个/分）1、在埃牟斯的门徒8.50.82、濯足12.60.263、看乐谱的女人10.30.34、演奏曼陀琳的女人8.20.175、花边织工1.51.46、笑女5.26.0对“在埃牟斯的门徒”，可以算出入加%98050（个/每克每分钟），显然 这是不可能的，它必定是一幅近代（指几十年内的）伪造品。类似可以判 定（2）,（3）,（4）也是）1品。而（5）和（6）则不太可能是现代伪制品，因为其中的放射性物质已基本处于平衡状态，这样的平衡不可能发生在十 九世纪和二十世纪的任何作品中。利用放射性原理，还可以对其他文物的年代进行测定。例如对有机物（动、植物）遗体，考古学上目前流行的测定方法是放射性碳14测定法，这种方法具有较高的精确度。其基本原理是：由于大气层受到宇宙线的连 续照射，空气中含有微量的中微子，它们和空气中的氮结合，形成放射性 碳14（C,4）o在大气中，碳12与碳14是处于放射性平衡状态下的。有机 物存活时，它们通过新陈代谢与外界进行物质交换，使体内的也处于 放射性平衡中。一旦有机物死亡，新陈代谢终止，放射性平衡即遭破坏，碳14的含量将随时间而不断下降。因而，通过对比测定，可以估计出它们 生存的年代。例如，1950年在巴比伦的一个洞穴里发现一根刻有Hammurabi 王朝字样的木炭，历史书上并未记载下这一朝代。经测定，其C14衰减数 为4.09个/每克每分钟，而在新砍伐烧成的木炭中，衰减数为6.68个/每克每分钟，4的半衰期为5568年，由此可以推算出该王朝大约存在于 3900-4000年前（从1950年算起），作为习题，读者不妨可以自己推导一下，看看你的计算结果是不是这样。例3.5（新产品的推广）经济学家和社会学家一直很关心新产品的推销速度问题。怎样建立一 个数学模型来描述它，并由此推导出一些有用的结果以指导生产呢？让我 们来看一下第二次世界大战后日本家电业界建立的电饭包销售模型。设电饭煲的需求量有一个上界，并记此上界为K,记t时刻已经销售 出去并在使用的电饭包数量为工，则尚未使用的户数大致为Kx，于 是，根据统计筹算律，竺o cx(K-x),记比例系数为左，则必。满足dtdx-=kK-x)dt此方程即Lo gistic模型，解为：,、K(注：此外还有两个奇解-0和=长)。对X。求一阶、两阶导数：，/、cKke%=(l+Ce-)2,、CK3kzWB3-1)(1+c容易看出,x。0,即x。)单调增加,这当然是十分自然的。进而，由ko)=O，可以得出。而。=1,此时，x(z0)=0当时，*0)0,即x”)单调 2增加，而当AA)时，*”(。0,即X)单调减小。这说明，在销出量小于最 大需求量的一半时，销售速度是不断增大的，销出量达到最大需求量的一 半时，X达到最大值，此时该产品最为畅销，其后销售速度将开始下降。实际调查表明，销售曲线与Lo gistic曲线十分接近，尤其是在销售后期，两者几乎完全吻合。美国和其它一些国家的经济学家也作了大量的社会调查，并建立了完 全相同的模型。例如美国Came gie-Me Ho n大学的Edwin Mansf ie ld调查了 四大主要工业12项新工艺的推广情况；Io wa州调查了 1934-1955这12年 中一种新型24-D除草喷雾器的推广情况；Io wa州Hybrid的新谷类的推广 情况等等。所有调查结果均较好地符合了 Lo gistic曲线的特征，推广速率 的增长过程一般均在达到最大需求量的一半时结束，只有一例例外，其增 长过程一直持续到达到最大需求量的60%时才结束。（图 3-4）基于对Lo gistic曲线（见图3.4）形状的分析，国外普遍认为：从20%用户采用到80%用户采用某一新产品的这段时期，应为该产品正式大批量 生产的较合适的时期，初期应采取小批量生产并加以广告宣传，后期则应 适时转产，这样做可以取得较高的经济效益。据此不难计算出新产品的旺 销期从何时开始，到何时结束，时间长度有多长。