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(完整版)特殊四边形中常添加的辅助线
特殊四边形---作辅助线
添加辅助线解特殊四边形
特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.
知识点一：平行四边形有关的辅助线作法
平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：
（1）连对角线或平移对角线：
(2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形
（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
(4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
(5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1 、 如图1,在平行四边形中，点在对角线上，且，请你以为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）
⑴连结 ⑵
⑶证明:连结,设交于点O
∵四边形为平行四边形 ∴
∵ ∴ 即
∴四边形为平行四边形 ∴
第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例2、如图2，在平行四边形中,对角线和相交于点O，如果,，，那么的取值范围是( ）
A B C D
解：将线段沿方向平移，使得,，则有四边形为平行四边形，∵在中， ,,
∴，即 解得 故选A
第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例3、已知：如图3,四边形为平行四边形
求证:
证明：过分别作于点，的延长线于点F
∴

则
∵四边形为平行四边形 ∴∥且,
∴ ∵ ∴ ∴ ∴
第四类:延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
例4:已知：如图4,在正方形中，分别是、的中点，与交于点，求证：
证明：延长交的延长线于点, ∵四边形为正方形
∴∥且，,
∴ 又∵， ∴≌
∴ ∵ ∴
∵ ∴≌ ∴ ∵
∴ ∴，则 ∴
第五类:延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形.
例5、如图5,在平行四边形中，点为边上任一点,请你在该图基础上，适当添加辅助线找出两对相似三角形。
解：延长与的延长线相交于,则有∽，
∽， ∽

第六类:把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线
例6、已知：如图6，在平行四边形中，,,
交于，求
解：连结交于点，连结
∵四边形为平行四边形 ∴
∵ ∴∥且 ∴
∵ ∴ ∴
∴ ∴
综上所述，平行四边形中常添加辅助线是:连对角线,平移对角线，延长一边中点与顶点连线等，这样可将平行四边形转化为三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等图形，为证明解决问题创造条件。
知识点二：和菱形有关的辅助线的作法
和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.
例7 、如图7，在△ABC中,∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形。
分析：要证明四边形CDEF是菱形，根据已知条件，本题有两种判定方法，一是证明四边相等的四边形是菱形，二是证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形。根据AD是∠BAC的平分线，AE=AC,可通过连接CE,构造等腰三角形,借助三线合一证明AD垂直CE. 求AD平分CE.
证明：连结CE交AD于点O，由AC=AE，得△ACE是等腰三角形,
因为AO平分∠CAE,所以AO⊥CE,且OC=OE,因为EF//CD，所以∠1=∠2，
又因为∠EOF=∠COD，所以△DOC可以看成由△FOE绕点O旋转而成,所以OF=OD，所以CE、DF互相垂直平分.所以四边形CDEF是菱形。

