毕业论文-于基小波变换的图像边缘检测.doc

第一章 绪 论

1．1研究背景及意义
视觉，是人类取得信息的最主要来源。统计数据显示，在人类大脑获取的信息之中，大约60%为视觉信息，20%为听觉信息，其他的例如味觉信息、触觉信息等加起来约占20%。由此可见，视觉信息对人们的重要性。然而在所有获取视觉信息的途径中，图像无疑是最主要的方式。我们每天都是在报纸、杂志、书籍、电视等大量的图像信息中度过来的。可以说，图像是用各种观测系统以不同的形式和手段观测客观世界而获得的，可以直接或者间接作用于人眼并进而产生视知觉的实体。
边缘【1】，是图像的最重要的特征，它是指周围像素灰度有阶跃变化或屋顶变化的那些像素的集合。Poggio在参考文献【1】中提到“物体（的边界）或许并没有对应着图像中物体（的边界），但是边缘具有十分令人满意的性质，它能大大减少所要处理的信息但是又保留了图像中物体的形状信息。”他还定义了边缘检测为“主要是（图像的）灰度变化的度量、检测和定位”。
边缘检测通常有三种方式。第一种为屋顶型边缘，它的灰度是先慢慢上升到一定的程度然后再慢慢的下降。第二种为阶跃型边缘，它的灰度变化是从一个值到比它高很多的另一个值。最后一种是线性边缘，它的灰度值是从一个级别跳到另一个级别之后，再跳回来。不同的边缘有不同的特征，但在大部分情况下，我们都是把图像的边缘全部看成是阶梯型边缘，求得检测这种边缘的最优滤波器，然后用于实践中。
实践证明，边缘检测对于图像的识别意义重大，理由如下：
第一，人眼通过追踪未知物体的轮廓（它是由一系列的边缘组成的）而扫视一个未知的物体。
第二，凭经验我们知道，只要能成功的得到图像的边缘，图像的分析就会大大简化，识别也会容易得多。
第三，很多图像并没有具体的物体，对这些图像的理解取决于他们的纹理性质而提取这些纹理性质与边缘检测有着密切的联系。
随着计算机技术的飞速发展，利用计算机对图像信息进行加工的数字信号处理技术更是日新月异。由于边缘广泛存在于物体与背景之间、物体与物体之间、基元与基元之间且对于图像视觉特征的提取非常重要，所以边缘检测在基于计算机的边界检测、图像分割、模式识别、机器视觉等都有非常重要的作用。例如美国波音公司开发的雷达自成像识别系统就广泛应用于美国空军战机之间的敌我识别；日本CANNON公司将其开发的最新的边缘检测技术应用于最新产品DIGIC4图像处理器，大大提高了拍摄的清晰度 。
随着算法的不断更新和计算机等各种设备的不断进步，边缘检测在图像信息获取等各领域的应用将会更加广泛。可以预见，在不久的将来，基于边缘检测的各种产品会伴随着我们的日常生活，与我们息息相关。

1．2图像的边缘检测综述
所谓边缘检测，主要是指图像灰度变化的度量、检测和定位【2】。现阶段，边缘检测的方法主要有以下几种：
（1）检测梯度的最大值。因为边缘通常发生在灰度值变化较大的地方，对应的就是函数梯度较大的地方，所以一种比较理想的方法就是寻找好的求导算子。现在常用的算子有Roberts【3】算子、Prewitt算子和Sobel【4】算子等。
（2）检测二阶导数的零交叉点。因为边缘处梯度的绝对值取得最大值，也就是灰度图像的拐点是边缘。
（3）统计型方法。例如D.H.Marimont在文献【2】中通过假设检验来检测边缘，利用对二阶零交叉点的统计分析得到了图像中像素是边缘的概率。
（4）小波多尺度边缘检测。20世纪末，随着小波分析的迅速发展，小波开始用于边缘检测。作为研究非平稳信号的利器，小波在边缘检测方面具有得天独厚的优势。
除此之外，还有一些其他的方法，比如说模糊数学的方法、最近提出来的利用边缘流【5】的检测法、Hueckel算法、Frei和Chen算法、Marr和Hildreth零交叉点算子、统计变点算法、边缘检测的Green函数方法、数学形态学方法等等。本文在分析传统边缘检测方法的同时，着重探讨小波变换在边缘检测的应用。