易见，掌握这些关键数 据无论对厂家的生产和商家的营销都是至关重要的。3.3冰块融化问题美国的加利福尼亚州存在着较严重的干旱问题，因此总在寻找着新的 水资源。建议之一是把冰山从极地水域拖到南加州的近岸水域，以期用融 化的冰块来提供淡水。我们把冰块设想成巨大的立方体（或长方体、棱锥 体等具有规则形状的固体），并且假定在融化过程中冰块保持为立方体不 变，现在的问题是：融化这样的冰块需要多少的时间？我们还可以假设立方体的边长为s,则其体积为忆=$3,表面积为6s2,这里的/和$均为时间看的可微函数，此外，我们假设冰块体积的衰减率和冰块表面曲面的 面积呈正比，（注：由于融化现象发生在冰块的表面，故改变表面积的大小 也能改变冰的融化速度）。至此我们得到=k6s2 k0dt根据上述假设，比例因子女是常数，负号表示体积是不断缩小的，它依赖 于很多因素，诸如周围空气的温度和湿度以及是否有阳光等等。事实上，在这个问题里面，我们更想知道的是：要融化特定百分比的 冰块，需要多少时间？为此，我们在此再提出一组假设条件。设在最前面 的一个小时里冰块被融化掉,的体积，（我们也可以用字母 来代替特定4值，例如升小时融化掉九体积的冰等），从而得到如下数学问题：V=s 贮=一女（6Y）dt3厂（0）=匕 v=-vQ现在要求使p=0的直。利用复合函数求导公式，对/二3两边关于时间求导得dV、2 ds-=5s dt dt令 3s2=6k匕 我们可以得到：dt上式表示立方体的边长以每小时2后的常速速率减少。因此若立方体边长S的初始长度为“，一小时后为邑=”一2左、两小时后为邑=”-4后等，上述关系式告诉我们，Sos、=2k,sx-s2=2k,o故 冰块全部融化的时间t为使得2kt=5的值 从而有,“So 1t=-=-=-2k sQ-sx以匕=3为例，可得%4所以融化=；-T7-1 11 融化if.外这说明，如果在一小时里有,体积的立方体冰块被融化掉，那么融化掉其 4余部分冰块所需时间约为11小时。当然，我们也可以研究其它类型的问题，如有多少冰块在运输过程中 被丢失掉？要多少时间才能把冰转化成可用的水等，都有待于作进一步的 探讨。3.4肿瘤模型肿瘤是危害人类健康的严重疾病之一。目前已发现的癌症共有200多种 之多，它们的成因与发展规律都各不相同。据统计，我国每年新患癌症人 数大约有160万，每年因患癌症而死亡的人数达到130多万，约占死亡人 数总量的1/5。在0-64岁的人口中，每死亡5人，其中即有一人死于癌症,在城市人口中，癌症已占死亡原因的首位。为了对付癌症，人们采用各种途径对其开展研究，其中也包括利用建立 数学模型的方法来研究。肿瘤模型首先要描述的是肿瘤大小随时间而增长 的函数关系，该函数关系应当满足以下要求：1.对肿瘤增长速度的预测应具有一定的精度或与实验数据有较好的 拟合。2.适用范围广。肿瘤虽有不同的类型，且不同类型的肿瘤发展速度可 有很大的区别。即使是同一类型的肿瘤，不同个体也可有较大的差 异。但模型在应用于某类肿瘤时，应能较好地反映出此类肿瘤的平 均发展情况。3.参数应当尽可能少，且参数易于测得。随着人们肿瘤生长研究的逐步深入，相关的数学模型也越来越多。然而，总的讲来，对肿瘤生长模型的研究目前还只能说是尚处于初等阶段，还有 很多不尽人意之处有待于进一步改进。本节介绍的只是其中少数几个模型,介绍它们的目的是展示一下人们是怎样运用数学知识来和疾病作斗争的。模型虽然初等，但研究结果对临床应用已经有了一定的参考价值。模型1（指数模型）假设设肿瘤体积变化率与肿瘤当前的体积成正比。建模若t时刻肿瘤的体积为修。)，增长率为八则:%(0)=%解得：7(t)=70er(t-0)其中小为初始时刻，外为肿瘤的初始体积。易见，指数模型即Malthus模型。根据Malthus模型的特征，肿瘤体积 增大一倍所需的时间是一个常数t f是肿瘤生长的一个重要参数。