11高等数学课件详细.ppt
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1、11高等数学课件(完整版)详细第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占假设曲线形细长构件在空间所占弧段为弧段为AB AB,其线密度为其线密度为“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求极限求极限”可得可得为计算此构件的质量为计算此构件的质量,1.1.1.1.引例引例引例引例:曲线形构件的质量曲线形构件的质量采用采用设设 是空间中一条有限长的光滑曲线是空间中一条有限长的光滑曲线,义在义在 上的一个有
2、界函数上的一个有界函数,都存在都存在,上上对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分,记作记作若通过对若通过对 的的任意分割任意分割局部的局部的任意取点任意取点,2 2.定义定义定义定义下列下列“乘积和式极限乘积和式极限”则称此极限为函数则称此极限为函数在曲线在曲线或第一类曲线积分或第一类曲线积分.称为称为被积函数,被积函数,称为称为积分弧段积分弧段 .曲线形构件的质量曲线形构件的质量和对和对如果如果 L L 是是 XOYXOY 面上的曲线弧面上的曲线弧,如果如果 L L 是闭曲线是闭曲线 ,则记为则记为则定义对弧长的曲线积则定义对弧长的曲线积分为分为思考思考思考思考:(1)(1)若在若在 L L 上上
3、 f f(x x,y y)1,1,(2)(2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 否否!对弧长的曲线积分要求对弧长的曲线积分要求 d ds s 0,0,但定积分中但定积分中d dx x 可能为负可能为负.3.3.性质性质性质性质(k k 为常数为常数)(由由 组成组成)(l l 为曲线弧为曲线弧 的长度的长度)二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路基本思路基本思路:计算定积分计算定积分转转 化化定理定理定理定理:且且上的连续函数上的连续函数,证证证证:是定义在光滑曲线弧是定义在光滑曲线弧则曲线积分则曲线积分求曲线积分求曲线
4、积分根据定义根据定义 点点设各分点对应参数为设各分点对应参数为对应参数为对应参数为 则则说明说明说明说明:因此积分限必须满足因此积分限必须满足(2)(2)注意到注意到 因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于“换元法换元法”.因此因此如果曲线如果曲线 L L 的方程为的方程为则有则有如果方程为极坐标形式如果方程为极坐标形式:则则推广推广推广推广:设空间曲线弧的参数方程为设空间曲线弧的参数方程为则则例例例例1.1.计算计算其中其中 L L 是抛物线是抛物线与点与点 B B(1,1)(1,1)之间的一段弧之间的一段弧 .解解解解:上点上点 O O(0,0)(0,0)例例例例2.2.计算半径为计
5、算半径为 R R,中心角为中心角为的圆弧的圆弧 L L 对于它的对对于它的对称轴的转动惯量称轴的转动惯量I I(设线密度设线密度 =1).1).解解解解:建立坐标系如图建立坐标系如图,则则 例例例例3.3.计算计算其中其中L L为双纽线为双纽线解解解解:在极坐标系下在极坐标系下它在第一象限部分为它在第一象限部分为利用对称性利用对称性 ,得得例例例例4.4.计算曲线积分计算曲线积分 其中其中 为螺旋为螺旋的一段弧的一段弧.解解解解:线线例例例例5.5.计算计算其中其中 为球面为球面 被平面被平面 所截的圆周所截的圆周.解解解解:由对称性可知由对称性可知内容小结内容小结1.1.定义定义定义定义2.
6、2.性质性质性质性质(l l 曲线弧曲线弧 的长度的长度)3.3.计算计算计算计算 对光滑曲线弧对光滑曲线弧 对光滑曲线弧对光滑曲线弧 对光滑曲线弧对光滑曲线弧思考与练习思考与练习1.1.已知椭圆已知椭圆周长为周长为a a,求求提示提示提示提示:原式原式 =利用对称性利用对称性分析分析分析分析:EX:1.1.设设 C C 是由极坐标系下曲线是由极坐标系下曲线及及所围区域的边界所围区域的边界,求求提示提示提示提示:分段积分分段积分第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线
7、积分之间的联系 对坐标的曲线积分 一、一、对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1.1.引例引例引例引例:变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用在在 xoyxoy 平面内从点平面内从点 A A 沿光滑曲线弧沿光滑曲线弧 L L 移动到点移动到点 B,B,求移求移“大化小大化小”“常代变常代变”“近似和近似和”“取极限取极限”常力沿直线所作的功常力沿直线所作的功解决办法解决办法:动过程中变力所作的功动过程中变力所作的功WW.1)“1)“大化小大化小大化小大化小”.2)2)“常代变常代变常代变常代变”把把L L分成分成 n n 个小弧段
8、个小弧段,有向小弧段有向小弧段近似代替近似代替,则有则有所做的功为所做的功为F F 沿沿则则用有向线段用有向线段 上任取一点上任取一点在在3)“3)“近似和近似和近似和近似和”4)4)“取极限取极限取极限取极限”(其中其中 为为 n n 个小弧段的个小弧段的 最大长度最大长度)2.2.定义定义定义定义.设设 L L 为为xoyxoy 平面内从平面内从 A A 到到B B 的一条的一条有向光滑有向光滑有向光滑有向光滑弧弧弧弧,若对若对 L L 的任意分割和在局部弧段上任意取点的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在都存在,在有向曲线弧在有向曲线弧 L L 上上对对坐标的曲线积分坐标的曲线积分坐标