1．3基于图像边缘检测的掌纹识别综述
1．3．1掌纹识别简介
基于图像处理的各种应用近年来得到了飞速的发展，而基于图像的掌纹识别【6】技术便是其应用的一个方面。掌纹是指手腕与手指之间的手掌表面的上的各种纹线。掌纹的形态由遗传基因控制，因为每个人的基因不相同，所以没有两个人的掌纹纹线会完全相同，即使是孪生同胞，纹线也只是相近，不可能完全一样。掌纹体现在图像上的特征主要包括纹线特征、点特征和纹理特征。
（1）掌纹中最重要的特征是纹线特征，这些纹线中最清晰的几条在人的一生中基本上不会发生变化，并且在低分辨率和低质量的图像中仍能够清晰的辨认。
（2）点特征主要是指手掌的皮肤表面特征如掌纹突纹在局部形成的奇异点及纹形。由于其须在高质量和高分辨率的图像中提取，所以对图像的质量要求较高。
（3）纹理特征，是指比纹线更短、更细的一些纹线，并且是毫无规律的分布在手掌上。
由此可见，掌纹中包含的信息比起一枚指纹中的信息要丰富得多。利用掌纹图像中的纹线特征、点特征和纹理特征足以准确无误的确定一个人的身份。因此，从理论上讲，掌纹具有比指纹更好的分辨能力和更高的鉴别能力。除此之外，掌纹识别还是一种非侵犯性的识别方法，用户比较容易接受，同时，对设备的要求也不是太高。由于以上的特点，掌纹识别成为了近几年发展特别快的一种生物识别技术，具有广阔的发展前景。

1．3．2基于图像的掌纹识别算法
到目前为止，研究人员已经在基于图像处理的掌纹识别领域做了大量的研究并取得了一定的成果。这里，对该领域的国内外研究现状做简单的介绍。现阶段，国内外主要有以下几种掌纹识别算法：
（1）基于点特征和线特征的识别方法。它实际上是低对比度，高噪声背景下的图像的边缘检测，是掌纹识别中最直接的方法。点特征可以精确的描述掌纹图像，且鉴别能力高、鲁棒性【3】强。
（2）基于掌纹纹理特性的识别方法。掌纹可以被认为是无规则但在个体间独一无二的一种纹理。目前有很多方法是针对纹理分析处理掌纹图像的，如傅立叶变换、小波变换等方法。采用纹理分析方法处理掌纹图像可以很好的避免图像在空域中噪声的影响，简化图像预处理步骤。
（3）基于子空间的掌纹识别方法。基于子空间的特征提取是指将掌纹图像经过映射变换或矩阵运算，实现从样本空间到特征子空间的转换。子空间法提取特征具有描述性强、计算代价小、易实现和可分性好等特点，但不足之处在于该方法下得到的特征一般是最佳描述但不是最佳分类特征，这不利于分类匹配。
（4）分级融合的掌纹识别方法。由以上的算法可以看出，每种方法都各有优缺点，如果单纯的用一种则很难做到快速、精准的身份识别。于是，将多种算法综合起来的多特征融合的方法便成为研究的方向。这种融合可以体现在特征级，也可以体现在匹配级。通过融合，识别的精度和速度都会有很大的提高。

1．3．3掌纹识别技术展望
随着信息技术和网络技术的高速发展，信息安全显示出前所未有的重要性。生物识别技术以其特有的稳定性、唯一性和方便性，得到越来越广泛的应用。基于图像的掌纹识别作为一项新兴的生物识别技术，因具有采样简单、图像信息丰富、用户接受程度高、不易伪造、受噪声干扰小等特点受到国内外研究人员的广泛关注。但是由于掌纹识别技术起步较晚，目前尚处于学习和借鉴其他生物特征识别技术的阶段。