医学上的应用肿瘤的直径比肿瘤的体积更容易测出。将肿瘤近似地看 成一个球体，利用球的体积公式：4 7LV=-=-D3(D 为直径)3 6T可得：D=DqV(T=t to)Nathan等人统计了 177例肺部肿瘤病人的数据，发现肿瘤体积增大一 倍的时间均在7465天之间，他们认为，当肺部肿瘤体积增倍时间位于 7,465之间时应怀疑其为肺癌。7时常为感染或炎症，465则常为 良性肿瘤。Shackre y等人则认为：t 70天时常为肺部腺癌、鳞状细胞癌、结肠腺癌等。Me ye r等人指出，对可做手术治疗的病人f长的存活期一般也较长。这里，我们暂且不管上述结论是否正确，但可以看出，医学工作者已经 开始试图将肿瘤增倍时间作为一个参数用于肿瘤的诊断和治疗。随着人们 对肿瘤认识的不断加深，通过这种努力，也许真的有一天，人们会获得成 功，从大堆的数据中破译出有助于攻克癌症的有用信息来。例3.6(及早发现及早治疗的重要性)一个癌细胞的直径约为103,重约0.001侬。按指数增长模型，恶 性肿瘤由初始形成到临床匕可检测出的直径1cm肿块约需经过30次倍增，而从直径1c加到致人于死命的1裕重的癌症肿块，体积约增大1000倍，只 须经10次倍增。这说明，癌症在发现前的平均增长期约为发现后的平均存 活期的3倍。故及早发现及早治疗在癌症诊治中起着至关重要的作用。例3.7(放射性治疗的对数杀灭)Skipe r等人用老鼠做实验，研究了放射性治疗杀灭白血病细胞的规律，发现按指数增长的肿瘤经化疗后也按指数规律消退，即7(t0+At)=VQo)/*(X W/3+（-/3）e-a,（y彳是肿瘤增大的极限值。a人体是无法承受彳的肿瘤量的，否则，癌症也许就不成为一种致命的疾病了，（当然，癌症的机理要比我们的模型复杂得多，例如，在我们的模 型中尚未考虑到癌症固有的扩散等现象）。（模型 3）（Be rtalanf f y 模型）1960年，Be rtalanf f y在以下假设下建立了另一模型：假设：1.肿瘤细胞的增长率等于增长速率与分解速率之差。2.分解速率与当时肿瘤的体积成正比，增长速率因呼吸与营养供 应等原因则与肿瘤的表面积成正比。23.肿瘤可近似地看成是球体，故表面积与体积的一次方成正比。3根据以上假设，建立的肿瘤增长模型为dV-dt(3.9)1 du 1-dV此方程为贝努里方程，令=忆3,则与二一/3 一，故 dt 3 dtdV-T.z du-=5V dt dt(3.10)将(3.10)代入(3.9),得到3/也忆 dt注意到=忆3,上式又可化为du u 2-1u=一dt 3 3（3.11）（3.11）是一 阶常系数线性方程，解为：=64（14/倒山+。）=人一。6一*3 故有 r=（-c3r）3代入初始条件/（0）=（C）3,即c=-v),得到4易见,）=lim V(t)=(-)34AO 0利用微积分方法还不难得出，在厂二二（一）3处生长曲线有一个拐点。在 27 此点处，肿瘤生长速率由增长变为减小。以上介绍的只是最简单的几个肿瘤模型，事实上，肿瘤生长的机理极 为复杂，例如，由于营养供应不足，当肿瘤体积达到一定程度时，其核心 部位会发生坏死现象。此外，许多现象我们还无法解释或尚未发现。随着 医学研究的日益深入，新的肿瘤模型将会不断诞生，有些模型甚至会数学 上无法求解，这也为数学本身提供了新的研究课题。人们对肿瘤的认识是 与日俱增的，我们完全有理由相信，早晚有一天，人们会找到控制癌症增 长的办法并最终攻克难关，想出治愈癌症的良策。到那时，癌症将不再是 不治之症，而人们也就不必再“谈癌色变了”。3.5药物在体内的分布在用微分方程研究实际问题时，人们常常会采用一种叫“房室系统”的观点来考察问题。根据研究对象的特征或研究的不同精度要求，我们把 研究对象看成一个整体（单房室系统）或将其剖分成若干个相互存在着某 种联系的部分（多房室系统）。