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数量金融特异期权定价10.1 期权定价回顾期权定价回顾（参见：衍生产品定价（参见：衍生产品定价Lecture 6）2Assumptionsi.Trading takes place continuously in time.ii.The risk-free rate r is known and constant over time.iii.The asset pays no dividend.iv.There are no transaction costs in buying or selling the asset or the option,and no taxes.v.The assets are perfectly divisible.vi.There are no penalties for short selling and the full use of proceeds is permitted.vii.There are no arbitrage opportunities.viii.The asset price process is given by10.1 期权定价回顾期权定价回顾3考虑由价格为V(St,t)的衍生产品（支付记为payoff）和基本资产构成的如下投资组合:卖空一单位衍生产品+持有 单位基本资产此投资组合为无风险投资组合，回报率为 r。因此，我们得到Black-Scholes-Merton定价方程10.1 期权定价回顾期权定价回顾4Black-Scholes-Merton定价方程的解可以表示为其中E*.表示在风险中性世界中求期望。（可以使用二叉树或者三叉树模型近似计算）在风险中性世界中基本资产价格过程满足510.2 偏微分方程的有限差分解法偏微分方程的有限差分解法610.2 偏微分方程的有限差分解法偏微分方程的有限差分解法记号：710.2 偏微分方程的有限差分解法偏微分方程的有限差分解法各微分的近似计算Theta(误差O(t)Delta810.2 偏微分方程的有限差分解法偏微分方程的有限差分解法910.2 偏微分方程的有限差分解法偏微分方程的有限差分解法各微分的近似计算（继续）Delta(误差O(S2)Gamma(误差O(S2)1010.2 偏微分方程的有限差分解法偏微分方程的有限差分解法例子10.1：Theta=10;Delta=1.25;Gamma=0.25;1110.2 偏微分方程的有限差分解法偏微分方程的有限差分解法有限差分法偏微分方程改写为1210.2 偏微分方程的有限差分解法偏微分方程的有限差分解法1310.2 偏微分方程的有限差分解法偏微分方程的有限差分解法边界条件与终值条件Call option（为执行价格）Put option 1410.2 偏微分方程的有限差分解法偏微分方程的有限差分解法边界条件（继续）Most contractPayoff is at most linear in the underlying for large S1510.3 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟定价模拟风险中性世界中基本资产价格路径（从S0出发，以无风险回报率为漂移项的随机游走路径）；对此特定路径，计算衍生产品的payoff；模拟众多样本路径；计算衍生产品payoff的平均值；对平均值进行贴现；1610.3 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟几何布朗运动路径模拟Euler法：其中 为来自标准正态分布的样本。精确模拟：1710.3 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟1810.3 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟1910.3 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟衍生产品的风险控制如果相对未对冲的期权头寸的风险进行估计和衡量，我们应该使用期权payoff在风险中性世界中的分布，还是其在现实世界中的分布？2010.3 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟2110.3 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟对冲头寸Delta的计算 计算V(St+h,t)与V(Sth,t)时使用相同数据。2210.4 障碍期权的简介和静态对冲障碍期权的简介和静态对冲障碍期权（Barrier Option）Out option（触碰失效期权）当基本资产价格触碰某确定边界时，期权失效，payoff为0（或者payoff为R,称为Rebate）。In option（触碰生效期权）当基本资产价格触碰某确定边界时，期权生效，直到到期日。Up option（Down option）边界高于（或低于）初始资产价格。2310.4 障碍期权的简介和静态对冲障碍期权的简介和静态对冲2410.4 障碍期权的简介和静态对冲障碍期权的简介和静态对冲障碍期权的终值和边界条件up-and-out call optionup-and-in call option因此in+out=vanilla.2510.4 障碍期权的简介和静态对冲障碍期权的简介和静态对冲特异障碍期权提前执行重复触碰边界重置外部边界柔性边界Parisian期权2610.3 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟Up-and-out call2710.3 蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟Delta of Up-and-out call 2810.4 障碍期权的简介和静态对冲障碍期权的简介和静态对冲静态对冲（Static Hedge）利用平凡的看涨期权、看跌期权或者两值期权尽可能地模拟障碍期权的价值。