图7 图8
例8、 如图8,四边形ABCD是菱形,E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF的最小值等于DE长.
分析：要证明EF+BF的最小值是DE的长，可以通过连结菱形的对角线BD，借助菱形的对角线互相垂直平分得到DF=BF,然后结合三角形两边之和大于第三边解决问题。
证明：连结BD、DF。因为AC、BD是菱形的对角线，所以AC垂直BD且平分BD，
所以BF=DF，所以EF+BF=EF+DF≥DE，
当且仅当F运动到DE与AC的交点G处时，上式等号成立，所以EF+BF的最小值恰好等于DE的长。
综上所述，菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：
（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.
知识点三:与矩形有辅助线作法
和矩形有关的题型一般有两种:（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题;（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题。和矩形有关的试题的辅助线的作法较少。
例9、如图9,已知矩形ABCD内一点,PA=3，PB=4,PC=5.求 PD的长.
分析：要利用已知条件，因为矩形ABCD，可过P分别作两组对边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决问题.
解：过点P分别作两组对边的平行线EF、GH交AB于E,交CD于F,交BC于点H，交AD于G。因为四边形ABCD是矩形，
所以PF2=CH2=PC2-PH2,DF2=AE2=AP2—EP2，PH2+PE2=BP2，
所以PD2=PC2-PH2+AP2—EP2=PC2+AP2—PB2=52+32-42=18，所以PD=3。
图9 图10
说明:本题主要是借助矩形的四个角都是直角,通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD与PA、PB、PC之间的关系，进而求到PD的长。
知识点四：与正方形有关辅助线的作法
正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.
例10、如图10，过正方形ABCD的顶点B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求证：∠BCF=∠AEB。
分析：由BE//AC,CF//AE，AE=AC，可知四边形AEFC是菱形，作AH⊥BE于H，根据正方形的性质可知四边形AHBO是正方形，从AH=OB=AC，可算出∠E=∠ACF=30°，∠BCF=15°。
证明：连接BD交AC于O，作AH⊥BE交BE于H.
在正方形ABCD中，AC⊥BD，AO=BO，又BE//AC，AH⊥BE,所以BO⊥AC,
所以四边形AOBH为正方形，所以AH=AO=AC，因为AE=AC，所以∠AEH=30°，因为BE//AC，AE//CF，所以ACFE是菱形，所以∠AEF=∠ACF=30°,因为AC是正方形的对角线，所以∠ACB=45°，所以∠BCF=15°，所以∠BCF=∠AEB.
说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质,又涉及到菱形的性质。通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决题。
知识点五：与梯形有关的辅助线的作法
和梯形有关的辅助线的作法是较多的。主要涉及以下几种类型:
（1）作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形;(2）作梯形的高，构造矩形和直角三角形；(3）作一对角线的平行线，构造直角三角形和平行四边形;（4） 延长两腰构成三角形；（5）作两腰的平行线等。
例11 、已知如图11，在梯形ABCD中,AD//BC，AB=AC,∠BAC=90°，BD=BC,BD交AC于点0.求证：CO=CD。
分析:要证明CO=CD,可证明∠COD=∠CDO,由于已知∠BAC=90°，所以可通过作梯形高构造矩形,借助直角三角形的性质解决问题。
证明：过点A、D分别作AE⊥BC,DF⊥BC，垂足分别是E、F,则四边形AEFD为矩形，因为AE=DF,AB=AC，AE⊥BC，∠BAC=90°，
所以AE=BE=CE=BC,∠ACB=45°，所以AE=DF=，
又DF⊥BC,所以在Rt△DFB中，∠DBC=30°，
又BD=BC，所以∠BDC=∠BCD=,
所以∠DOC=∠DBC+∠ACB=30°+45°=75°。所以∠BDC=∠DOC，所以C0=CD.

图11 图12
说明：在证明线段相等时，一般利用等角对等边来证明，本题作梯形的高将梯形转化为矩形和直角三角形，进而根据直角三角形知识解决.
例12 、如图12，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E.求DE的长.
分析：根据本题的已知条件，可通过平移一条对角线，把梯形转化为平行四边形和直角三角形，借助勾股定理解决.
解:过点D作DF//AC,交BC的延长线于F，则四边形ACFD为平行四边形,所以AC=DF,AD=CF，因为四边形ABCD为等腰梯形,所以AC=DB, BD=FD，因为DE⊥BC,所以BE=EF=BF=(BC+CF)=(BC+AD) =×10=5。
因为AC//DF，BD⊥AC,所以BD⊥DF，
因为BE=FE，所以DE=BE=EF=5,即DE的长为5.
说明：当有对角线或垂直成梯形时，常作梯形对角线的平行线,构造平行四边形，等腰三角形或直角三角形来解决。
知识点六：和中位线有关辅助线的作法
例13、 如图13,在四边形ABCD中,AC于BD交于点0，AC=BD，E、F分别是AB、CD中点，EF分别交AC、BD于点H、G。求证:OG=OH.
分析：欲证0G=OH,而OG、OH为同一个三角形的两边，又E、F分别是AB、CD中点，所以可试想作辅助线，构造三角形中位线解决问题.
证明：取AD中点P,连结PE,PF。因为E是AB的中点，F是CD的中点，所以PE//BD，且PE=BD,PF//AC,且PF=AC，
所以∠PEF=∠PFE，又∠PEF=∠OGH，∠PFE=∠OHG，所以∠OGH=∠OHG,
所以OG=OH。

图13
说明：遇中点，常作中位线，借助中位线的性质解题.
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