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谈谈如何提高学生的高层次数学思维一、问题的提出一些研究认为：一些研究认为：中国学生善于解决问题，但不善于提出问题；中国学生善于解决问题，但不善于提出问题；中国学生善于解常规问题，不善于解非常规的数学问题；中国学生善于解常规问题，不善于解非常规的数学问题；中国学生缺少批评性思维和创新意识；中国学生缺少批评性思维和创新意识；中国学生既不会独立思考，又缺乏合作精神？中国学生既不会独立思考，又缺乏合作精神？你同意上述观点吗？你同意上述观点吗？（相关研究：Brenner,Herman,Ho,&Zimmer,1999;Cai,1995,1997,1998,2000;Gu,1997;Miura et al.,1988;Stevenson,Lee,Chen,&Lummis,1990;Stigler&Perry,1988;Wang,J and Lin,E.,2005）存在的问题存在的问题数学认知水平测试数学认知水平测试17年前后比较年前后比较（青浦实验“新世纪行动”研究小组，2008）研究聚焦如何提高学生的高层次数学认知能力？如何提高学生的高层次数学认知能力？4二、研究思路1.分析框架2.基本假设3.现状调查4.聚焦课堂5.实验设计51、分析框架 概念概念界定界定水平水平模型模型分类分类模型模型因素因素模型模型指标指标体系体系过程过程模型模型布卢姆认知领域教育目标分类动词层面动词层面新新版版（Anderson,et al,2001）事实知识事实知识（Factual Knowledge）概念知识概念知识（Conceptual Knowledge）程序知识程序知识（Procedual Knowledge）元认知知识元认知知识（Metacognitive Knowledge）知识维度知识维度(Knowledge Dimension）旧版旧版（Bloom,1956）名词层面名词层面评价评价（Evaluation）综合综合（Synthesis）分析分析（Analysis）应用应用（Application）了解了解（Comprehension）知识知识（Knowlodge）创造创造（Create）评价评价（Evaluate）分析分析（Analyze）应用应用（Apply）理解理解（Understand）记忆记忆（Remember）认知过程维度认知过程维度（Cognitive process Dimension）7威尔逊的目标分类（威尔逊的目标分类（19891989）水平水平类别类别指标指标A计算A1：具体事实的知识；A2：术语的知识；A3：实施算法的能力B领会B1：概念的知识；B2：原理、规则、通则的知识；B3：数学结构的知识；B4：把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力；B5：延续推理思路的能力；B6：阅读和解释问题的能力C运用C1：解决常规问题的能力；C2：做出比较的能力；C3：分析已知条件的能力；C4：识别格局、同型性和对称性的能力D分析D1：解决非常规问题的能力；D2：发现关系的能力；D3：构造证明的能力；D4：批评证明的能力；D5：形成和证实通则的能力8QUASARQUASAR的目标分类的目标分类（Stein&Smith,1998）低水平任务低水平任务高水平任务高水平任务记忆型任务包括对已学过的事实、法则、公式以及定义的记忆重现或者把事实、法则、公式和定义纳入记忆系统使用程序不能解决，因为不存在某种现成的程序或因为完成任务的限定时间太短而无法使用程序模糊这种任务包括对先前见过的材料的准确再现以及再现的内容可以明白而直接地陈述与隐含于已学过的或再现的事实、法则、公式和定义之中的意义或概念无任何联系无联系的程序型算法化程序的使用要么是特别需要，要么明显基于先前的教学、经验或对任务的安排成功完成任务需要的认知要求有限对于应做些什么和如何做几乎是一目了然与隐含于程序之中的意义或概念无任何联系更强调得出正确答案而不是发展数学的理解不需要解释或需要的解释仅仅是对解题程序的描述有联系的程序型为了发展对数学概