高三专题复习题——带电粒子在电磁场中的运动.doc

带电粒子在电磁场中的运动
目的：强化粒子在电磁场中运动的解题方法
课时：2
1．如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行．一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h，0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力．求：
(1)电场强度E的大小；
(2)粒子到达a点时速度的大小和方向；
(3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值．

· （1） 
（2） 
（3）
2．如图所示，坐标系xOy在竖直平面内，水平轨道AB和斜面BC均光滑    且绝缘，AB和BC的长度均为L，斜面BC与水平地面间的夹角θ=600ׁ，有一质量为m、电量为+q的带电小球（可看成质点）被放在A点。已知在第一象限分布着互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向上，场强大小，磁场为水平方向（图中垂直纸面向外），磁感应强度大小为B；在第二象限分布着沿x轴正向的水平匀强电场，场强大小。现将放在A点的带电小球由静止释放（运动过程中小球所带的电量不变），则
（1）小球到B点的速度大小？
（2）从A点开始，小球需经多少时间才能落到地面？

· 解：（1）设带电小球运动到B点时速度为vB则由功能关系：
解得：   ①2分
（2）设带电小球从A点运动到B点用时为t1，
       ②2分
当带电小球进入第二象限后所受电场力为
                    ③
所以带电小球做匀速圆周运动：             ④
则带电小球做匀速圆周运动的半径       ⑤
则其圆周运动的圆心为如图所示的点，

假设小球直接落在水平面上的点，则

重合，小球正好打在C点。
所以带电小球从B点运动到C点运动时间               ⑥
所以小球从A点出发到落地的过程中所用时间  ⑦6分

3．静止于A处的离子，经加速电场加速后沿图中圆弧虚线通过静电分析器，并从P点垂直CF进入矩形区域的有界匀强磁场．静电分析器通道内有均匀辐射分布的电场，已知圆弧虚线的半径为R，其所在处场强为E、方向如图所示；离子质量为m、电荷量为q；、，磁场方向垂直纸面向里；离子重力不计．
（1）求加速电场的电压U；
（2）若离子能最终打在QF上，求磁感应强度B的取值范围．

（1）
（2）<B<

4．如图甲所示，在以O为圆心，内外半径分别为R1和R2的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差U为常量，R1＝R0，R2＝3R0，一电荷量为＋q、质量为m的粒子从内圆上的A点进入该区域，不计重力．
(1)已知粒子从外圆上以速度v1射出，求粒子在A点的初速度v0的大小．
(2)若撤去电场，如图乙所示，已知粒子从OA延长线与外圆的交点C以速度v2射出，方向与OA延长线成45°角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间．
(3) 在图乙中，若粒子从A点进入磁场，速度大小为v3，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？

· （1）电、磁场都存在时，只有电场力对带电粒子做功，由动能定理
qU＝mv－mv                        ①
得v0＝                       ②
（2）由牛顿第二定律
qBv2＝                              ③
如图所示，由几何关系确定粒子运动轨迹的圆心O′和半径R
R2＋R2＝(R2－R1)2                       ④
联立③④，得磁感应强度大小
B＝                              ⑤
粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
T＝                                 ⑥
由几何关系确定粒子在磁场中运动的时间
t＝                                    ⑦
联立④⑥⑦式，得
t＝                                ⑧
（3）如图所示，为使粒子射出，则粒子在磁场内的运动半径应大于过A点的最大内切圆半径，该半径为
Rc＝                               ⑨
由③⑨得磁感应强度应小于
Bc＝                                 ⑩

·

（变式一）5．如图所示，在坐标系xoy的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方向垂直于xoy面向里；第四象限内有沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E. 一质量为、带电量为的粒子自y轴的P点沿x轴正方向射入第四象限，经x轴上的Q点进入第一象限，随即撤去电场，以后仅保留磁场。已知OP=d,OQ=2d,不计粒子重力。
（1）求粒子过Q点时速度的大小和方向。
（2）若磁感应强度的大小为一定值B0，粒子将以垂直y轴的方向进入第二象限，求B0；
（3）若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过Q点，且速度与第一次过Q点时相同，求该粒子相邻两次经过Q点所用的时间。

