函数恒成立问题(端点效应).doc
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1、(word完整版)函数恒成立问题(端点效应)函数恒成立专题01:可求最值型基础知识:(1)不等式在定义域内恒成立,等价于;(2)不等式在定义域内恒成立,等价于。【例1】【重庆文】若对任意的,恒成立,求的取值范围。【例2】函数在区间上恒有,求可以取到的最大整数。【变式1】函数,若恒成立,求的取值范围.【变式2】【2012新课标文】设函数 求的单调区间; 若,为整数,且当时,,求的最大值.【变式3】【2012新课标理】已知函数满足 求的解析式及单调区间; 若,求的值。专题02:分离变量型基础知识:分离变量的核心思想就是为了简化解题,希望同学通过以下例子有所感悟【例1】【2010天津】函数,对任意
2、恒成立,求实数的取值范围。【变式1】【2010安徽】若不等式对一切恒成立,求的取值范围。【例2】若函数在上单调递增,求的取值范围.【变式2】【2012湖北】若在上是减函数,求的取值范围.【变式3】【2014江西】已知函数,若在区间上单调递增,求的取值范围。专题03:端点与一次函数、二次函数基础知识:(1)研究发现,恒成立与区间的端点有很深的渊源。首先来看一些恒成立的问题,通过这些常见的例子,我们要把函数恒成立问题与端点之间的这一层面纱一点一点揭开。 (2)一次函数的恒成立很简单,如果一个问题能转化成一次函数恒成立问题,那就要尽量转化.【例1】【2009北京】若在上单调递增,求的取值范围。引申:
3、我们的习惯思维都是默认字母为函数的自变量,而像这样的字母代表参数,但其实这样的字母只是一个代号而已,是人为赋予了其身份,这意味着自变量和参数的身份并非绝对,若题目需要求解参数的取值范围,在此需要牢记一点:将待求的变量视为参数,不要受惯性思维的限制而非要将视为函数的自变量,这个方法称为“变换主元法。【例2】【2009福建】已知函数的导函数为若对满足的一切的值,都有,求实数的取值范围.【例3】【2008天津】已知函数,若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围。【变式】【2008安徽】设函数,其中为实数。 已知函数在处取得极值,求的值; 已知对任意恒成立,求实数的取值范围。(3)对于一次函数或任
4、何单调函数而言,最值必在端点处取得。若函数不单调,那情形又如何呢?设在上不单调且恒大于零,那么在上递减,在上递增,故的最大值也必然在端点处取得。所以对于任何一个函数而言,若他在区间上是先减后增,则其最大值必在端点处取得,同理,若函数在区间上先增后减,其最小值必在区间端点处取得,具体表达如下:在上非正,等价于在上非负,等价于【例1】已知函数在区间上单调递减,则的取值范围是_。【例2】函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是_。专题04:端点效应基础知识:从前面的例子可以看出,将函数恒正(恒负)等价于在区间端点处恒正(恒负)即可。但那只是针对一小部分题,对于大多数情况来说这是不对的,但这不意味着端
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