1．4本文的内容安排
本文首先讨论了传统的图像分析和处理方法，针对它们在非稳定图像信号处理【7】方面的不足和单分辨率的缺陷，引出了小波理论并对其做了一定的介绍。在研究和分析了现有的图像边缘检测方法后，针对可能漏检微弱边缘和边缘定位不够准确的不足，采用小波变换对图像进行边缘检测。为了更好的提取图像特征，首先对图像进行了预处理，使之达到灰度增强的目的。然后在基于小波多尺度边缘检测的方法上改进算法，采用三阶B-样条函数【8】作为相应的尺度函数。
论文共分为六章，内容安排如下：
第一章是绪论部分。主要阐述了课题背景和国内外的研究现状。简单介绍了边缘检测和掌纹识别的基本情况以及发展方向。
第二章是传统的图像分析与处理方法。研究了传统的图像变换和处理的方法，主要对傅里叶变换和Gabor变换进行了研究和探讨，阐述了它们在图像分析和处理中的应用价值。
第三章是小波变换理论。本章重点讲述了小波变换的定义，介绍了几个典型的小波函数。之后深入研究了小波变换在图像处理领域的广泛应用。
第四章是图像的边缘检测。本章首先研究了基于传统算子Sobel、Laplace等的边缘检测方法，对它们进行了理论分析，然后对各自的特点做出了比较和评价。最后系统的研究了Canny连续准则及其算法。
第五章是小波多尺度边缘检测。根据连续小波变换的思想，提出用小波函数在多个尺度下提取图像特征。本章用改进的B-样条函数作为小波函数，对图像进行多级的边缘检测。
第六章是总结与展望。即系统的总结了本文研究成果以及存在的不足，然后提出了后续研究工作的方向。

第二章 传统的图像分析和处理方法

在数字图像中，一般用二元函数作为图像的数学表示。表示在特定点处的函数值，用来表征图像在该点相应的颜色强度或者灰度。而所谓的图像变换就是指把图像转换为另一种数学表达方式的操作。
在图像的处理技术中，正交变换技术有着广泛的应用，是图像处理的一种重要工具。通过改变图像的表示域及表示数据，可以给后续的工作带来很大的便利。比如，Fourier变换可以使处理工作在频率中进行，简化了运算；Gabor变换用开窗的方法作为Fourier变换的一种简单局部化，使计算更为方便。此外，随着小波分析方法在图像处理中的应用不断发展成熟，基于小波的图像处理成为当前研究的热门，也正是本文讨论的课题。本章，先对传统的Fourier变换和Gabor变换做初步的研究，为后面的小波理论打下基础。
2．1 Fourier变换
Fourier分析【9】在数学与工程技术中有广泛的应用。本节主要讲述Fourier分析的一些基础知识和它在图像处理中的一些应用。
2．1．1 Fourier变换的定义
Fourier级数主要表征的是周期信号的性质，但在工程应用中大量的却是非周期性信号。因此，引入了Fourier变换对非周期信号进行分析。
经典的Fourier变换（FT）定义为：
= （2-1） 当然，根据传统的Fourier变换，原信号f(t)还必须满足狄里赫里条件【4】。对大多数工程信号来说，这个条件是容易满足的。
在二维的数字图像中，假设是一个包含两个离散空间变量和的函数，则有该函数的二维Fourier变换的定义如下：
（2-2）
式中，是复变函数，其变量和的周期均为。正因为这种周期性的存在，在图像显示时，这两个变量的取值范围是，。
由于在实际的数字图像处理中，需要借助计算机辅助计算，所以我们一般采用离散傅里叶变换（DFT）用做计算机处理Fourier变换的方法。理由如下：
（1）DFT的输入/输出均为离散值，非常适合于计算机的运算操作。
（2）离散Fourier变换可以用一种快速算法实现，即快速Fourier变换（FFT）。
2．1．2 Fourier变换在图像处理中的应用
（1）线性滤波器频率响应
由信号与系统中的知识可知，滤波器冲激响应的Fourier变换就是该滤波器的频率响应。在MATLAB中可以调用函数freqz2的来计算和显示滤波器的频率响应，这样可以很方便的得到线性滤波器的各种特性。
（2）快速卷积
能够实现快速卷积是Fourier变换的另一个重要应用。我们知道时域中卷积，频率中就是相乘，即Fourier变换后的乘积。将该性质与FFT结合起来，便可以快速计算函数的卷积。
假设A为矩阵，B为矩阵，则它们的卷积C为矩阵。MATLAB中提供了函数conv2来实现二维矩阵的卷积。
（3）图像特征识别
Fourier变换可以用于与卷积密切联系的相关运算。在数字图像处理中，相关运算常用于匹配模板，可以用于对某些模板对应的特征进行定位。例如：将图像text.png与包含字母“a”的图像进行相关运算，即对这两张图像先进行Fourier变换。再利用快速卷积的方法计算它们的卷积，提取卷积运算的峰值，得到在图像text.png中字母“a”的定位（白色小点），程序执行的结果如下：