例如：若对冲一个up-and-out call option的空头，可以选择持有相同到期期限和执行价格的欧式call option的多头。（如果触碰失效，则投资者剩余一个call option的多头）2910.4 障碍期权的简介和静态对冲障碍期权的简介和静态对冲静态对冲（继续）Down-and-in call option空头（执行价格 大于触碰边界 ）对冲策略：持有 单位到期期限相同，执行价格为 的put option（称为反射原则）。若未触碰边界，down-and-in call option和put option的价值均为零；若触碰边界生效，down-and-in call option的价值与相同执行价格的call option价值相等，则在边界处有 30第十一讲第十一讲行为金融学简介行为金融学简介11.1 理性与非理性.11.2 信念（Beliefs）.11.3 偏好：展望理论（Prospect Theory）.11.1 理性与非理性理性与非理性31理性人当接收到新信息时，采用贝叶斯准则更新其信念（Beliefs）。在给定信念下，理性人的选择与期望效用理论（Expected Utility Theory）相容。现实中的人是否是理性的？11.2 信念（信念（Beliefs）32过度自信（Overconfidence）对某些量的置信区间估计得过窄。对某些事件发生概率的估计过高，或者过低。11.2 信念（信念（Beliefs）33代表性（Representativeness）Kahneman and Tversky(1974):Linda is 31 years old,single,outspoken and very bright.She majored in philosophy.As a student,she was deeply concerned with issues of discrimination and social justice,and also participated in anti-nuclear Demonstrations.Which of“Linda is a bank teller”(statement A)and“Linda is a bank teller and is active in the feminist movement(statement B)”is more likely？11.2 信念（信念（Beliefs）34代表性（Representativeness）人们在决定A是否来源于B的概率时，往往通过观察A反映B的本质特征的程度的大小。Gamblers fallacy effect：If a fair coin generates five heads in a row,people will say that“tails are due.”11.2 信念（信念（Beliefs）35保守主义（Conservatism）Edwards(1968):There are two urns,one containing 3 blue balls and 7 red ones,and the other containing 7 blue balls and 3 red ones.A random draw of 12 balls,with replacement,from one of the urns yields 8 reds and 4 blues.What do you estimate the probability that the balls were drawn from urn A11.2 信念（信念（Beliefs）36可得性偏差（Availability biases）最近发生的事件，最有影响力的事件将较大程度的影响人们的估计。例如：估计在上海市被偷的可能性。若你的亲密朋友最近被偷了，你的估计将很大程度受此事件的影响。11.3 偏好：展望理论（偏好：展望理论（Prospect Theory）37展望理论中的效用Kahneman and Tversky(1979)支付(x,p;y,q)的效用为其中x 0是损失，y 0是获利。11.3 偏好：展望理论（偏好：展望理论（Prospect Theory）38v(.)You have given 1000.Now choose between A=(1000,0.5)and B=(500,1).You have given 2000.Now choose between C=(1000,0.5)and D=(500,1).人们衡量相对于某个参考点（reference point）的获利（gain）和损失（loss）而非期末财富水平本身。在面对获利时，人们为风险厌恶的；面对损失时，人们为风险喜好的。面对损失比面对获利有更大的敏感性（loss aversion）11.3 偏好：展望理论（偏好：展望理论（Prospect Theory）3911.3 偏好：展望理论（偏好：展望理论（Prospect Theory）40(.)Choose between A=(3000,1)and B=(4000,0.8;0,0.2).Choose between C=(4000,0.2;0,0.8)and D=(3000,0.25).11.3 偏好：展望理论（偏好：展望理论（Prospect Theory）41