念和思想的更深层次理解，学生的注意力应集中在程序的使用上暗示有一条路径可以遵循（显性地或隐性地），这种路径即是与隐含的观念有密切联系的、明晰的、一般性程序常用的呈现方式有多种（如可视图表、学具、符号、问题情景）在多种表现形式之间建立起有助于发展意义理解的联系需要某种程度的认知努力尽管有一般的程序可资遵循，但却不能不加考虑地应用为了成功完成任务和发展数学的理解，学生需要参与存在于这些程序中的观念做数学需要复杂的、非算法化的思维（即任务、任务讲解、或已完成的例子没有明显建议一个可预料的、预演好的方法或路径借鉴）探索和理解数学观念、过程和关系的本质对自己的认知过程自我调控启用相关知识经验，并在任务完成过程中恰当使用要求学生分析任务并积极检查对可能的问题解决策略和解法起限制作用的因素需要相当大的认知努力，也许由于解决策略不可预期的性质，学生还会有某种程度的焦虑9青浦实验的目标分类青浦实验的目标分类110F2F1分析分析运用运用领会领会概念概念计算计算10数学教学目标分类四层次架构较低认知水平较低认知水平较高认知水平较高认知水平 计算计算操作性记忆水平操作性记忆水平 概念概念概念性记忆水平概念性记忆水平 领会领会说明性理解水平说明性理解水平 分析分析探究性理解水平探究性理解水平 11高层次数学认知能力的评价指标1.发现并形成合适的数学问题发现并形成合适的数学问题：从各种情境中发：从各种情境中发现所包含的数学要素、关系或结构，提出合适现所包含的数学要素、关系或结构，提出合适的数学问题；的数学问题；2.特殊化与一般化特殊化与一般化：全面结合已分解的各要素及：全面结合已分解的各要素及其关系，按照模型需要对已有的数学概念、程其关系，按照模型需要对已有的数学概念、程序、性质和命题进行推广或特殊化；序、性质和命题进行推广或特殊化；3.解决非常规的和开放性的数学问题解决非常规的和开放性的数学问题；4.数学建模数学建模：分析出条件和结论间主要关系或重：分析出条件和结论间主要关系或重点步骤；形成假设或初步的数学模型；点步骤；形成假设或初步的数学模型；5.5.严格的数学推理与证明严格的数学推理与证明。122、基本假设从目前国内外已有的研究结果来看，影响学生数学认从目前国内外已有的研究结果来看，影响学生数学认知水平的教学因素主要有两个：知水平的教学因素主要有两个：1.学生所从事的数学任务，不同的数学任务需要学生所从事的数学任务，不同的数学任务需要不同的数学认知活动不同的数学认知活动（如（如Huntley,Rasmussen,Villarubi,Sangtong,&Fey,2000;Stein,Smith,Henningsen,&Silver,2000;Thompson&Senk,2001;Reys,Reys,Lappan,&Holliday,2003）；）；2.针对高认知层次数学任务的教学策略针对高认知层次数学任务的教学策略（Golkar,2003;Hiebert,et al.,1997;Meyer,2003;NCTM,2000,1991;Silver&Smith,1997;Van de Walle,2004）。）。133、现状调查14存在的问题：课程因素教材题目认知水平归类统计图（华师版的八年级）教材题目认知水平归类统计图（华师版的八年级）15中英期望课程的探究水平（鲍建生，2002）中美初中数学课程在数学认知水平上的差异中美初中数学课程在数学认知水平上的差异数学认知水平存在的问题：课堂教学1.小步子：学生缺少数学探究的机会小步子：学生缺少数学探究的机会2.赶进度：学生缺少数学探究的空间赶进度：学生缺少数学探究的空间3.套题型：学生缺少数学探究的意识套题型：学生缺少数学探究的意识4.重技巧：学生缺少数学探究的策略重技巧：学生缺少数学探究的策略5.看分数：学生缺少数学探究的动力看分数：学生缺少数学探究的动力6.牵着走：学生缺少数学探究的氛围牵着走：学生缺少数学探究的氛围19存在的问题：解题教学1.教师只管自己讲，学生：教师只管自己讲，学生：不理解；不理解；不动脑筋；不动脑筋；缺乏兴趣缺乏兴趣2.过分强调对题型的死记硬背；过分强调对题型的死记硬背；3.