图2-1 图像text.png

图2-2 字母“a”的图像

图2-3 快速卷积结果

图2-4 对字母“a”的定位结果

2．2 Gabor变换
本节介绍的Gabor变换是信号时-频分析的一种重要工具。连续Gabor变换用开窗的方法作为Fourier变换的一种简单局部化。这个窗的存在使单变量函数变换成了两个参数的新函数，给出窗的中心位置的时间参数和计算加窗后信号的Fourier变换得到的频率参数。

2．2．1连续Gabor变换
（1）首先定义窗函数：非平凡函数【5】，且还有，则称是一个窗函数。窗函数中心与半径分别定义为：
（2-3） (2-4)
其中，窗函数的宽度为半径的2倍。
（2）连续Gabor变换的定义：函数关于窗函数的连续Gabor变换定义为： (2-5)
说明：（1）在Gabor变换中，要求只是为了讨论的方便，事实上这个要求不完全是必要的。
（2）一般的窗函数g(t)=g(-t)是实对称的，但在定义和后面的假设中，我们不做如此的假定。
连续Gabor变换是Gabor在1946年首先提出的，实际上是对函数f做一个好的定位切片，然后再求它的Fourier变换得到的，所以连续Gabor变换又叫窗口Fourier变换或短时Fourier变换。

2．2．2离散Gabor变换
在基于计算的实际应用中，我们使用的是离散变换而不是连续变换。设是窗函数，离散的Gabor函数定义为：
（2-6）
式中：分别为时间参数和频率参数。
离散Gabor变换定义为： （2-7）
二重序列 （2-8）
称为f的Gabor级数。
严格来讲，Gabor变换只是一种加窗的傅里叶变换，Gabor函数能够在频率不同尺度、不同方向上提取相关的特征。总而言之，传统傅里叶分析将一段较长的时间内的信号看作从以前到未来信号一直按照此规律周期性变化，并分析信号的频率成分；而Gabor变换在要分析的信号上提取出信号中的每一个小段(长度自己定)，将此小段进行两端周期性延拓，并对这样的信号进行传统傅里叶分析，得到此小段内信号的频率特性，平移原有分析信号中小段的位置，得到整个要分析信号在每个小范围内频率成分。

第三章 小波变换理论

为了获取信号的时域信息，人们对Fourier分析进行了推广，其中短时Fourier变换就是在传统方法的基础上引入时域信息的最初尝试。但是它的时域区分度只能依赖于大小不变的时间窗，这对于某些瞬态信号来说还是不够精确的。
小波分析克服了短时Fourier变换在单分辨率上的不足，具有多分辨率的特征，并且在时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态而进行动态的调整，具有表征信号局部信息的能力。因为这些特点，小波分析可以探测正常信号中的瞬态，并展示其频率成分，被称为“数学显微镜”，广泛应用于各个时域分析领域。

