二次函数综合题型分类训练.doc

(完整版)二次函数综合题型分类训练
专题一   二次函数之面积、周长最值问题 
1、如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C，且OA=2,OC=3． (1)求抛物线的解析式。 
（2)若点D（2,2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

2、如图，已知抛物线y=－x2+bx+c与一直线相交于A（－1,0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． 
（1）抛物线及直线AC的函数关系式； 
(2）设点M在对称轴上一点，求使MN+MD的值最小时的M的坐标； 
(3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值．

3、如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点,直线BD交抛物线于点D，并且D(2，3），tan∠DBA=． 
(1）求抛物线的解析式； 
(2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A,求四边形BMCA面积的最大值；

4、 如图,在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A,B，C三点的抛物线上． 
（1）求抛物线的解析式； 
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由; 
（3)过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时,求出点P的坐标．

5、 如图12，已知二次函数的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，与y轴相交于点C,且OC2=OA·OB． 
（1）求c的值; 
（2）若△ABC的面积为3,求该二次函数的解析式；     
(3)设D是（2）中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P使△PBD的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在，请说明理由．

6、如图,在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0),连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB。 
（1）求点B的坐标； 
(2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式; 
(3)在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标;若不存在，请说明理由. 
（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.

专题二  二次函数之等腰三角形问题
1、如图，抛物线y=ax2-5ax+4经过ABC△的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上， 点C在y轴上,且AC=BC．（1)求抛物线的对称轴； 
(2)写出A、B、C三点的坐标并求抛物线的解析式； 
（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB是等腰三角形．若存在, 求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

2、如图，已知抛物线与x轴交于A（—1,0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1)求抛物线的解析式； 
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形?若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由; 
（3）点M是抛物线上一点，以B,C,D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．

3、 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧),与y轴相交于点C． 
（1） 若m=2，n=1,求A、B两点的坐标； 
（2） 若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0,﹣1)，求∠ACB的大小； 
（3） 若m=2，△ABC是等腰三角形,求n的值．

4、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0）,与y轴的交点为B(0,3），其顶点为C，对称轴为x=1． （1）求抛物线的解析式； 
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标； 
（3)将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形,将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．

5、 如图，已知抛物线经过A(1，0），B（0,3)两点，对称轴是x=﹣1． 
(1)求抛物线对应的函数关系式； 
(2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动,同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． 
①当t为何值时,四边形OMPQ为矩形； 
②△AON能否为等腰三角形?若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

6、如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,若已知A点的坐标为A（﹣2，0)． 
(1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程； 
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式； 
（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由; 
（4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若不存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

7、已知Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系内，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB)，直角顶点在y轴正半轴上。如图1 （1）求线段OA，OB的长和经过点A,B的抛物线的解析式； 
（2）如图2,点D的坐标为（2，0），点P(m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0）,连接DP交BC于点E. 
①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标; 
②连接CD，CP，如图3，△CDP是否有最大面积?若有，求出它的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由。

专题三   二次函数之面积问题 
1、 如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）． 
（1）求正比例函数和反比例函数的解析式； 
（2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6,m)，求m的值和这个一次函数的解析式； 
(3)第（2)问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式; 
(4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E,使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：3S1＝2S？若存在,求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

2、阅读材料： 
    如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，
外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a)，中间的这条直线在
△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h）”。我们可得出一种计算三角形面积的新方法:，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。  解答下列问题: 如图，抛物线顶点坐标为点C(1,4)，交x轴于点A（3,0)，交y轴于点B. (1)求抛物线和直线AB的解析式； 
（2)点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点,连结PA，PB，当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及S△CAB； 
 (3)是否存在一点P，使 ，若存在，求出P点的坐标;若不存在，请说明理由.

专题四 二次函数之相似三角形问题
1、 如图，已知抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过A（-1，0),B（4,0）,C（0，2）三点。
（1） 求这条抛物线的解析式；
（2） E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在,试求出E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3） 若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D,链接BD，试求出∠BDA的度数。

2、如图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处.已知折叠，且.
(1）判断与是否相似？请说明理由;
（2)求直线CE与x轴交点P的坐标；
（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线;如果不存在,请说明理由。

3、如图，直线y=－x+3与x轴、y轴分别相交于B、C,经过B、C两点的抛物线y=ax2
+bx+c与x轴另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2, 
（1）求抛物线解析式； 
（2）连结AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ACB相似,若存在，请求出Q点坐标；若不存在，说明理由. 
（3)D点为第四象限的抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴,交CB于E，垂足于H,过D作DF⊥CB,垂足为F，交x轴于G，试问是否存在这样的点D,使得△DEF的周长恰好被x轴平分?若能，请求出D点坐标；若不能，请说明理由。 

专题五 二次函数之四边形问题
1、 如图，对称轴为直线的抛物线经过点 A（6，0）和B（0,4）． 
(1）求抛物线解析式及顶点坐标; 
(2)设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围； 
     ①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？ 
     ②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形?若存在，求出点E
的坐标；若不存在，请说明理由．

2、如图,已知与x轴交于点（1，0）A，和(5，0）B，的抛物线的顶点为C(3,4)，抛物线与关于x轴对称，顶点为． 
（1）求抛物线的函数关系式； 
（2）已知原点O，定点D(0，4)，上的点P与上的点始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点为顶点的四边形是平行四边形？ 
(3）在上是否存在点M，使ABM△是以AB为斜边且一个角为30°的直角三角形？若存,
求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

3、 如图在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=(x—m）2-m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连接AB，AC⊥AB，交y轴于点C,延长CA到点D，使AD=AC，连接BD，做AE∥x轴,DE∥y轴，
（1）当m=2时，求点B的坐标；
（2）求DE的长?
（3）①设点D的坐标为(x，y),求y关于x的函数关系式？
②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一交点为P，当m为何值时，以A,B,D，P为顶点的四边形是平行四边形?

4、如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（x1，0)、B(x2，0）两点，与y轴交于C点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB．已知x1、x2恰是方程x2-2x—3=0的两根,且sin∠OBC＝
（1）求该抛物线的解析式;（y=－x2＋2x＋3 ）
（2）抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等,若存在，求点Q的坐标;若不存在，说明理由； 
(3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R,使△RPM与△RMB的面积相等,若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

5、已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（x1，0）、B（-1，0)且x1＞0，AO2+BO2=10，抛物线交y轴于点C，点D为抛物线的顶点． 
（1） 求抛物线的解析式; 
（2）证明△ADC是直角三角形； 
（3）第一象限内,在抛物线上是否存在一点E，使∠ECO=∠ACB？若存在，求出点E的坐标．

6、如图，已知：直线y=—x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C(1，0)三点. 
(1）求抛物线的解析式; 
（2）若点D的坐标为（—1，0），在直线y=—x+3上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似,求出点P的坐标; 
（3） 在（2)的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标;如果不存在，请说明理由．

7、如图,抛物线y=-x2-2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点。 
(1)求A、B、C的坐标； 
（2)点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N。若点P在点Q左边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积； 
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）。若FC=DQ，求点F的坐标。