房室具有以下特征：它由考察对象均匀分布 而成，（注：考察对象一般并非均匀分布，这里采用了一种简化方法，被称 为集中参数法）；房室中考察对象的数量或浓度（密度）的变化率与外部环 境有关，这种关系被称为“交换”，交换满足着总量守衡。作为一个实例，在本节中，我们将用房室系统的方法来研究药物在体内的分布。在下一节 中，我们将用多房室系统的方法来研究另一问题。两者都很简单，我们的 意图在于介绍建模方法。为了考察药物在机体中的分布情况，我们将机体看成一个系统，药物 在其中均匀分布，被吸收、分解与排泄。建模的目的是通过对“房室”的 分析，建立药物变化率满足的关系式（微分方程），测定方程包含的关键参 数，从而求出药物浓度在体内分布的变化规律。（药物分布的单房室模型）单房室模型是最简单的模型，它假设：体内药物在任一时刻都是均匀 分布的，设，时刻体内药物的总量为1。）；系统处于一种动态平衡中，即假 设成立着关系式：药物的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药物当前的浓度成正 比的，即通常认为（4=kx,但药物的输入规律却与给药的方式有关。下面，我们来研究一下在几种常见的给药方式下体内药体的变化规律。情况1（快速静脉注射）在快速静脉注射时，总量为D的药物在瞬间被注入体内。设机体的体 积为V,则我们可以近似地将系统看成初始总量为D,浓度为提，只输出，不输入的房室，即系统可看成近似地满足微分方程：dx.八-K kx=0 dtx(0)=D(3.12)其解为%=而体内药物的浓度则为=c被称为血浆药物浓度。(注：此模型即负增长率的Malthus模型)。与放射性物质类似，医学上将 血浆药物浓度衰减一半所需的时间乙称为药物的血浆半衰期，ln2情况2(恒速静脉点滴)在这种情况下，药物以恒速点滴方式进入体内，即K。，由房室系统的假设，体内药物总量满足：dx.“dt 0(3.13)这是一个一阶常系数线性方程，其解为:(x(0 尸 0)嗅或 C(t)=枭(13)易见，丽 C(t)=,区被称为稳态血药浓度。虽然点滴不可能3+00 VK VK无限期进行下去，但由于点滴时间通常都较长，故当点滴终止时，血液中 药物的浓度事实上已非常接近此值。在现实生活中，点滴一般都要反复多次。设点滴时间为4,两次点滴之间的间隔时间设为T2,则在第一次点滴结束时病人体内的药物浓度为。区）=霜其后，在停止点滴的一段时间内，病人体内的药物只输出、不输入，这段 时间内其血液浓度将满足（3.12）,区别仅在于初值不同。故在点滴情况下，血药浓度为：（第一次）CQ）=eK,VKTWWTi+T2读者可类似讨论以后各次点滴时的情况，同样区别只在初值上的不同，第二次点滴起，患者体内的初始药物浓度已不为零。情况3 口服药或肌注口服药或肌肉注射时，药物的吸收方式常常与点滴时不同，（注：吸收 方式与药物的性态有关）。药物虽然瞬间进入了体内，但它一般都集中与身 体的某一部位，靠其表面与肌体接触而逐步被吸收。设药物被吸收的速率 与存量药物的数量成正比，记比例系数为七,即若记，时刻残留药物量为 y（t）,则y满足:dt 4歹(0)=。因而正。=。-%，（D为口服或肌注药物总量）而+kx=k.De-dtx(0)=D故可解得k、-k从而血药浓度为C(t)=%D(e*V(kx-kye面)（3.14）在通常情况下，总有后后（药物未吸收完前，输入速率通常总大于分 解与排泄速率），但也有例外的可能（与药物性质及机体对该药物的吸收、分解能力有关）。当k（k时，体内药物量均很小，这种情况在医学上被称 为触发翻转（f lip-f lo p）。当 k,可将（3.14）看成士型的未定型。对固 定的令左一肩取极限（应用罗比达法则），可得出在这种情况下的血药浓度为：。（。=半役-外图3-7给出了上述三种情况下体内血药浓度的变化曲线。