(1) 与x轴正方向夹角450
(2)

(3)

（变式二）6．如图所示，竖直平面（纸面）内有直角坐标系xOy，x轴沿水平方向。在x≤O的区域内存在方向垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B1的匀强磁场。在第二象限紧贴y轴固定放置长为l、表面粗糙的不带电绝缘平板，平板平行于x轴且与x轴相距h。在第一象限内的某区域存在方向相互垂直的匀强磁场（磁感应强度大小为B2、方向垂直于纸面向外）和匀强电场（图中未画出）。一质量为m、不带电的小球Q从平板下侧A点沿x轴正向抛出；另一质量也为m、带电量为q的小球P从A点紧贴平板沿x轴正向运动，变为匀速运动后从y轴上的D点进入电磁场区域做匀速圆周运动，经圆周离开电磁场区域，沿y轴负方向运动，然后从x轴上的K点进入第四象限。小球P、Q相遇在第四象限的某一点，且竖直方向速度相同。设运动过程中小球P电量不变，小球P和Q始终在纸面内运动且均看作质点，重力加速度为g。求：
(1)匀强电场的场强大小，并判断P球所带电荷的正负；
(2)小球Q的抛出速度v0的取值范围；
(3)B1是B2的多少倍？

· 解：（1）由题给条件，小球P在电磁场区域内做圆周运动，必有重力与电场力平衡，设所求场强大小为E，有
    ①
得     ②
小球P在平板下侧紧贴平板运动，其所受洛伦兹力必竖直向上，故小球P带正电。
（2）设小球P紧贴平板匀速运动的速度为v，此时洛伦兹力与重力平衡，有
    ③
设小球P以速度v在电磁场区域内做圆周运动的半径为R，有
   ④
设小球Q与小球P在第四象限相遇点的坐标为x、y，有
，   ⑤
小球Q运动到相遇点所需时间为，水平方向位移为s，竖直方向位移为d，有
    ⑥
   ⑦
由题意得，  ⑧
联立相关方程，由题意可知v0＞0,得
0＜v0≤   ⑨
（3）小球Q在空间做平抛运动，要满足题设要求，则运动到小球P穿出电磁场区域的同一水平高度时的W点时，其竖直速度与竖直位移必须满足，
设小球Q运动到W点时间为t，由平抛运动，有
，
联立相关方程，解得
，即B1是B2的0.5倍。

7．如图所示，直线MN上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，质量为m、电荷量为-q（q＞0）的粒子1在纸面内以速度从O点射入磁场，其方向与MN的夹角α=30°；质量为m、电荷量为+q的粒子2在纸面内以速度也从O点射入磁场，其方向与MN的夹角β=60°角。已知粒子1、2同时到达磁场边界的A、B两点（图中未画出），不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
（1）求两粒子在磁场边界上的穿出点A、B之间的距离d；
（2）求两粒子进入磁场的时间间隔；
（3）若MN下方有平行于纸面的匀强电场，且两粒子在电场中相遇，其中的粒子1做直线运动。求电场强度E的大小和方向。

8．如图甲，空间存在—范围足够大的垂直于xoy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。让质量为m，电量为q（q<0)的粒子从坐标原点O沿加xoy平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中。不计重力和粒子间的影响。
(1)若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x 轴上的A(a，0)点，求v1的大小：
(2)已知一粒子的初建度大小为v(v>v1)．为使该粒子能经过A(a，0)点，其入射角（粒子初速度与x轴正向的夹角）有几个？并求出对应的sin值：
(3)如图乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿x轴正向发射。研究表明：粒子在xoy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关。求该粒子运动过程中的最大速度值vm。

· [解析]（1）带电粒子以速率v在匀强磁场B中做匀速圆周运动，半径为R，有
  ①
当例子沿y轴正向入射，转过半个圆周至A点，该圆周半径为R1，有
    ②
由②代入①式得    ③

（2）如图O、A两点处于同一个圆周上，且圆心在的直线上，半径为R。当给定一个初速率v时，有2个入射角，分别在第1、2象限，有
  ④
由①④式解得  ⑤

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