第十七章-反比例函数教案全章.doc

(完整版)第十七章 反比例函数教案全章
第十七章 反比例函数
17．1．1反比例函数的意义
一、教学目标
1．使学生理解并掌握反比例函数的概念
2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式
3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想
二、重、难点
1．重点:理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式
2．难点:理解反比例函数的概念
3．难点的突破方法：
(1）在引入反比例函数的概念时，可适当复习一下第11章的正比例函数、一次函数等相关知识，这样以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的理解
(2）注意引导学生对反比例函数概念的理解，看形式，等号左边是函数y，等号右边是一个分式，自变量x在分母上,且x的指数是1,分子是不为0的常数k；看自变量x的取值范围，由于x在分母上，故取x≠0的一切实数;看函数y的取值范围，因为k≠0，且x≠0,所以函数值y也不可能为0。讲解时可对照正比例函数y＝kx（k≠0），比较二者解析式的相同点和不同点。
（3)（k≠0)还可以写成(k≠0）或xy＝k（k≠0）的形式
三、课堂引入
1．回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们的一般形式是怎样的？
2．体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？
四、例习题分析
例1．见教材P47
分析：因为y是x的反比例函数,所以先设，再把x＝2和y＝6代入上式求出常数k，即利用了待定系数法确定函数解析式。
例1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数
（1） （2） （3）xy＝21 （4） (5）
(6） （7)y＝x－4
分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成（k为常数，k≠0）的形式，这里（1）、（7）是整式，(4）的分母不是只单独含x，（6）改写后是，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式
例2．(补充)当m取什么值时,函数是反比例函数?
分析：反比例函数(k≠0)的另一种表达式是(k≠0),后一种写法中x的次数是－1，因此m的取值必须满足两个条件，即m－2≠0且3－m2＝－1，特别注意不要遗漏k≠0这一条件，也要防止出现3－m2＝1的错误。
解得m＝－2

例3．（补充）已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5
（1） 求y与x的函数关系式
（2） 当x＝－2时，求函数y的值
分析：此题函数y是由y1和y2两个函数组成的,要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y1、 y2与x的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意y1与x和y2与x的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k,要用不同的字母表示。
略解：设y1＝k1x（k1≠0），(k2≠0）,则，代入数值求得k1＝2，
k2＝2，则，当x＝－2时，y＝－5
五、随堂练习
1．苹果每千克x元，花10元钱可买y千克的苹果,则y与x之间的函数关系式为
2．若函数是反比例函数,则m的取值是
3．矩形的面积为4，一条边的长为x，另一条边的长为y，则y与x的函数解析式为
4．已知y与x成反比例，且当x＝－2时，y＝3，则y与x之间的函数关系式是 ，
当x＝－3时，y＝
5．函数中自变量x的取值范围是
六、课后练习
已知函数y＝y1＋y2，y1与x＋1成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝0；当x＝4时，y＝9,求当x＝－1时y的值
答案：y＝4

17．1．2反比例函数的图象和性质（1）
一、教学目标
1．会用描点法画反比例函数的图象
2．结合图象分析并掌握反比例函数的性质
3．体会函数的三种表示方法,领会数形结合的思想方法
二、重点、难点
1．重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质
2．难点：正确画出图象，通过观察、分析,归纳出反比例函数的性质
3．难点的突破方法：
画反比例函数图象前,应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤，即：列表、描点、连线，其中列表取值很关键。反比例函数（k≠0）自变量的取值范围是x≠0，所以取值时应对称式地选取正数和负数各一半，并且互为相反数，通常取的数值越多，画出的图象越精确。连线时要告诉学生用平滑的曲线连接,不能用折线连接。教学时，老师要带着学生一起画，注意引导，及时纠错。
在探究反比例函数的性质时,可结合正比例函数y＝kx（k≠0）的图象和性质，来帮助学生观察、分析及归纳，通过对比，能使学生更好地理解和掌握所学的内容.这里要强调一下，反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k的符号决定的；反之，双曲线的位置和函数性质也能推出k的符号，注意让学生体会数形结合的思想方法。
四、课堂引入
提出问题：
1．一次函数y＝kx＋b（k、b是常数，k≠0)的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数y＝kx（k≠0）呢？
2．画函数图象的方法是什么？其一般步骤有哪些？应注意什么？
3．反比例函数的图象是什么样呢？
五、例习题分析
例2．见教材P48，用描点法画图,注意强调:
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性,可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接,切忌画成折线
（4）由于x≠0,k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴
例1．(补充）已知反比例函数的图象在第二、四象限，求m值，并指出在每个象限内y随x的变化情况？
分析:此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即（k≠0）自变量x的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k＜0,则m－1＜0,不要忽视这个条件
略解：∵是反比例函数 ∴m2－3＝－1，且m－1≠0
又∵图象在第二、四象限 ∴m－1＜0
解得且m＜1 则
例2．（补充）如图，过反比例函数（x＞0）的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB,设△AOC和△BOD的面积分别是S1、S2，比较它们的大小,可得（ ）