3．1 小波的简介
我们在小波分析的研究和应用中，会经常提到“信号”一词。以后提到信号f(t)都是指它是能量有限的。所有能量有限的集合形成一个线性空间，记为，即所有满足下式的函数的集合： （3-1）
下面给出小波的定义：对于函数，如果
（3-2）
则称其为一个小波。
下面简述一下小波在直观上的特点。由于在整个实线R上是可积的，所以它在无穷远处一定是为0，也就是说当时，衰减到0。还有，由积分的几何意义可以看出的图像与x轴所夹的上半部分的面积与下半部分面积是相等的。也就是说当t变动的时候，它是上下波动的，这就是“小波”一词的来源。
下面给出一些小波的例子。

（1）Haar小波的定义： 1, 0 ≤t＜0.5

f(t)= -1, 0.5≤t＜1

0, 其它 （3-3）
它的傅里叶变换为：
（3-4）
（2）Shannon小波的定义：

1， <<
=
0, 其它 （3-5）
这时，取的逆变换得： （3-6）
（3）Gauss小波的定义：Gauss小波是Gauss函数的一阶导数，即为：
（3-7）
它的傅里叶变换为：
（3-8）
基于小波族是作为由一个单个小波函数的平移和伸缩构成的函数族的概念，我们引入：
（3-9）
在式中：a为尺度参数，b为位移参数，这时我们有
（3-10）
即小波经（3-9）式的方程伸缩和平移后的函数的范数等于原来小波的范数。所以式（3-9）中的又称为规范化因子。由于函数族是由生成的，所以有时将其称为母小波。
以下是几种常见的小波函数的坐标图像

图3-1 Gauss小波

图3-2 shannon小波

图3-3 meyer小波

3．2 小波变换
小波变换【10】是对Fourier变换、Gabor变换的进一步延伸。下面主要讨论小波变换的定义和一些性质。

3．2．1连续小波变换
设，则称： （3-11）
为连续小波变换（常简称小波变换）。为了研究的需要，上式也常记为。
我们知道，在Fourier变换中有时域中的Fourier变换和频率中的逆Fourier变换。下面介绍如何用小波变换重构f(t)：
首先，假定，为了由连续小波变换式（3-10）重构f(t)，需要满足容性条件： （3-12）
基小波的定义：如果并且满足（3-12）的条件，则称为一个基小波。相应的，式（3-11）成为关于该基小波的连续小波变换。以后再讲到小波的时候，若无特别声明，指的就是基小波。给小波再加上一个容性条件（3-12）后，一个函数就能用连续小波变换式（3-11）重构。
如果为一个基小波，它定义了一个连续小波变换，则对于任何和f的连续点，有：
（3-13）
上式便是由重构f(t)的公式。

3．2．2离散小波变换
在连续小波变换中，考虑：
（3-14）
这时，用函数f(t)的连续小波变换就可以重构函数，我们知道，这种重构是冗余的。这里限制a,b取离散值。对于固定的伸缩步长，可选取，，为不失其一般性可假定（或）。在m=0时，取固定（）整数倍离散化b是很自然的，当然要选取使得覆盖整个实轴。因此，选取，，其中取遍Z，而是固定的。当然，对于适当的选取依赖于小波。这时，相应的离散族为：
（3-15）
相应的离散小波变换为：
（3-16）
要用函数的离散小波变换数值稳定的重构，就需要离散族是空间的一个框架或一个基。这个框架就是小波框架，这个基就是小波基。

3．2．3小波级数
首先，从正交小波的定义开始，记：
（3-17）
一个小波称为一个正交小波，如果是的一个规范正交基，即：
（3-18）
而且，每个都能写成：
（3-19）
上面的定理中，对，表示空间的内积，而表示函数的复共轭。
在式（3-19）中，两边关于取内积，得基数的系数为：
= （3-20）
则称式（3-17）为小波级数，而（3-18）为小波系数。注意到小波变换的定义式（3-9），式（3-18）正好是式（3-9）中的情形，这时，小波系数变成：
（3-21）

