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二次函数的图像与性质
一、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

2. 的性质：
上加下减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

3. 的性质：
左加右减。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

4. 的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质

向上

X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

二、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：

2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）

三、二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
四、二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
五、二次函数的性质
1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：（，，为常数，）；
2. 顶点式：（，，为常数，）；
3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

七、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．

⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
总结：
3. 常数项
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

八、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；
2. 关于轴对称
关于轴对称后，得到的解析式是；
关于轴对称后，得到的解析式是；

3. 关于原点对称
关于原点对称后，得到的解析式是；
关于原点对称后，得到的解析式是；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
关于顶点对称后，得到的解析式是；
关于顶点对称后，得到的解析式是．
5. 关于点对称
关于点对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

二次函数图像参考：

十一、

【例题精讲】
一、一元二次函数的图象的画法
【例1】求作函数的图象
【解】

以为中间值，取的一些值，列表如下：

…
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
…

…

0

-2

0

…
【例2】求作函数的图象。
【解】

　　　先画出图角在对称轴的右边部分，列表

-2
-1
0
1
2

7
6
5
4
3

【点评】画二次函数图象步骤：
(1)配方； (2)列表；
(3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。
二、一元二次函数性质
【例3】求函数的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。
【解】
由配方结果可知：顶点坐标为，对称轴为；
∴当时，
函数在区间上是减函数，在区间上是增函数。
【例4】求函数图象的顶点坐标、对称轴、最值。
，
∴函数图象的顶点坐标为，对称轴为
∴当时，函数取得最大值
函数在区间上是增函数，在区间上是减函数。
【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：
(1) 配方法；如例3
(2) 公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例4，可避免出错。
任何一个函数都可配方成如下形式：
【二次函数题型总结】
1.关于二次函数的概念
例1 如果函数是二次函数，那么m的值为 。

例2 抛物线的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。

-1
O
X=1
Y
X

2.关于二次函数的性质及图象
例3 函数的图象如图所示，
则a、b、c，，，的符号
为 ，

例4 已知a－b＋c=0 9a＋3b＋c=0,则二次函数y=ax2＋bx＋c的图像的顶点可能在（ ）
（A） 第一或第二象限 （B）第三或第四象限 （C）第一或第四象限 （D）第二或第三象限

3
o
-1
3
y
x
3.确定二次函数的解析式
例5 已知：函数的图象如图：那么函数解析式为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
4.一次函数图像与二次函数图像综合考查
例6 已知一次函数y=ax+c二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是( ).

例7 如图：△ABC是边长为4的等边三角形，AB在X轴上，点C在第一象限，AC与Y轴交于点D，点A的坐标为（-1，0）（1）求 B、C、D三点的坐标；（2）抛物线经过B、C、D三点，求它的解析式；

【练习题】
一、选择题
1. 二次函数的顶点坐标是( )
A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3）
2. 把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B. C. D.
3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )

4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当和时,函数值相等;③④当时, 的值只能取0.其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个
5.已知二次函数的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（　　　）
Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3　
6. 已知二次函数的图象如图所示，则点在（　 ）
A．第一象限　　　B．第二象限
C．第三象限　　 D．第四象限
7.方程的正根的个数为（ ）
A.0个 B.1个 C.2个. 3 个
8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为
A. B.
C. 或 D. 或

二、填空题
9．二次函数的对称轴是，则_______。
10．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_______.

11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当＜0时，函数值随自变量的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。
12．抛物线的顶点为C，已知直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。
13. 二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。
14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是　　 (π取3.14).　　　　

三、解答题：
第15题图
15.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当x为何值时,这个函数的函数值为0?
(3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大?

16.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式 （0<t≤2），其中重力加速度g以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升，
（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？
（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.

17.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与轴的另一个交点为C，抛物线顶点为D.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使：5 ：4的点P的坐标。

一，选择题、
1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C

二、填空题、
9． 10．＜-3 11．如等（答案不唯一） 12．1 13．-8 7 14．15

三、解答题
15．(1)设抛物线的解析式为,由题意可得

解得 所以

(2)或-5 (2)

16．（1）由已知得，，解得当时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃后1秒离地15米．（2）由题意得，＝，可知顶点的横坐标，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升．

17．（1）直线与坐标轴的交点A（3，0），B（0，－3）．则解得
所以此抛物线解析式为．（2）抛物线的顶点D（1，－4），与轴的另一个交点C（－1，0）.设P，则.化简得
当＞0时，得 ∴P（4，5）或P（－2，5）
当＜0时，即，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（－2，5）．

目 录

第一章 总论 1
1.1项目提要 1
1.2结论与建议 3
1.3 编制依据 4
第二章 项目建设背景与必要性 5
2.1项目背景 5
2.2 项目建设必要性 7
第三章 市场与需求预测 8
3.1 优质粮食供求形势分析 8
3.2 本区域市场需求预测 8
3.3 服务功能 10
3.4 市场竞争力和市场风险预测与对策 10
第四章 项目承担单位情况 12
4.1 基本情况 12
4.2 主要业务范围和业务能力 12
4.3 人员构成 12
4.4 主要技术成果获奖情况及转化能力 13
4.5 现有基础和技术条件 15
4.6 资产与财务状况 16
4.7 项目技术协作单位情况 16
第五章 建设规模与产品方案 17
5.1建设规模确定的原则和依据 17
5.2建设规模及服务种类 18
第六章 项目选址与建设条件 19
6.1 项目选址原则与要求 19
6.2 项目建设用地情况 19
6.3项目用地位置 20
6.4自然与资源条件 20
6.5水资源优势 21
6.6 社会经济条件 22
6.7 粮田基本情况 22
6.8项目实施的有利条件 26
6.9 对环境的影响 26
第七章 工艺技术方案和设备选型 27
7.1 工艺技术方案 27
7.2 设备选型 29
第八章 项目建设方案与建设内容 32
8.1 项目建设方案 32
8.2 项目建设内容与规模 34
第九章 环境保护与安全生产 36
9.1 环境保护 36
9.2 安全生产 36
第十章 组织管理与实施进度 38
10.1 项目组织管理 38
10.2 项目实施各阶段的管理方案 39
10.3 工程招投标方案 39
10.4 项目建成后的运行管理与机制 40
10.5 运行经费解决方案 41
10.6 实施进度 41
第十一章 投资估算与资金来源 44
11.1 投资估算 44
11.2资金来源 45
第十二章 效益分析 46
12.1 经济效益 46
12.2 社会效益 47
12.3 生态效益 47
第十三章 结论与建议 48
13.1 综合评价 48
13.2 结论意见 48
13.3 问题与建议 48