容易看出，快速静脉注射能使血药浓度立即达到峰值，常用于急救等紧急情况；口服、肌注与点滴也有一定的差异，主要表现在血药浓度的峰值出现在不同的时刻，血药的有效浓度保持时间也不尽非 度应达到某一有效浓度，并使之维持一特定的时间 长度）。我们已求得三种常见给药方式 下的血药浓度当然也容易求得 血药浓度的峰值及出现峰值的时间，因而，也不难根据不同疾病的治疗 要求找出最佳治疗方案。新药品、新疫苗在临床应用前 必须经过较长时间的基础研究、小 量试制、中间试验、专业机构评审 及临床研究。当一种新药品、新疫苗 研制出来后，研究人员必须用大量实 验搞清它是否真的有用，如何使用才 能发挥最大效用，提供给医生治病时参考。在实验中研究人员要测定模型 中的各种参数，搞清血药浓度的变化规律，根据疾病的特点找出最佳治疗 方案（包括给药方式、最佳剂量、给药间隔时间及给药次数等），这些研究 与试验据估计最少也需要数年时间。在2003年春夏之交的SARS（非典）流 行期内，有些人希望医药部门能赶快拿出一种能治疗SARS的良药或预防 SARS的有效疫苗来，但这只能是一种空想。SARS的突如其来，形成了“外,（注：为达到治疗目的，血药浓图3-5行不懂、内行陌生”的情况。国内权威机构一度曾认为这是“衣原体”引 起的肺炎，可以用抗生素控制和治疗。但事实上，抗生素类药物对SARS 的控制与治疗丝毫不起作用。以钟南山院士为首的广东省专家并不迷信权 威，坚持认为SARS是病毒感染引起的肺炎，两个月后（4月16日），世界卫 生组织正式确认SARS是冠状病毒的一个变种引起的非典型性肺炎（注：这 种确认并非是由权威机构定义的，而是经对猩猩的多次实验证实的）。发现 病原体尚且如此不易，要攻克难关，找到治疗、预防的办法当然就更困难 了，企图几个月解决问题注定只能是一种不切实际的幻想。上述研究是在将机体看成一个均匀分布的同质单元的假定下完成的，故被称单房室模型，由于简单方便且在一定程度上反映出了机体内部血药 液度的变化规律，故在给药方案的设计中是最常被应用的。然而，机体事 实上并不是一个同质单元。药物进入血液，通过血液循环药物被带到身体 的各个部位，又通过交换按某种规律进入各个器官，因此，要建立更接近 实际情况的数学模型就必须正视机体部位之间的差异及相互之间的关联关 系，这就十分自然地导出了多房室系统模型。例如，若将供血系统及血液 充沛的系统看成一个单元（房室），将由血液提供营养等的其他器官与组织 看成另一个单元，可以建立机体机能的两房室模型。由于研究对象（如药 物）在两个房室中有明显的差异（注：在同一房室中仍被看成是均匀分布 的），故应令它们在两个房室中的分布浓度分别为修。与尤2），所建立的模 型将是一个两阶常微分方程组。图3-6表示的是一种常见的两房室模型，其间的左12表示由室I渗透到室II的变化率前的系数，而跖则表示由室II 返回室I的变化率前的系数，它们刻画了两室间的内在联系，其值应当用 实验测定，使之尽可能地接近实际情况。图3-6当身体内部差异较大的部分较多时，可以类似建立多房室系统，（篦房 室模型）。我们近似地把人体看成为一个由有限多个部分组成的相互关联的 有机整体。每个部分被称为一个房室，它具备几个特点：每个房室有固定 的容积，每一时刻药物的数量或浓度是均匀分布的；各房室间及各房室与 外部环境均可进行药物交换，而这种交换服从质量守恒定律。还有许多实际问题，如环境污染问题、传染病的传播问题、生态平衡 问题等，都可将问题转化为这种由有限个部分组成的系统，每一部分均满 足以下性质：（1）有一个固定的容量，其内部在每一时刻都均匀地分布着某一种单一 物质（或者能量）（2）各个部分（房室）间以及各部分与外部环境间均可进行物质（或 者能量）的交换，而交换满足守恒定律。这样的系统被称为房室系统，若系统由n个房室组成，则称之为n房 室系统。需要解决的问题是：如何确定n房室系统中物质质量（或浓度）的分布规律。