（A）S1＞S2 （B)S1＝S2

(C）S1＜S2 （D）大小关系不能确定
分析：从反比例函数（k≠0）的图象上任一点P(x，y）向x轴、y轴作垂线段,与x轴、y轴所围成的矩形面积，由此可得S1＝S2 ＝ ，故选B
五、随堂练习
1．已知反比例函数,分别根据下列条件求出字母k的取值范围
（1）函数图象位于第一、三象限
(2)在第二象限内，y随x的增大而增大
2．函数y＝－ax＋a与(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是（ ）

3．在平面直角坐标系内，过反比例函数（k＞0）的图象上的一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为
七、课后练习
1．若函数与的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是
2．反比例函数,当x＝－2时，y＝ ；当x＜－2时；y的取值范围是 ；
当x＞－2时;y的取值范围是
3． 已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，
求函数关系式
答案:3．

17．1．2反比例函数的图象和性质（2）
一、教学目标
1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质
2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题
3．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法
二、重点、难点
1．重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题
2．难点：学会从图象上分析、解决问题
3．难点的突破方法:
在前一节的基础上，可适当增加一些较综合的题目，帮助学生熟练掌握反比例函数的图象和性质，要让学生学会如何通过函数图象分析解析式，或由函数解析式分析图象的方法，以便更好的理解数形结合的思想，最终能达到从“数”和“形"两方面去分析问题、解决问题。
三、课堂引入
复习上节课所学的内容
1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？
四、例习题分析
例3．见教材P51
分析:反比例函数的图象位置及y随x的变化情况取决于常数k的符号，因此要先求常数k，而题中已知图象经过点A（2，6），即表明把A点坐标代入解析式成立，所以用待定系数法能求出k,这样解析式也就确定了。
例4．见教材P52
例1．（补充)若点A（－2，a)、B（－1,b）、C（3，c）在反比例函数(k＜0）图象上,则a、b、c的大小关系怎样？
分析：由k＜0可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，因为A、B在第二象限，且－1＞－2，故b＞a＞0;又C在第四象限，则c＜0,所以
b＞a＞0＞c
说明：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则,笼统说k＜0时y随x的增大而增大，就会误认为3最大，则c最大,出现错误。
此题还可以画草图，比较a、b、c的大小，利用图象直观易懂，不易出错，应学会使用。
例2． （补充)如图， 一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于A(－2，1)、B（1,n）两点
（1）求反比例函数和一次函数的解析式
(2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围
分析：因为A点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数的解析式，又B点在反比例函数的图象上，代入即可求出n的值,最后再由A、B两点坐标求出一次函数解析式y＝－x－1，第（2）问根据图象可得x的取值范围x＜－2或0＜x＜1,这是因为比较两个不同函数的值的大小时,就是看这两个函数图象哪个在上方,哪个在下方。
五、随堂练习
1．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则函数的图象在( ）
(A）第一、三象限 （B)第二、四象限
(C）第三、四象限 （D）第一、二象限
2．已知点（－1,y1）、(2，y2)、（π,y3）在双曲线上,则下列关系式正确的是（ )
（A）y1＞y2＞y3 （B)y1＞y3＞y2
（C）y2＞y1＞y3 （D）y3＞y1＞y2
六、课后练习
1．已知反比例函数的图象在每个象限内函数值y随自变量x的增大而减小,且k的值还满足≥2k－1，若k为整数,求反比例函数的解析式
2．已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2 ,
求（1)一次函数的解析式;
（2）△AOB的面积
答案：
1．或或

2．(1）y＝－x＋2,（2)面积为6

17．2实际问题与反比例函数（1）
一、教学目标
1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力
二、重点、难点
1．重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式
3．难点的突破方法：
用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题,看看各变量间应满足什么样的关系式(包括已学过的基本公式）,这一步很重要;二是要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式,并注意自变量的取值范围;三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路.
三、课堂引入
寒假到了,小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。你能解释一下小明这样做的道理吗？
四、例习题分析
例1．见教材第57页
分析：(1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为104，底面积是S，深度为d，满足基本公式：圆柱的体积 ＝底面积×高,由题意知S是函数,d是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式，（2）问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，（3)问则是与（2）相反
例2．见教材第58页
分析：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量＝工作速度×工作时间，由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系，（2）问涉及了反比例函数的增减性,即当自变量t取最大值时,函数值v取最小值是多少?
例1．（补充）某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时，气球内气体的气压P(千帕)是气体体积V(立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位）
(1）写出这个函数的解析式；
(2)当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？
（3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
分析：题中已知变量P与V是反比例函数关系，并且图象经过点A，利用待定系数法可以求出P与V的解析式，得，（3)问中当P大于144千帕时，气球会爆炸，即当P不超过144千帕时,是安全范围。根据反比例函数的图象和性质，P随V的增大而减小,可先求出气压P＝144千帕时所对应的气体体积,再分析出最后结果是不小于立方米