3．3 小波分析在图像处理中的应用
由于图像在人们的日常生活中无处不在，对图像的处理随之也成为当代科学技术工作的重要部分。而图像又可以看成是二维的信号，所以对图像的处理也可以看成是对信号的处理。现在，对于性质稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是Fourier变换。但在实际应用中，大多数信号是不稳定的，而小波分析恰恰是非常适合于非稳定信号的工具。本小节简单介绍一下小波分析在图像处理的应用。
3．3．1图像压缩
图像压缩【11】在图像的传输和储存中起着至关重要的作用。小波变换由于具有良好的时域局部化性能，有效的克服了Fourier变换在处理非平稳的复杂图像信号时的局限性，因而在图像压缩领域受到了广泛的重视。现阶段已有许多较为成熟的算法，如EZW编码、SPIHT编码等，而Shapiro利用零树处理图像小波系数，有效地利用了带间相关性和带内相关性，获得了较高的编码效率。值得一提的是，基于小波变换的图像压缩的部分算法已融入JPEG2000标准【6】中。
以图像为例，图像数据往往存在冗余，如空间冗余、信息熵冗余、视觉冗余等等。压缩就是想法去掉各种冗余，保留真正有用的信息。
图像进行压缩的过程称为编码，恢复原信号的过程称为解码。根据解码后的数据跟原始数据是否完全一致将图像压缩方法分为无失真编码和有失真编码。
小波分析用于信号与图像压缩是小波应用的一个重要方面。它具有压缩速度快、压缩比高、压缩后能保持信号与图像的相关特征不变等特点，且在传输中可以抗干扰。实际中，基于小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法、小波域纹理模型方法、小波变换零树压缩、小波变换向量量化压缩等等。
一个图像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子图像，不同分辨率的子图像对应的频率是不同的。高分辨率子图像上大部分点的数值都近似于0，越是高频越明显。而对于一个图像，表现它的最主要的部分是低频部分，所以最简单的压缩方法是利用小波分解，去掉图像中的高频部分而保留低频。下面是利用二维小波分析对一幅图像进行压缩的例子：

图3-4 小波压缩图像
3．3．2图像去噪
噪声一般可理解为妨碍人的视觉器官对所接受图像源进行理解或分析的各种因素。噪声对图像处理十分重要，它影响图像的输入、采集、处理的各个环节，如果噪声不能很好的抑制，必然影响处理的全过程和输出结果。因此，有目的地从测量数据中获取有效信息，去除噪声，就成为许多分析过程中的一个重要环节。
小波去噪【12】的成功主要是因为小波变换有如下的特点：
a：低熵性。小波系数的稀疏分布，使图像变换后的熵降低。
b：多分辨性。由于小波的多分辨性，可以很好的刻画信号的非平稳特征，如边缘、尖断点等，可在不同的分辨率下根据信号和噪声的分布特点去噪。
c：基波选择的灵活性。由于小波变换可以方便的选择小波基，如单小波、多小波、多带小波、小波包等等。
小波去噪的方法，大致有如下几种：
a：基于小波变换极大值原理。Mallat提出信号与噪声在小波变换各尺度熵不同的传播特性，剔除由噪声产生的模极大值点，用所余模极大值点恢复信号。
b：基于相关性：首先对含噪信号做小波变换，然后计算相邻尺度间小波系数的相关性，根据相关性的大小区别小波系数的类型，做出取舍，最后进行重构。小波隐马尔可夫树去噪法就是一种典型的基于相关性的去噪法。
c：硬阈值方法或软阈值方法。基于小波变换的去噪方法，利用小波变换中的变尺度特性，对确定信号有一种“集中”的能力。如果一个信号能量集中于变换域少数小波系数上，那么它们的取值必然大于在变换域内能量分散的大量信号和噪声的小波系数，这种情况下就可以用阈值方法。
下面仅简要介绍一下阈值去噪法。给定一个阈值，所有绝对值小于的小波系数归为噪声，将其值用0代替；超过的小波系数的值，被缩减后再重新取值。这种方法意味着阈值化移去小幅度的噪声，或非期望的信号。
软阈值化与硬阈值化是对超过阈值的小波系数进行缩减的两种主要方法。
软阈值化表示式为：