过分强调解题的技巧，不重视通性通法；过分强调解题的技巧，不重视通性通法；4.简单问题复杂化；简单问题复杂化；5.题量太大，教师蜻蜓点水，学生一知半解；题量太大，教师蜻蜓点水，学生一知半解；6.对解题过程缺乏回顾和总结；对解题过程缺乏回顾和总结；7.没有做到举一反三。没有做到举一反三。204、聚焦课堂课堂课堂教教学学教学设计教学设计教学行为教学行为典型事件典型事件教学机智教学机智认知过程认知过程21教学设计教学设计教学设计目标分析目标分析学情分析学情分析任务分析任务分析背景分析背景分析导入设计导入设计问题设计问题设计情境设计情境设计活动设计活动设计225、实验设计、实验设计实验周期：实验周期：3年，每年一轮。实验的基本假设是：年，每年一轮。实验的基本假设是：高认知水平的数学任务高认知水平的数学任务针对高水平任务的有效针对高水平任务的有效的教与学方式的教与学方式改进学生在高认知水平改进学生在高认知水平数学任务上的表现数学任务上的表现z实验设计实验设计：（1 1）日常教学的渗透；（日常教学的渗透；（2 2）活动课；（）活动课；（3 3）课外长作业。课外长作业。z研究方法研究方法：（1 1）提升、保持、下降课堂教学数学认知水平提升、保持、下降课堂教学数学认知水平的因素分析；（的因素分析；（2 2）教学案例分析；（）教学案例分析；（3 3）数学认知水平测）数学认知水平测试；（试；（4 4）跟踪访谈；等。）跟踪访谈；等。z实验班实验班：实验学校的全体学生；：实验学校的全体学生；对比班对比班：实验学校参与实验前的同年级学生。：实验学校参与实验前的同年级学生。三、预研究教师问卷调查教师问卷调查学生数学认知水平的现状学生数学认知水平的现状影响学生数学认知水平的因素影响学生数学认知水平的因素提高学生数学认知水平的策略提高学生数学认知水平的策略学生认知水平的测试学生认知水平的测试(五个方面单独测试五个方面单独测试)教学案例分析教学案例分析任务设计任务设计;认知分析认知分析;教学策略教学策略.24预研究：教学任务设计1.发现问题、提出问题的能力发现问题、提出问题的能力2.折纸中的数学折纸中的数学3.一次方程组的应用一次方程组的应用4.一题多解一题多解5.探究勾股数探究勾股数6.模式构建模式构建7.林福来提供的案例林福来提供的案例25什么是“好的”数学任务一个好的数学任务必须：一个好的数学任务必须：1.是容易接受的（不需要大量的技巧）是容易接受的（不需要大量的技巧）2.有多种解题方法（或者至少有多种思路）有多种解题方法（或者至少有多种思路）3.蕴涵了重要的数学思想（好的数学）蕴涵了重要的数学思想（好的数学）4.不故设陷阱不故设陷阱(通性通法通性通法)5.可以进一步开展和一般化（导致丰富的数可以进一步开展和一般化（导致丰富的数学探索活动）学探索活动）匈菲尔德，匈菲尔德，1994 有些数学是具有开创性的，有发展的，这就有些数学是具有开创性的，有发展的，这就是好的数学。还有一些数学也蛮有意思，但渐渐是好的数学。还有一些数学也蛮有意思，但渐渐变成一种游戏了。变成一种游戏了。陈省身，陈省身，2004261、发现问题与提出问题27案例1：茅以升教学法 每次上课的前十分钟，茅以升先指定一名学每次上课的前十分钟，茅以升先指定一名学生，让他就前次学习课程提出一个疑难问题，从生，让他就前次学习课程提出一个疑难问题，从学生所提问题的深浅，可知他对课程的领会程度，学生所提问题的深浅，可知他对课程的领会程度，以及自己是否作过深入的钻研和探讨。问题提得以及自己是否作过深入的钻研和探讨。问题提得好，或教师都不能当堂解答的，给提问学生打满好，或教师都不能当堂解答的，给提问学生打满分。如提不出问题，则由另一学生提问，前一学分。如提不出问题，则由另一学生提问，前一学生作答。生作答。著名教育家陶行知先生曾亲自带领教育科学生著名教育家陶行知先生曾亲自带领教育科学生来听茅以升的课，对他的教学方法评价很高，认为来听茅以升的课，对他的教学方法评价很高，认为“这的确是个崭新的教学上的革命，是开创了我国这的确是个崭新的教学上的革命，是开创了我国教育的一个先例，值得推广教育的一个先例，值得推广”。