一致性视角下分数除法运算教学的坚守与突围——兼议运算的一致性与阶段性.pdf
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1、2024年第2期总第91期【作者简介】郝高峰,正高级教师,陕西省教学名师培养对象,陕西省师德标兵、优秀教师、学科带头人和教学能手;王永涛,高级教师,陕西省学科带头人和优秀教学能手;童燕,高级教师,陕西省学科带头人和优秀教学能手。【基金项目】陕西省“十四五”教育科学规划2023年度课题“小学数学单元整体教学设计与实施研究”(SGH23Y0636);陕西省“十四五”教育科学规划2023年度课题“基于输出为本理念的小学数学生本课堂教学模式研究”(SGH23Y0658)【课堂聚焦教材教法】一致性视角下分数除法运算教学的坚守与突围兼议运算的一致性与阶段性郝高峰,王永涛,童燕(陕西师范大学附属小学,陕西西
2、安710119)【摘要】基于计数单位的一致性视角,当前分数除法运算教学表现出鲜明的阶段性和个性化特征。文章结合对一致性和阶段性关系的讨论,以现行北师大版数学教材“分数除以分数”教学为例,在尊重教材的基础上创新教学实践,理顺多样化算法与通用算法之间的关系,坚守直观辅助教学、通用算法优先等有效经验,适时分阶段引入形式化推理、演绎推理等,构建长程学习路径,实现突围,以期达成一致性与阶段性的有效统一。【关键词】分数除法;一致性;阶段性;计数单位;坚守与突围随着义务教育数学课程标准(2022年版)(以下简称“新课标”)的颁布,在全国基础教育界掀起了一轮又一轮学习和践行新课标理念的浪潮。具体到小学数学课堂
3、教学,关于一致性,尤其是数与运算一致性的讨论高潮迭起,基于计数单位视角重构数与运算教学已成为大家的共识。然而,在落实新课标理念的过程中,我们发现用计数单位统领除法的教学实践,特别是分数除法的教学则稍显力不从心,新的“不一致”悄然出现。一、问题与现状基于计数单位视角理解加法、减法运算的算理顺理成章,即不论是整数、小数,还是分数的加减法都是对相同计数单位的个数进行累加或递减运算。比如异分母分数加减法先通分,就是为了转化成同分母分数,也就是计数单位相同的分数后,再对其个数进行相应运算。在实际教学中,教师只要基于以前的教学经验强化计数单位即可。即便是第二级运算中的乘法,因脱胎于加法运算,其一致性表现为
4、计数单位相乘得到新的计数单位,个数相乘得到新的个数。教学中亦可与原有教学双线并行,相得益彰。比如,分数乘分数时,分子相乘的积做分子,实际算的就是积中计数单位的个数;而分母相乘的积做分母,实则确定的是积的计数单位。于是,加、减、乘法都可统一为两步,即定单位和算个数。实际计算中,也常常表现为先算个数,再定单位。整体来看,加、减、乘法在运算上表现得比较一致。对于除法,整数和小数除法的算理要基于计数单位去解释并开展教学也并非难事,即单位相除确定新的单位,个数相除得到新的个数,或统一单位后个数间进行除法运算。但分数除法因其现行通用算法为“甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘乙数的倒数”,与基于计数单位一致
5、性的算理解释342024年第2期总第91期出入较大,表现出极强的个性化特征。再加上分数除法算理的解释呈现出多样化的特点,一方面造成对运算一致性建构的直接干扰;另一方面,也使得教师教学难免顾此失彼,给教学实践中具体方法的选择和取舍带来一定困扰。二、分析与思考(一)现行教材对分数除法算理教学的实践分数除法的通用算法是把除法转化为乘法进行运算。现行教材均将其分为“分数除以整数”和“一个数除以分数”两个层次展开教学。其中“分数除以整数”的教学都选择了除法中的“平均分”模型,借助分纸、分果汁等分物情境,以“分数的分子是否是除数的整倍数”将教学划分为两个层次。学生在对比中归纳出分数除以整数的通用算法,即除
6、以一个整数(0除外),等于乘这个整数的倒数。其算理与基于计数单位的一致性相契合,本文暂不做进一步论述。而“一个数除以分数”的教学就复杂得多,现行教材大多基于“包含除”,借助分饼、分橙子、分果汁等分物情境组织教学。因“分数除以分数”的特殊性,各版本教材在遵循“混而不错”的原则下,结合小学生的实际,对所用数据进行了特殊化处理。如北师大版只举了整数除以单位分数的例子(如413),苏教版所用的两个分数同分母且分子具有倍数关系(如910310),人教版选取了同分子且分母存在倍数关系的两个分数(如56512)。实践证明,现行教材借助几何直观,结合具体情境帮助学生理解分数除法的算理符合小学生的认知发展水平,