9、的曲线积分坐标的曲线积分,则称此极限为函数则称此极限为函数或或第二类曲线积分第二类曲线积分第二类曲线积分第二类曲线积分.其中其中,L L 称为称为积分弧段积分弧段积分弧段积分弧段 或或 积分曲线积分曲线积分曲线积分曲线 .称为称为被积函数被积函数被积函数被积函数 ,在在L L 上定义了一个向量函数上定义了一个向量函数极限极限记作记作若若 为空间曲线弧为空间曲线弧 ,记记称为对坐标称为对坐标 x x 的曲线积分的曲线积分;称为对坐标称为对坐标y y 的曲线积分的曲线积分.若记若记,对坐标的曲线积分也可写作对坐标的曲线积分也可写作类似地类似地,3.3.性质性质性质性质(1)(1)若若 L L 可分
10、成可分成 k k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧(2)(2)用用L L 表示表示 L L 的反向弧的反向弧 ,则则则则 定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明说明说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向方向方向 !二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理定理定理:在有向光滑弧在有向光滑弧 L L 上有定义且上有定义且L L 的参数方程为的参数方程为则曲线积分则曲线积分连续连续,存在存在,且有且有特别是特别是,如果如果 L L 的方程为的方程为则则对空间光滑曲线弧对空间光滑曲线弧 :类似有类似有例例例
11、例1.1.计算计算其中其中L L 为沿抛物线为沿抛物线解法解法解法解法1 1 取取 x x 为参数为参数,则则解法解法解法解法2 2 取取 y y 为参数为参数,则则从点从点的一段的一段.例例例例2.2.计算计算其中其中 L L 为为(1)(1)半径为半径为 a a 圆心在原点的圆心在原点的 上半圆周上半圆周,方向为逆时针方向方向为逆时针方向;(2)(2)从点从点 A A(a a,0),0)沿沿 x x 轴到点轴到点 B B(a a,0).,0).解解解解:(1)(1)取取L L的参数方程为的参数方程为(2)(2)取取 L L 的方程为的方程为则则则则nextnext例例例例3.3.计算计算其
12、中其中L L为为(1)(1)抛物线抛物线 (2)(2)抛物线抛物线 (3)(3)有向折线有向折线 解解解解:(1)(1)原式原式(2)(2)原式原式(3)(3)原式原式nextnext例例例例4.4.设在力场设在力场作用下作用下,质点由质点由沿沿 移动到移动到解解解解:(1)(1)(2)(2)的参数方程为的参数方程为试求力场对质点所作的功试求力场对质点所作的功.其中其中 为为三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧设有向光滑弧 L L 以弧长为参数以弧长为参数 的参数方程为的参数方程为则两类曲线积分有如下联系则两类曲线积分有如下联系类似地类似地,在空间曲线在空间曲线 上
13、的两类曲线积分的联系是上的两类曲线积分的联系是例例例例5 5.将积分将积分化为对弧长的积化为对弧长的积分分,解:解:解:解:其中其中L L 沿上半圆周沿上半圆周1.1.定义定义2.2.性质性质(1)(1)L L可分成可分成 k k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧(2)(2)L L 表示表示 L L 的反向弧的反向弧对坐标的曲线积分必须注意对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结3.3.计算计算 对有向光滑弧对有向光滑弧 对有向光滑弧对有向光滑弧4.4.两类曲线积分的联系两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧对空间有向光滑弧 :1.1.已
14、知已知为折线为折线 ABCOAABCOA(如图如图),),计算计算提示提示提示提示:2.解解解解:线移动到线移动到向坐标原点向坐标原点,其大小与作用点到其大小与作用点到 xoyxoy 面的距离成反比面的距离成反比.沿直沿直求求 F F 所作的功所作的功 WW.已知已知 F F 的方向指的方向指一质点在力场一质点在力场F F 作用下由点作用下由点3.3.设曲线设曲线C C为曲面为曲面与曲面与曲面从从 oxox 轴正向看去为逆时针方向轴正向看去为逆时针方向,(1)(1)写出曲线写出曲线 C C 的参数方程的参数方程 ;(2)(2)计算曲线积分计算曲线积分解解解解:(1)(1)(2)(2)原式原式
15、=令令利用利用“偶倍奇零偶倍奇零”例例例例5.5.求求其中其中从从 z z 轴正向看为顺时针方向轴正向看为顺时针方向.解解解解:取取 的参数方程的参数方程1.1.定义定义定义定义2.2.性质性质性质性质(l l 曲线弧曲线弧 的长度的长度)3.3.计算计算计算计算 对光滑曲线弧对光滑曲线弧 对光滑曲线弧对光滑曲线弧 对光滑曲线弧对光滑曲线弧1.1.定义定义2.2.性质性质(1)(1)L L可分成可分成 k k 条有向光滑曲线弧条有向光滑曲线弧(2)(2)L L 表示表示 L L 的反向弧的反向弧对坐标的曲线积分必须注意对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向积分弧段的方向积分弧段的
16、方向!3.3.计算计算 对有向光滑弧对有向光滑弧 对有向光滑弧对有向光滑弧4.4.两类曲线积分的联系两类曲线积分的联系第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 区域区域 D D 分类分类单单连通区域连通区域 (无无“洞洞”区区域域 )多多连通区域连通区域 (有有“洞洞”区域区域 )域域 D D 边界边界L L 的的正向正向正向正向:域的内部靠左域的内部靠左域的内部靠左域的内部靠左定理定理定理定理1.1.设区域设区域 D D 是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线 L L 围成围成,则有则有(格林公式格林公式
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