复变函数习题一答案MicrosoftWord文档.doc

(word完整版)复变函数习题一答案MicrosoftWord文档
习题一

1。 用复数的代数形式a+ib表示下列复数
.

①解：
②解：
③解：
④解:

2.求下列各复数的实部和虚部（z=x+iy)
R）；

①解： ∵设z=x+iy
则
∴， ．
②解： 设z=x+iy
∵
∴, ．
③解： ∵

∴， ．
④解： ∵

∴， ．
⑤解： ∵．
∴当时，，；
当时，，．

3.求下列复数的模和共轭复数

①解：．

②解：
③解:．

④解:

4、证明：当且仅当时,z才是实数．
证明：若,设，
则有　，从而有，即y=0
∴z=x为实数．
若z=x,x∈¡，则．
∴．
命题成立．
5、设z,w∈£，证明：
证明：∵

∴．
6、设z，w∈£,证明下列不等式．

并给出最后一个等式的几何解释．
证明：在上面第五题的证明已经证明了．
下面证．
∵
．从而得证．
∴
几何意义:平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．

7.将下列复数表示为指数形式或三角形式

①解：
　其中．
②解：其中．

③解：
④解:。
∴
⑤解：
解：∵．
∴

8.计算：（1）i的三次根；（2）—1的三次根;（3） 的平方根.
⑴i的三次根．
解：
∴．　

⑵—1的三次根
解：
∴

⑶的平方根．
解:
∴
∴
．

9。设。 证明：

证明：∵　∴，即．
∴
又∵n≥2． ∴z≠1
从而

11.设是圆周令
，
其中.求出在a切于圆周的关于的充分必要条件。

解：如图所示．

因为={z: =0}表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA⊥．过C作直线平行,则有∠BCD=β,∠ACB=90°
故α—β=90°
所以在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α—β=90°．

12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.

解：
(1)、argz=π．表示负实轴．

(2)、｜z-1|=|z｜．表示直线z=．

(3)、1〈|z+i|〈2
解:表示以—i为圆心,以1和2为半径的周圆所组成的圆环域.

(4）、Re(z)>Imz．
解：表示直线y=x的右下半平面

5、Imz>1，且|z|<2．
解：表示圆盘内的一弓形域.

所以当y→∞时有｜cosz|→∞．