老师老师我们在课前通我们在课前通过预习，基本过预习，基本掌握了一些关掌握了一些关于函数奇偶性于函数奇偶性的知识，看看的知识，看看大家有没有发大家有没有发现什么问题呢，现什么问题呢，现在把它提出现在把它提出来，我们一起来，我们一起来讨论讨论吧。来讨论讨论吧。1.有奇函数，有偶函数，则有没有既奇又有奇函数，有偶函数，则有没有既奇又偶的函数呢？偶的函数呢？2.想知道奇偶函数运算结果的奇偶性想知道奇偶函数运算结果的奇偶性3.奇偶函数可不可以是分段函数呢？奇偶函数可不可以是分段函数呢？4.对奇偶函数的定义域有没有要求呢？对奇偶函数的定义域有没有要求呢？5.怎么判断一个函数是奇偶函数呢？如果怎么判断一个函数是奇偶函数呢？如果只验证一个只值满足定义能不能判断这只验证一个只值满足定义能不能判断这个函数的奇偶性呢？个函数的奇偶性呢？6.正比例函数是一个奇函数，我想知道则正比例函数是一个奇函数，我想知道则一般的一次函数呢？我们学过的二次函一般的一次函数呢？我们学过的二次函数呢？数呢？7.常值函数是不是奇函数或者是偶函数呢常值函数是不是奇函数或者是偶函数呢？8.奇偶函数在结构上有什么特征呢？奇偶函数在结构上有什么特征呢？案例2：函数的奇偶性学生提出的问题学生提出的问题292、折纸中的数学30案例1：正方形折纸如图、图所示，一张正方如图、图所示，一张正方形纸片形纸片ABCD，将，将B折至折至AD的中的中点点E，折痕为，折痕为FG将将C折至折至AD的中点的中点E，ML为折痕你能得为折痕你能得到哪些结论？到哪些结论？图1图1.AEF的边长之间的关系为勾的边长之间的关系为勾3、股股4、弦、弦52.AEF、DKE、HKG相似相似3.DK:DC=2:34.GH:DC=1:85.HK的长度等于的长度等于DKE的内切圆半的内切圆半径径6.FM:AB=1:27.EN:NP=5:3结结论论案例2：TIMSS操作性测试给你9张白纸，一把剪刀和一个信封。你的任务是：用剪刀剪出下面给定的图案，你可以将纸片任意折叠，但只能沿直线剪一刀：要得到下面的图形，在不实际折叠的情况下，想象一下，该如何折叠？用虚线画出折痕，用实线画出最后剪的这一刀：32案例3：等腰三角形的三线合一333、一次方程组的应用34聪明的牧场主151211牧场主麦克每周轮换使用他的三个相邻的牧场为牧场主麦克每周轮换使用他的三个相邻的牧场为了省钱，他运用所学的数学知识设计了三个合用的了省钱，他运用所学的数学知识设计了三个合用的门，如图，每两扇门都能恰好关住一个牧场门，如图，每两扇门都能恰好关住一个牧场 一个具有灵气的基础案例v上海上海51中学一毕业生在和平饭店发中学一毕业生在和平饭店发现在地下室通向现在地下室通向10层楼三根导线的层楼三根导线的电阻不同。如何测量？电阻不同。如何测量？他想到解联立方程他想到解联立方程4、一题多解：等腰三角形的判定证明等腰三角形的判定定理：证明等腰三角形的判定定理：有两个内角相等的三角形是等有两个内角相等的三角形是等腰三角形腰三角形.ABC第1步：利用情境变式激发探究兴趣A 原題原題已知已知：B=C,求证：求证：AB=AC.情境性变式：小强想证明下面的问题：“有两个角（图中的B 和 C）相等的三角形是等腰三角形”.但他不小心将图弄脏了，只能看见图中的C和边BC.请问：他能够把图恢复成原来的样子吗？BC第2步:学生独立探究问题：你能够证明这样画出的三角形是等腰三角问题：你能够证明这样画出的三角形是等腰三角形吗形吗方法方法1：量出量出 C的的大小大小;作作 B C;则则B的一条边和的一条边和C的一条边的延长的一条边的延长线交于点线交于点A.方法方法2：作边：作边BC的垂直平分线与的垂直平分线与 C的另一边的延的另一边的延长线交于点长线交于点A.方法方法3：如图，：如图，将长方形纸片将长方形纸片对折使点对折使点B和和点点C重合，找重合，找到到 C与折痕与折痕的交点的交点A第3步：证明定理学生自己发现的不同证法：学生自己发现的不同证法：证法证法2：过：过A作作AD垂直垂直于于BC,证明证明 ABD ACD证法证法5：证明：证明 ABC ACB证法证法4：（反证法反证法）：假设假设ABAC,那么那么 C B.证法证法1：作：作 A的平分的平分线，然后证明：线，然后证明：ABT ACT錯誤錯誤!