《数学物理方法》PPT课件.ppt
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1、数学物理方法数学物理方法PPT课件件在正则奇点邻域内求方程级数解的在正则奇点邻域内求方程级数解的一般步骤一般步骤:第第1步:对方程系数做变换,使其解析,将其展开为泰勒级数形式;步:对方程系数做变换,使其解析,将其展开为泰勒级数形式;第第2步:写出第一解形式,将其代入系数写为泰勒级数形式的方程;步:写出第一解形式,将其代入系数写为泰勒级数形式的方程;第第3步:比较系数,得到判定方程和系数之间的递推关系:步:比较系数,得到判定方程和系数之间的递推关系:由最低次幂项系数得到判定方程;由一般次幂项系数得到系数间递推关系。由最低次幂项系数得到判定方程;由一般次幂项系数得到系数间递推关系。第第4步:根据判
2、定方程和递推关系求出方程第一解;由判定方程两个根(即步:根据判定方程和递推关系求出方程第一解;由判定方程两个根(即 和和 )的关系,写出方程第二解形式,根据不同形式分别求解。的关系,写出方程第二解形式,根据不同形式分别求解。第第1步:对方程系数做变换,使其解析,将其展开为泰勒级数形式;步:对方程系数做变换,使其解析,将其展开为泰勒级数形式;本例中,本例中,所以,这两个函数已经展成了泰勒级数,其中系数所以,这两个函数已经展成了泰勒级数,其中系数按正则奇点邻域中级数解法的有关定理,方程的解应具有按正则奇点邻域中级数解法的有关定理,方程的解应具有第第2步:写出第一解形式,将其代入系数写为泰勒级数形式
3、的方程;步:写出第一解形式,将其代入系数写为泰勒级数形式的方程;设第一解为:设第一解为:求出:求出:或:或:代入贝塞尔方程代入贝塞尔方程得:得:求判定方程:令求判定方程:令n=0,得到最低次幂项的系数为:,得到最低次幂项的系数为:令其等于令其等于0,得:,得:判定方程判定方程第第3步:比较系数,得到判定方程和系数之间的递推关系:步:比较系数,得到判定方程和系数之间的递推关系:求系数之间递推关系:由一般次幂项求系数之间递推关系:由一般次幂项 系数求得系数求得递推公式递推公式第第4步:根据判定方程和递推关系求出方程第一解和第二解。步:根据判定方程和递推关系求出方程第一解和第二解。它的两个根分别是:
4、它的两个根分别是:两根之差为:两根之差为:由此可见,参数由此可见,参数 将决定方程两个线性独立解的形式。将决定方程两个线性独立解的形式。判定方程:判定方程:将第一个根将第一个根 代入方程,并利用递推关系式,便可求出方程的第一解;而代入方程,并利用递推关系式,便可求出方程的第一解;而方程的第二解与判定方程的两根之差有关。方程的第二解与判定方程的两根之差有关。下面,根据方程两根之差的不同情况,讨论两个解的求解过程。下面,根据方程两根之差的不同情况,讨论两个解的求解过程。1.整数、半整数时的解整数、半整数时的解此时,此时,整数。整数。根据定理可知,两个根的形式为根据定理可知,两个根的形式为先求第一解
5、。先求第一解。第一解对应判定方程的第一个根:第一解对应判定方程的第一个根:将其代入递推关系式:将其代入递推关系式:得:得:可见,待定系数可见,待定系数 将可以依次类推,用将可以依次类推,用 表示;表示;可用可用 表示。表示。下面求用下面求用 表示表示 的公式。由递推公式可得:的公式。由递推公式可得:将以上等式的左右两边分别相乘,消去相同因子,即可得:将以上等式的左右两边分别相乘,消去相同因子,即可得:将将 代入,得:代入,得:下面求用下面求用 表示表示 的公式。重写系数关系式:的公式。重写系数关系式:由由 的系数,得:的系数,得:(由于级数从(由于级数从 次项开始,对应的系数为次项开始,对应的
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