研究的一般步骤为：首先分析在n房室系统中客观存在的物 质交换的机理，根据实际情况提出一定的假设；其次，根据机理和相关学 科的基本定律建立数学模型；最后利用数学知识求解数学模型，导出对实 际问题具有指导意义的某些结果。下面，我们来给出一个n房室系统模型的一般格式。设有一个n房室 系统，各房室用1至n来标号，并用0标记外部环境，记才时刻各房室的物质质量（或浓度）为再（。，/=1,-,o现在考察其中任意两个房室（第，和第/房屋）间的交换。用方框表示房室，用箭头表示物质的交换，内在 关系如下面的图3-7所示：图3-7.,记加力（。为从开始时刻至t时刻由第2房室里流到第/房室的物质质 量。假设这一过程只与2房室的质量七.）有关，而与其他房室的质量/）,（左无关。进一步假设，+时间间隔内，从i房室到了房 室平均流量（单位时间流入的质量）与巧（/）成正比，即%+4）-%-:一-k/卜）t根据导数定义，可得 其中，%j或为常数，或为E的函数，视具体情况而定，后户称为，房室的速 率系数。上述讨论也包括了从，房室到外部环境的排泄过程，只要令j=0,并令h,为i房室流入外部环境的速率系数（或者称为排泄速率系数）即可。环境对/房室的输入质量一般只与环境有关，而与各房室的质量无关。进一步假设在上,%+时间间隔内，单位时间内由外部环境流入到/房室 的平均流量也为常数，即令加川Q+A。一小X fjO用导数表示，有:dt jj。同样，力。或为常数，或为的函数，视具体情况而定。力。称为环境对/房室的输入流率。按上述机理，决定系统动态分布规律的将是速率系数易,（j,i=1,2,n,j）,排泄系数七。=1,2,/）和输入流率/川（）=1,2,”）。下面，我们给出一个一般n房室系统的数学模型。假设每一个房室均 有可能和外部环境及其它任一房室互有物质交换。为得到演（。满足的方程，考虑到质量的守恒，显然，在时段上/十八4中，第i房室的质量之增加应该等于在这一时段中其余各房室和外部环境 流入i房室的物质之和再减去第i房室流入外部环境和其余各房室的质量 之和，即壬。+4)为)e A%Z(k/j(0-kjixi(0)-koiXj(t)+fi0J=i 两边除以/,并令0,得到等式dx j、.=Z(kgXj。)一()koR()+fi0at j=i评2=1,2，篦这个常微分方程加上初始条件%（0）=尤就形成了 n房室系统的数学模型。3.6为什么要用三级火箭来发射人造卫星在本节中，我们希望构造一个数学模型，以说明为什么不能用一级火 箭而必须用多级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，我们只从动力系统及 整体结构上分析，并假设引擎是足够强大的。1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星（1）卫星能在轨道上运动的最低速度假设：（i）卫星轨道为过地球中心某一平面上的圆，卫星在此轨道上 作匀速圆周运动。（ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫星的引力忽略不 计（以上两条假设均为简化假设）。分析我们尽量应用物理中已有的定理来分析问题。根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为产=绊，其中“为卫星质 r量，为卫星到地心的距离，这里已应用了地球是均匀球体的假设。左可以根据卫星在地面的重量算出，即丝=mg,hg*（R为地球半径，约为R6400公里或64X106米)，故引力b=加g1J。由假设(i),卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力,故又有尸=吗，从而 v=-RJ-r V r现设g=9.81米/秒2,可以计算出当卫星离地面高度分别为100,200,400,600,800和1000公里时,其速度应分别为:7.86公里/秒,7.80公里/秒，7.69公里/秒，7.58公里/秒，7.47公里/秒及7.37公里/秒。