证法证法3：过：过A作作BC边上边上的中线，证明：的中线，证明：解题三部曲原始问题原始问题通过改变条通过改变条件或结论得件或结论得到多种变式到多种变式问题问题一题多变一题多变用多种方用多种方法解决问法解决问题题一题多解一题多解将解法运用将解法运用于多种情形于多种情形一法多用一法多用5、探究勾股数第一步：列出一些简单的勾股数组第一步：列出一些简单的勾股数组（3，4，5），（），（5，12，13），（），（6，8，10），（），（7，24，25），），（8，15，17），（），（9，40，41），（），（10，24，26），），-第二步：寻找规律第二步：寻找规律整数乘以勾股数仍然是勾股数整数乘以勾股数仍然是勾股数在互质的勾股数中，如果勾股中小的一个数在互质的勾股数中，如果勾股中小的一个数a是奇数，则弦等于是奇数，则弦等于大的一个数加大的一个数加1，并且，并且a可以从可以从3开始，取遍所有奇数开始，取遍所有奇数在互质的勾股数中，如果勾股中小的一个是偶数，则弦等于大的在互质的勾股数中，如果勾股中小的一个是偶数，则弦等于大的一个数加一个数加2在互质的勾股数组中，弦是奇数在互质的勾股数组中，弦是奇数在互质的勾股数组中，勾股中的偶数与弦之和是一个平方数在互质的勾股数组中，勾股中的偶数与弦之和是一个平方数任意一组互质的勾股数都可以表示为任意一组互质的勾股数都可以表示为 （|m2 n2|，2mn，m2+n2）426、模式构建1.如图是一个边长为如图是一个边长为3的大立方体，它的大立方体，它由由27个单位立方体组成，将大立方个单位立方体组成，将大立方体的六个面都涂上同一种颜色，分体的六个面都涂上同一种颜色，分别求恰有别求恰有1面涂色、面涂色、2面涂色、面涂色、3面涂面涂色以及没有被涂色的小立方体的个色以及没有被涂色的小立方体的个数；数；2.如果是一个边长为如果是一个边长为4的立方体呢？的立方体呢？3.如果是一个边长为如果是一个边长为5的立方体呢？的立方体呢？4.如果是一个边长为如果是一个边长为n的立方体呢？的立方体呢？812（n-2）6（n-2）2（n-2）3836542782424881261n5433面涂色2面涂色1面涂色0面涂色7、高认知层次的数学活动(林福来)44四、研究目标1.构建涉及高层次数学认知能力的问题系列；2.提炼促进学生高层次数学认知能力的教学策略。45高认知水平保持的七个要素高认知水平保持的七个要素给思维和推理搭给思维和推理搭“脚手架脚手架”；为学生提供元认知方法；为学生提供元认知方法；示范高水平的操作行为；示范高水平的操作行为；维持对证明、解释或意义的强调；维持对证明、解释或意义的强调；任务建立在已有知识基础上；任务建立在已有知识基础上；在概念间建立联系；在概念间建立联系；适当的探索时间。适当的探索时间。46高认知水平下降的六个因素高认知水平下降的六个因素 情境问题常规化，教师包办代替；情境问题常规化，教师包办代替；重点转移到追求答案的正确、完整，不注重点转移到追求答案的正确、完整，不注重意义、理解、概念获得等方面；重意义、理解、概念获得等方面；时间过多或过少；时间过多或过少；课堂管理问题；课堂管理问题；给学生的任务不恰当，指向不明；给学生的任务不恰当，指向不明；教师对学生低层次结果或过程迁就。教师对学生低层次结果或过程迁就。47从经验中学习从经验中学习z青浦实验青浦实验（如变式教学如变式教学）zGX实验实验z基本图形分析法基本图形分析法z上上海海育育才才的的“读读读读、议议议议、练练练、讲讲练、讲讲（段力佩（段力佩）z李李庾庾南南“自自学学、议议论论、引引导导”教学法教学法z孙维刚的孙维刚的“结构教学法结构教学法”z邱学华的邱学华的“尝试教学法尝试教学法”z馬馬明明、陳陳振振宣宣、赵赵宪宪初初、吳吳正正宪宪、杨杨象象富富等等大大批批的的名名师师和和不不知名的知名的优秀教师优秀教师挖掘和提炼优秀的教学经验挖掘和提炼优秀的教学经验梳理国内外的学习理论梳理国内外的学习理论研究成果研究成果解释解释理论模型理论模型研究课题研究课题研究方法研究方法新的新的模型模型建构建构谢 谢！网站网站:数学教育研究数学教育研究论坛论坛网址:谢谢