复数的三角形式.doc
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1、(word完整版)复数的三角形式复数的三角形式1、复数的三角形式(1)复数的幅角:设复数Z=abi对应向量,以x轴的正半轴为始边,向量所在的射线(起点为O)为终边的角,叫做复数Z的辐角,记作ArgZ,其中适合02的辐角的值,叫做辐角的主值,记作argZ说明:不等于零的复数Z的辐角有无限多个值,这些值中的任意两个相差2的整数倍(2)复数的三角形式:r(cosisin)叫做复数Z=abi的三角形式,其中说明:任何一个复数Z=abi均可表示成r(cosisin)的形式其中r为Z的模,为Z的一个辐角2、复数的三角形式的运算:设Z=r(cosisin),Z1=r1(cos1isin1),Z2=r2(co
2、s2isin2)则3、应用例1求下列复数的模和辐角主值(1) (2)解:(1) 又=1,点(1,1)在第一象限。所以(2)有,点()在第四象限,所以想一想:怎样求复数的辐角?想一想:复数的三角形式有哪些特征?下列各式是复数的三角形式吗?(1) (2)(3)例2 把下列复数转化为三角形式(1)-1;(2); (3) 解:(1)=1,辐角主值为=,所以1=(2) 辐角主值为=,所以=(3),由和点在第四象限,得,所以=总结:复数的代数形式化为复数的三角形式一般方法步骤是:求复数的模:;由及点所在象限求出复数的一个辐角(一般情况下,只须求出复数的辐角主值即可);写出复数的三角形式。例3求复数Z=1+
3、cos+isin(2)的模与辐角主值. 分析:式子中多个“1”,只有将“1”消去,才能更接近三角形式,因此可利用三角公式消“1”. 解:Z=1+cos+isin=1+(2cos21)+2isincos=2cos(cos+isin).。.。.(1) 2 ,cos0(1)式右端=-2cos(cosisin)=2coscos(+)+isin(+) r=2cos, ArgZ=+2k(kZ) +2,argZ=+。 例4将Z=(3)化为三角形式,并求其辐角主值。 分析:三角形中只有正余弦,因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化,再向三角形式转化。 解:=cos2+isin2 3, 26, 24
4、2, argZ=24 例5若Zc,Z-21,求|的最大,最小值和argZ范围. 解:法一,数形结合 由Z-21,知的轨迹为复平面上以(2,0)为圆心,1为半径的圆面(包括圆周),Z表示圆面上任一点到原点的距离. 显然1Z|3, Zmax=3, |Zmin=1, 另设圆的两条切线为OA,OB,A,B为切点,由|CA|=1,OC|=2知 AOC=BOC=,argZ0,,2) 法二:用代数形式求解|Z的最大,最小值,设Z=x+yi(x,yR) 则由|Z21得(x-2)2+y21, Z=, (x-2)2+y21, (x-2)21, 1x21, 1x3, 14x-39, 1|Z|3。 例6求3-4i的平
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