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二次函数
1.二次函数的定义：
　　形如(a≠0，a，b，c为常数)的函数为二次函数.
2、 二次函数的解析式三种形式
一般式y=ax2 +bx+c(a≠0) 顶点式
两根式
3、 二次函数的性质：

y
x
O

对称轴：
顶点坐标：
与y轴交点坐标（0，c）

增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大
当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小

　 (1)二次函数y=ax2 (a≠0)的图象是一条抛物线，
　　 　 其顶点是原点，对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开
　　 　 口向下，顶点是最高点；
　　(2)二次函数
　　　 当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞-，y随x的增大而增大，x＜-，
　　　 y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点
　　(3)当a＞0时，当时，函数有最小值；当a＜0时，当 时，函数有最大值
　　　 .
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的各项系数a、b、c对其图象的影响
　　(1) a决定抛物线的开口方向和开口大小：a＞0，开口向上；a＜0，开口向下. |a|的越大，开口越小.
　　(2) a与b决定抛物线对称轴的位置：a、b同号，抛物线的对称轴(即直线)或顶点在y轴左侧；
　　　 a、b异号，抛物线的对称轴(即直线)或顶点在y轴右侧；(左同右异)；
b=0时，抛物线的对称轴是y轴.

(3) c决定抛物线与y轴交点(0，c)的位置：c＞0，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0，抛物线与y轴交于负
　　　 半轴；c=0，抛物线与y轴交点是坐标原点. c相同的抛物线都过点(0，c).这些内容应该能够由数得
　　　 形、依形判数.　

5.二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0（a≠0）的根。
抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0
>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；
=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；
<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点
6、图象的平移
（1）配方 ，确定顶点（h,k）
（2）对x轴 左加右减；对y轴 上加下减

7、二次函数图像画法：
勾画草图关键点：开口方向 对称轴 顶点 与x轴交点 与y轴交点

【典型例题】
一、选择题（每题5分，共30分）
1．二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图象一定过点( )
A.(-1,-1) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,1)
2．若直线y=ax+b(ab≠0)不过第三象限,则抛物线y=ax2+bx的顶点所在的象限是( )
A.一 B.二 C.三 D.四
3．函数y=ax2+bx+c中,若ac<0,则它的图象与x轴的位置关系为( )
A.无交点 B.有1个交点; C.有两个交点 D.不确定
4．抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,且过点(2,8),它的关系式为( )
A.y=2x2-2x-4; B.y=-2x2+2x-4; C.y=x2+x-2; D.y=2x2+2x-4

二次函数的概念
例1（基础）.二次函数的图像的顶点坐标是（ ）
A．（-1，8） B.（1，8） C（-1，2） D（1，-4）
例2.下列命题中正确的是
若b2－4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3
若b2－4ac=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。
当c=－5时，不论b为何值，抛物线y=ax2+bx+c一定过y轴上一定点。
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点，则方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根。
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点A、B，与y轴交于c点，c=4，S△ABC=6，则抛物线解析式为y=x2－5x+4。
若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。
若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0。
若a－b+c=2，则抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）必过一定点。（提醒：将x=1和x=-1代入）
若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx2+bx+a的图象与x轴必有两个交点。
若b=0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。
二次函数的性质
例3 若二次函数的图像开口向上，与x轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时时，对应的y1 与y2的大小关系是（ ）
A．y1 <y2 B. y1 =y2 C. y1 >y2 D.不确定

二次函数图像性质（共存问题、符号问题）
例5、函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

例6 已知=次函数y＝ax+bx+c的图象如图．则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a－2b+c， 中，其值大于0的个数为（ ）

A．2 B 3 C、0 D、1

填空题
1．若抛物线y=x2+(m-1)x+(m+3)顶点在y轴上,则m=_______.
2．把抛物线y=x2 向左平移三个单位, 再向下平移两个单位所得的关系式为________.
3．抛物线y=ax2+12x-19顶点横坐标是3,则a=____________.
4．若y=(a-1)是关于x的二次函数,则a=____________.
5．二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过点(-1,-1),则m=_________.

6．已知点(2,5),(4,5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两点, 则这条抛物线的对称轴是______.

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