（3-22）

硬阈值化表示式为：

（3-23）
阈值化处理的关键是阈值的选择，如果阈值太小，去噪效果不佳，如果阈值太大，则重要的信号又会被滤掉，引起偏差。Donoho等人提出了一种典型的阈值选取方法，在理论上给出并证明了阈值与噪声的方差成正比，记为小波分解次数，则有：
（3-24）
可以总结出基于小波变换的阈值去噪法的步骤如下：
1、选择合适的小波，对所给的信号进行小波变换，得到小波变换系数W。
2、计算小波的阈值，选择软阈值或硬阈值法，对小波系数进行取舍，得到新的小波系数。
3、对得到的新小波系数进行逆小波变换，得到去噪后的图像。
下面是一个对图像做小波去噪的例子：

图3-5 小波分析用于去噪
3．3．3边缘检测
边缘是图像最基本的特征，所以边缘检测是图像处理中的重要内容，在工程应用中占有着重要地位。
小波分析是近20年发展起来的新兴科学，作为一种快速、高效、高精度的近似方法，给许多学科的研究领域带来了新的思想。基于小波分析的图像边缘检测就是小波在边缘检测中的应用，也是本文研究的重点，具体内容将在下面的章节详细讨论。
总的来说，小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密联系在一起的。现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。由于在实际中，信号绝大多数是非稳定的，而小波分析正是适用于非稳定信号的处理工具。图像处理是“信息处理”的一个方面，这一观点已为人熟知。它可以进一步细化为多个研究方向：图片处理、模式识别、景物分析、图像理解、光学处理等等。小波分析在图像处理方面，主要是用来进行图像压缩、图像去噪、图像增强、图像融合和分解等等，有着巨大的实际应用价值。

第四章 图像的边缘检测

所谓边缘是指其周围像素灰度有变化的那些像素的集合，它是由灰度的不连续来反映的。基于边缘的分割是最早的边缘检测方法之一，它代表了一大类基于图像边缘信息的方法。本章首先讨论了传统的基于分割的边缘检测方法；然后对几种经典的边缘算子进行理论分析，并对各自的特点做出了比较和评价；最后介绍Canny连续准则及其算法。

4．1 基于边缘的分割
在实际应用当中，最早的边缘检测方法是基于分割【13】的边缘检测法，而且在现在仍然是非常重要的。基于边缘的分割依赖于边缘检测算子找到的图像边缘，这些边缘显示了图像在纹理、色彩和灰度等方面的不连续的位置。但边缘检测的结果并不能用做图像的分割结果，因为必须采用后续的处理将边缘合并为边缘链，使之与实际的边界对应的更好。所以，应将局部边缘聚合到一副图像中，使其中只出现对应于存在的物体或图像部分的边缘链。
由于存在模糊和噪声，检测到的边界可能在某些地方发生间断或变宽。因此，边界检测必须包含两方面的内容：首先要提取出反映灰度变化的边缘点，然后去除某些边界点或替补某些缺失点，使得这些点能够连成一条完整的直线。
边缘检测的基本原理：边缘检测的实质是采用某种算法来提取出图像中对象与背景间的交界线。我们将边缘定义为图像中灰度发生急剧变化的区域边界，它的变化情况可以用图像灰度分布的梯度来反映，因此我们可以用局部图像微分的方法来获得边缘检测算子。
经典的边缘检测方法是对原始图像中像素的某小邻域来构造边缘检测的算子。可以记：
（4-1）
为图像的梯度，中包含局部灰度的变化信息。
又记为梯度的幅度值，可以用作边缘检测算子。为了简便，也可以将定义为偏导数的绝对值之和，如下：
（4-2）
人们根据这些理论提出了许多算法，现在比较常用的边缘检测方法有差分检测法、Roberts边缘检测算子、Sobel算子、Prewitt【14】算子、Robinson算子、Laplace算子、Canny算子【15】和LOG算子【16】等等。总而言之，这些算子的成功运用，帮助人们能够很好的得到图像边缘，使得图像分析大大简化，也使图像识别变得容易很多。
4．2 常用的边缘检测算子
4．2．1差分边缘检测方法
可以利用像素灰度的一阶导数在灰度急剧变化处得到峰值来进行奇异点的检测。它在某一点的值就代表该点的边缘强度，通过对这些值设置阈值来进一步得到边缘图像。但是，用这种方法就必须使差分的方向与边缘方向垂直，这就需要对图像的不同方向都进行差分运算，实际上增加了运算的复杂性。
差分检测方法一般分为垂直边缘、水平边缘和对角线边缘检测，如下图：

