空间向量在立体几何中的应用.ppt

空间向量在立体几何中的应用 二、二、用空间向量处理用空间向量处理“垂直垂直”问题问题 空间中的角空间中的角角的分角的分类类向量求法向量求法范范围围异面直异面直线线所成的角所成的角设设两异面直两异面直线线所成的角所成的角为为，它，它们们的方的方向向量分向向量分别为别为a，b，则则cos _直直线线与平与平面所成的面所成的角角设设直直线线l与平面与平面所成的角所成的角为为，l的方向的方向向量向量为为a，平面，平面的法向量的法向量为为n，则则sin _二面角二面角设设二面角二面角l的平面角的平面角为为，平面，平面、的法向量的法向量为为n1，n2，则则|cos|_0，|cosa，b|2|cosa，n|cosn1，n2|题型一求异面直线的夹角题型一求异面直线的夹角 正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分分别别是是A1D1、A1C1的中点，求异面直的中点，求异面直线线AE与与CF所成角的余弦所成角的余弦值值【例例1】解解不妨设正方体棱长为不妨设正方体棱长为2，分别取，分别取DA、DC、DD1所在直线为所在直线为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，轴建立如图所示空间直角坐标系，则则规律方法规律方法 在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直法求解但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直线所成角的区别线所成角的区别 四棱四棱锥锥PABCD中，中，PD平面平面ABCD，PA与平面与平面ABCD所成的角所成的角为为60，在四，在四边边形形ABCD中，中，ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.(1)建立适当的坐建立适当的坐标标系，并写出点系，并写出点B、P的坐的坐标标；(2)求异面直求异面直线线PA与与BC所成的角的余弦所成的角的余弦值值【变式变式1】解解(1)如如图图，建立空，建立空间间直角坐直角坐标标系系ADCDAB90，AB4，CD1，AD2.A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)由由PD平面平面ABCD，得，得 思路探索思路探索 利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由坐标系，写出有关点的坐标求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取定义找出线面角，取A1B1的中点的中点M，连结，连结C1M，证明，证明C1AM是是AC1与平面与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平所成的角；另一种是利用平面面A1ABB1的法向量的法向量n(，x，y)求解求解题型二求线面角题型二求线面角【例例2】规律方法规律方法 用向量法求线面角的一般步骤是：先利用图形的用向量法求线面角的一般步骤是：先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先解线面角法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算求平面法向量与斜线夹角，再进行换算【变式变式2】(12分分)如如图图所示，正三棱柱所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱的所有棱长长都都为为2，D为为CC1的中的中点，求二面角点，求二面角AA1DB的余弦的余弦值值题型三二面角的求法题型三二面角的求法【例例3】规范解答规范解答如图所示，取如图所示，取BC中点中点O，连，连结结AO.因为因为ABC是正三角形，所以是正三角形，所以AOBC，因为在正三棱柱，因为在正三棱柱ABC A1B1C1中，平面中，平面ABC平面平面BCC1B1，所，所以以AO平面平面BCC1B1.【题后反思】【题后反思】几何法求二面角，往往需要作出其平面角，这几何法求二面角，往往需要作出其平面角，这是该方法的一大难点而用向量法求解二面角，无需作出二是该方法的一大难点而用向量法求解二面角，无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，转化为两直线面角的平面角，只需求出平面的法向量，转化为两直线(或两或两向量向量)所成的角，通过向量的数量积运算即可获解，体现了空所成的角，通过向量的数量积运算即可获解，体现了空间向量的巨大优越性间向量的巨大优越性【变式变式3】空空间间向量的具体向量的具体应应用主要体用主要体现为现为两种方法两种方法向量法向量法和坐和坐标标法法这这两种方法的思想都是利用空两种方法的思想都是利用空间间向量表示立体向量表示立体图图形中的点、形中的点、线线、面等元素，建立立体、面等元素，建立立体图图形和空形和空间间向量之向量之间间的的联联系，然后系，然后进进行空行空间间向量的运算，最后把运算向量的运算，最后把运算结结果回果回归归到几何到几何结论结论这样这样就把立体几何就把立体几何问题转问题转化化为为空空间间向量来向量来研究，体研究，体现现了化了化归归与与转转化思想化思想 方法技巧化归与转化思想解决立体几何问题方法技巧化归与转化思想解决立体几何问题(1)证证明：直明：直线线MN平面平面OCD；(2)求异面直求异面直线线AB与与MD所成角的大小所成角的大小思路分析思路分析 建系建系求相关点坐标求相关点坐标求相关向量坐标求相关向量坐标向量向量运算运算结论结论解解作作APCD于点于点P，分，分别别以以AB，AP，AO所在的直所在的直线为线为x，y，z轴轴建立空建立空间间直角坐直角坐标标系系Axyz，如，如图图所示，所示，【示示例例】