数学史复习资料.doc
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1、(完整word版)数学史复习资料数学史复习资料名词解释:1、 可公度量:对于任何两条给定的线段,总能找到某第三线段,以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。这样的两条线段为“可公度量”,即有可公度量的度量单位。这是古希腊毕达哥拉斯学派对世界任何量都能表示成两个整数比信念的反应。2、 出入相补原理:一个几何图形(平面或立方体的)被分割成若干部分后,面积或体积总保持不变。3、 费马大定理:关于X、Y、Z的不定方程Xn+Yn =Zn ,对于任意大于2的自然数n无非零整数解。 4、 大数定律:概率论历史上第一个极限定理属于伯努利,后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数
2、收敛的定律。P128 帕斯卡曾提出的n为正数时的二项式定理,得到所谓伯努利定理:若p是某一事件单独出现一次的概率,q是不出现该事件的概论,则在n次试验中,该事件至少出现m次的概率等于二项式(p+q)n 的展式中的从pn 项到pm qn-m 项的各项之和。容易看出,这实际上就是概率论中最重要的定律之一“大数定律”的最早表现形式。5、 倍立方体:就是已知一立方体,求作另一立方体,使它的体积等于已知立方体的两倍。也即求作一立方体的边,使该立方体的体积为给定立方体的两倍。6、 祖氏原理:P65“幂势既同,则积不容异”,即夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,若所得截面总相等
3、,则此二几何体积相等。它被称为“祖暅原理”。1、简述古希腊数学的特点。答案二:(1)追求理性和唯理的论证数学特点; (2)欧氏几何开创了公理化理论体系; (3)欧式几何形成了演绎思维的特征;总之,希腊数学是追求理性,主要以演绎几何为特征的数学。2、简述欧几里得原本中所确立的公理化思想。答:公理化思想是古希腊时期在欧氏几何中确立数学演绎范式。这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论,而所有这样的推理链的共同出发点,就是一些基本定义和被认为不证自明的基本原理公理或公设。这就是所谓的公理化思想。3、简述解析几何的基本思想。答:解析几何的基本思想是在平面内引进所谓“坐标
4、”的概念。借助这种坐标概念,把平面上的点和有序实数对(x,y)之间建立一一对应的关系,即:每一对实数(x,y)都对应于平面上的一个点,反之,每一个点都对应于它的坐标(x,y)。这样,可以将一个代数方程f(x,y)=0与平面上一条曲线对应起来,于是几何问题便可归结为代数问题,并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。4、简述罗巴切夫斯基的非欧几何的基本思想答案一:非欧几何的基本思想:用与欧氏第五公设相反的命题作为替代公设,由此出发进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理,这些定理并不包含矛盾,因而在总体上形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论,即新的几何学非欧几何学。5、简述东方数学的特点。答案一
5、:东方数学主要特征:1具有实用性,有较强的社会性;2算法程序化模型化;3寓理与算并且是开放的归纳系统。6、简述代数学符号化的意义。答案(1)数学的发展贯穿着数学符号的发展.数学符号是数学的语言,它的使用不仅是推动数学发展的内在动力之一,还是数学研究不可缺少的工具.数学符号的产生与数学概念和演算方法的发展有着密切的联系.正是由于有了数学符号,才能够准确、清晰地表达某种数学概念或逻辑关系,能够快速、简洁地进行演算.7、简述射影几何在17世纪发展所引发的新思想和观点。答:(1)一个数学对学校从一个形状连续变化到另一个形状; (2)变化与变换不变性; (3)几何新方法-仅关心几何图形的相交与结构关系,
6、不涉及度量。8、简述爱尔朗根纲领。答:德国数学家克莱因所阐述的几何学统一的思想:所谓几何学,就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问,或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量。 四、1.请利用孙子算经中的方法求下列问题的最小正整数解:“今有物不知其数,三三数之剩一,五五数之剩四,七七数之剩二,问物几何?”(P66-67)答:答曰:“二十三。术曰:三三数之,剩二,置一百四十;五五数之,剩三,置六十三;七七数之,剩二,置三十。并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得。凡三三数之,剩一,则置七十;五五数之,剩一,则置二十一;七七数之,剩一,则置十五。一百五上,以一百五减之,即
7、得。”有物不知其数,三个一数余二,五个一数余三,七个一数又余二,问该物总数几何?显然,这相当于求不定方程组:N=3x+2,N=5y+3,N=7z+2的正整数解N,或用现代数论符号表示,等价干解下列的一次同余组。N=2(mod3);N=3(mod5);N=2(mod7) 2.中国古代最早对勾股定理作出证明的数学家是三国时期的赵爽。请作出赵爽证明勾股定理的“弦图”,并叙述其证明方法。(P54)答:勾股定理的一般证明:赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用形数结合的方法,给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每
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