(2)火箭推进力及速度的分析假设：火箭重力及空气阻力均不计分析：记火箭在时刻，的质量和速度分别为加和U，它们分别是看 的连续可微函数，因此有m(t+A?)+(9(A/2)记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为(常数)，由动量守恒定理:=m(t+Ar)/也加+O(42)1-3)m=-u由此解得v(Z)=v0+w In(3.15)即在U 0和加0一定的情况下，火箭速度u(t)由喷发速度M及质量比-47决定。(3)目前技术条件下一级火箭末速度的上限现将火箭一一卫星系统的质量分成三部分：(i)mP(有效负载，加卫星)(ii)mF(燃料质量)，(iii)ms(结构质量如外守则、燃料容器及 推进器)。在发射一级火箭运载卫星时，最终质量为加p+加s，而末速度应为：V=win-(初始速度u 0=0)mp+ms根据目前的技术条件和燃料性能，只能达到3公里/秒，于是可以得 出如下结论，即使不计空气阻力及火箭本身的重量，即使发射的只是一个 不带有效负载的空火箭，其末速度也不可能超过6.6公里/秒。因此，用一 级火箭发射人造卫星至少在目前条件下是不可能做到的。原因分析：容易看出，火箭推进力在加速着整个火箭，其实际效益越 来越低，最后几乎是在加速着最终毫无用处的结构质量(包括空油箱)。2、理想火箭模型假设：记结构质量加$在加s+加尸中占的比例为人，假设我们的火箭 理想地好，它能随时抛弃无用的结构，即结构质量与燃料质量以人与(1-A)的比例同时减少，(当然，这实际上是不可能的)。建 模：由=m(t+A/)-A-(1-2)(u()-w)AZ+0(A/2)dt dt得dm.dmm=w(l X)dt dt解得v(/)=(I 2)In m(t)理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料耗尽时，其结构质量已 逐渐地抛尽，所以它的最终质量为加尸，从而最终速度为：v=mp由上式可以看出，只要冽。足够大，我们可以使卫星达到我们希望它具 有的任意速度。例如，考虑到空气阻力和重力等因素，估计(按比例的粗略估计)要使u=10.5公里/秒才行，则可推算出处。51,即发射一吨重 mp 的卫星大约需要50吨重的理想火箭。3、理想过程的实际逼近多级火箭卫星系统现用建造多级火箭的方法，来近似实现理想过程，记火箭级数为n,当第，级火箭的燃料烧尽时，第汁1级火箭立即自动点火，并抛弃已经无用 的第，级火箭。用物表示第，级火箭的质量，加p表示有效负载。为简单起见，先作如下假设：（i）设各级火箭具有相同的人，即i级火箭中人也为结构质量，（1-A）见为燃料质量。一般讲，加越小则人越大，例如无法用50克火箭发射 1克重的卫星。（ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变，并记比值为鼠下面考虑二级火箭：由15式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度应为：,m.+m,+mp匕二 In 1-.+m2+mp当第二级火箭燃尽时，末速度为：丫2.m.+mpVi+In-.A,m2+mp=win防+相2+mp m2+mp+m2-mp Am2+mp(3.16)又由假设（ii）,m*kmp,加尸任加2+加尸），代入（16）式，并仍设=3 公里/秒，为了计算方便，近似取入=0.1,则可得：v2=31nm2+mP0叫 m2+mp二 31n(左+1 V0.U+1J=6 In/+l .0.U+1J上+1 例如，要使u 2=10.5公里/秒，则应使-=e 6 5.75,即后0.U+1而加+加2+加尸149 omp类似地，可以推算出三级火箭:匕“In mi+