7、有着积极的现实意义,需要在教学中继续坚持。但在“运算一致性”视角下,一方面基于具体背景的解释无法实现算理的一致性1,另一方面,鉴于数据的特殊化,也使得算理的推理过程还不够严密。因此,我们有必要在尊重教材的基础上,从计数单位的角度对“一个数除以分数”,尤其是“分数除以分数”的教学进行一些新的思考和尝试。(二)基于演绎推理的除法算理一致性建构巩子坤等学者从数的概念与运算的本源性、一致性与整体性出发,统整核心概念、基本规律、基本运算和基本事实,建构了数的概念与运算的一致性框架。2对于分数除法,一方面强调基于演绎推理推演其算理与算法。即设abcd=k(b、c、d0),根据逆运算有ab=cdk,结合等式
8、的性质,等式两边同时乘上dc,则有abdc=cddck,整理得abdc=k。因为abcd=k,abdc=k,根据等式的传递性易得abcd=abdc。这样证得分数除法的通用算法。另一方面也基于演绎推理进一步指出分数除法也可归结为计数单位相除得到新单位,计数单位的个数相除得到新的个数。即abcd=abdc=(a1b)(d1c)=(a1c)(1bd)=(ac)(1b1d)。这样,便实现了基于计数单位的一致性建构。即四则运算都是基于计数单位及计数单位个数的运算,其中加法和减法是基于相同计数单位个数的运算;乘法和除法往往伴有新单位产生,乘(除)法是单位相乘(除)得到新单位,个数相乘(除)得到新个数。这样
9、的一致性框架建构立足数的概念与运算的本源,结构完整,论证严密,符合数学内部逻辑。巩子坤、张希等学者也对基于演绎推理的分数除法的学习路径进行了实证研究。3-4但联系当下小学数学课堂教学现实,一开始就进行这样的推理容易给小学生带来“变戏法”的感觉5。因此,该方法呈现的方式和时机有待进一步探讨和实践。(三)一致性和阶段性关系的讨论新课标指出,核心素养具有整体性、一致性和阶段性,在不同阶段具有不同表现。6事实上,整体性、一致性和阶段性是事物发展的普遍规律,数学学习当然也不例外。整体性是基础,它决定了数学内部逻辑的一致性。又因为事物是发展变化的,数学学习也就必然会表现出一定的阶段性。这样,一致性和阶段性
10、统一于整体性之下,就构成了事物发展的两个辩证的维度,即共性和个性。而数学的无限发展正是在诸多对立面的辩证运动中得到实现的7。因此,数学教学需要关注阶段性和一致性,科学地处理局部知识与整体知识、阶段发展与长远发展的关系。8352024年第2期总第91期基于这样的认识,数的概念与运算整体上应该基于计数单位和计数单位的个数进行建构,这体现了其内在逻辑的一致性。由于四则运算之间的衍生关系,第一级运算加、减法集中表现出一致性的一面。而第二级运算中的乘法在保持一致性的前提下已经展露出一定的阶段性。到除法运算,尤其是分数除法,阶段性表现得更为突出,一致性反而有所内敛。这也耦合了事物发展的一般规律。需要特别指
11、出的是,一致性与阶段性之间也是有层级的。在某一阶段内,往往会表现出新的一致性,新的一致性内部又会产生阶段性(如图1)。图1一致性与阶段性关系示意图(四)新一致性视角下分数除法教学的其他几种可能方法1:运用商不变规律尽管商不变规律因其是在整数运算中通过不完全归纳得出,进而被类比迁移到小数和分数运算中而常遭诟病,但如果本着“混而不错”的原则,它的应用确实在小数除法、分数除法的算理教学中更容易被教师和学生所接受和认可。并且,商不变规律是可以基于演绎推理推演出来的。因此,在商不变规律适用的前提下,分数除以分数既可以给被除数和除数同时乘上二者分母的公倍数(最好是最小公倍数),将其转化为整数除法计算,也可
12、以同时乘上除数的倒数,将除数转化为1,从而将除以一个数(0除外)转化为乘这个数的倒数。即abcd=(abdc)(cddc)=abdc(b、c、d0)。这与现行通用的分数除法算法一致,也与现行小数除法的计算方法一致,学生普遍容易理解。方法2:“经分”法“经分”法即先通分,使分子相除。也即abcd=adbdbcbd=adbc=adbc(b、c、d0)。这里先通分实际是将被除数和除数转化为计数单位相同的分数,这时两个分子的商就是原分数的商。“经分”法在计算时一般没有通用算法简单,但它很容易和通用算法建立联系,即abcd=adbc=abdc。并且,如果小数除法的算理解释为计数单位相同时个数的运算,如0
13、.80.25=(800.01)(250.01)=8025,就与“经分”法实现了阶段内的一致。另外,“经分”法的本质还是因为计数单位相同时,相除的结果为1,表现为只算分子,不看分母,即abcd=adbdbcbd=(adbc)(1bd1bd)=adbc。这与上文中一致性框架建构中的方法达成一致。方法3:分子相除商做分子,分母相除商做分母分数乘分数的算法是分子相乘积做分子,分母相乘积做分母,能约分的要约成最简分数。如果先不考虑约分的问题,因为除法是乘法的逆运算,那么分数除以分数理应是分子相除商做分子,分母相除商做分母。即abcd=acbd(b、c、d0)。比如91638=93168=32,此法的优越
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