五、随堂练习
1．京沈高速公路全长658km,汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京,则汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为
2．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务,试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式
3．一定质量的氧气,它的密度（kg/m3）是它的体积V(m3）的反比例函数,当V＝10时，＝1.43，（1）求与V的函数关系式;(2）求当V＝2时氧气的密度
答案:＝，当V＝2时，＝7.15

六、课后练习
1．小林家离工作单位的距离为3600米,他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）
（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？
（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
（2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位?
答案：，v＝240，t＝12
2．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0。6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天
(1）则y与x之间有怎样的函数关系？
(2）画函数图象
(3)若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天?

17．2实际问题与反比例函数（2）
一、教学目标
1．利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．渗透数形结合思想，进一步提高学生用函数观点解决问题的能力,体会和认识反比例函数这一数学模型
二、重点、难点
1．重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题
2．难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式，解决实际问题
3．难点的突破方法：
本节的两个例题与学生的日常生活联系紧密，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用,不但能巩固所学的知识，还能提高学生学习数学的兴趣。本节的教学，要引导学生从已有的生活经验出发,按照上一节所讲的基本思路去分析、解决实际问题，注意体会数形结合及转化的思想方法，要告诉学生充分利用函数图象的直观性，这对分析和解决实际问题很有帮助。
三、课堂引入
1．小明家新买了几桶墙面漆，准备重新粉刷墙壁,请问如何打开这些未开封的墙面漆桶呢?其原理是什么？
2．台灯的亮度、电风扇的转速都可以调节，你能说出其中的道理吗？
四、例习题分析
例3．见教材第58页
分析：题中已知阻力与阻力臂不变，即阻力与阻力臂的积为定值,由“杠杆定律”知变量动力与动力臂成反比关系，写出函数关系式，得到函数动力F是自变量动力臂的反比例函数,当＝1.5时，代入解析式中求F的值；（2）问要利用反比例函数的性质，越大F越小，先求出当F＝200时，其相应的值的大小,从而得出结果.

例4．见教材第59页
分析：根据物理公式PR＝U2，当电压U一定时，输出功率P是电阻R的反比例函数，则，（2）问中是已知自变量R的取值范围,即110≤R≤220，求函数P的取值范围，根据反比例函数的性质，电阻越大则功率越小，
得220≤P≤440

例1．（补充)为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x（分钟）成为正比例,药物燃烧后,y与x成反比例（如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克,请根据题中所提供的信息,解答下列问题：
(1)药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 ,自变量x的取值范为 ；
药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 .
（2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1。6毫克时员工方可进办公室,那么从消毒开始,至少需要经过______分钟后，员工才能回到办公室；
(3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么?
分析：（1）药物燃烧时,由图象可知函数y是x的正比例函数，设，将点（8，6）代人解析式，求得,自变量0＜x≤8；药物燃烧后，由图象看出y是x的反比例函数，设，用待定系数法求得
（2）燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后，药含量逐渐减少，因此，只能在燃烧后的某一时间进入办公室,先将药含量y＝1.6代入，求出x＝30，根据反比例函数的图象与性质知药含量y随时间x的增大而减小,求得时间至少要30分钟
（3)药物燃烧过程中，药含量逐渐增加，当y＝3时,代入中,得x＝4，即当药物燃烧4分钟时，药含量达到3毫克；药物燃烧后，药含量由最高6毫克逐渐减少，其间还能达到3毫克，所以当y＝3时，代入，得x＝16，持续时间为16－4＝12＞10,因此消毒有效
五、随堂练习
1．某厂现有800吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是（ )
（A）(x＞0) （B）（x≥0）
（C）y＝300x(x≥0） （D)y＝300x(x＞0）

2．已知甲、乙两地相s（千米)，汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量为a（升），那么从甲地到乙地汽车的总耗油量y(升）与汽车的行驶速度v（千米/时）的函数图象大致是（ ）

3．你吃过拉面吗?实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面,面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积）S(mm2）的反比例函数，其图象如图所示：
（1）写出y与S的函数关系式；
(2)求当面条粗1。6mm2时,面条的总长度是多少米？

七．课后练习
一场暴雨过后，一洼地存雨水20米3,如果将雨水全部排完需t分钟，排水量为a米3/分，且排水时间为5～10分钟
（1）试写出t与a的函数关系式，并指出a的取值范围；
（2)请画出函数图象
（3）根据图象回答：当排水量为3米3/分时，排水的时间需要多长?