差分边缘检测法是一种最原始、最基本的方法。根据灰度迅速变化处一阶导数达到最大值原理，就必然要求差分方向与边缘方向垂直，也就要通过对各个不同方向求一阶导数的最大值来检测边缘。但这种方法计算繁琐，目前已很少采用。

4．2．2 Roberts边缘检测算子
Roberts边缘检测算子根据任意一对相互垂直方向上的差分可用来计算梯度的原理，采用对角线方向相邻两像素之差，即：

（4-3）
有了，后，可以根据下式计算出Roberts的梯度幅度值：

或 （4-4）
它们的卷积算子为：
（4-5）
选择合适的门限TH，如果>TH，则为阶跃状边缘点，即为边缘图像。
Roberts算子采用对角线方向相邻两像素差近似梯度幅值检测边缘。检测垂直和水平边缘的效果好于斜向边缘，其优点是定位精度高，缺点是对噪声敏感。

4．2．3 Sobel边缘检测算子
针对数字图像的每个像素点，考察它上下左右邻点灰度的加权差，与之相近的邻点权就大。因此，Sobel算子的定义如下：

=+

它的卷积算子为：

选择适当的门限TH，如果>TH，则为阶跃状边缘点，即为边缘图像。
Sobel算子的优点是在空间上很容易实现，它不但能产生较好的边缘检测效果，而且受噪声的影响也比较小。特别是使用大的邻域时，抗噪性能会更好，但缺点是这样会相应的增加计算量，而且得出的边缘会比较粗。
Sobel算子是利用像素点上下、左右邻点的灰度加权算法，根据在边缘点处达到极值这一特征进行边缘检测。它对噪声具有平滑作用，能够得到较为准确的边缘信息。但同时也会检测出许多虚假边缘，边缘定位不够精准，是一种适用于对精度要求不高的边缘检测方法。

4．2．4 Prewitt边缘检测算子
Prewitt边缘检测算子是一种边缘样板算子。这些算子样板是由理想的边缘子图像构成的。依次用边缘样板去检测图像，与被检测区域最为相似的样板给出最大值，然后用这个最大值作为算子的输出值，这样可以将边缘检测出来。
定义Prewitt边缘检测算子模板如下：

选择适当的门限TH，如果>TH，则为阶跃状边缘点，即为边缘图像。

4．2．5 Robinson边缘检测算子
Robinson边缘检测算子也是一种边缘样板算子，其算法和Prewitt边缘检测算子相似，不同的是8个样板，如下：

选择适当的门限TH，如果>TH，则为阶跃状边缘点，即为边缘图像。

4．2．6 Laplace边缘检测算子
Laplace边缘检测算子是一种二阶微分算子，对于图像，它在图像中的位置的Laplace定义如下：
（4-6）
Laplace边缘检测算子一大优点是它的无方向性。因为它只用一个模板，并且不必综合各模板的值。计算数字图像的Laplace值也是借助各种模板卷积实现的。实现Laplace运算的几种模板如下：

由于Laplace算子是一种二阶导数算子，因此对噪声特别敏感。此外它还经常产生双像素宽的边缘，且也不能提供边缘方向的信息。由于上面的原因，Laplace算子很少直接用于检测边缘，而主要应用于已知边缘的像素后，确定该像素是在图像的暗区或明区一边。
以下是用MATLAB实现各种边缘算子以及效果比较：

图4-1 原始图像

图4-2 sobel算子检测

图4-3 roberts算子检测

图4-4 prewitt算子检测

图4-5 log算子检测

4．3 Canny连续准则及算法
4．3．1边缘检测的Canny准则
通过对以往的边缘检测算子和边缘检测应用的研究考察，Canny发现，尽管这些应用都出现在不同领域，但它们都有一些共同的要求：
（1）好的检测结果。即为对边缘的检测错误率要尽量低，表现在：一方面在图像上