人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案.doc
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1、人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1. 锐角ABC中,已知a=3,A=3,则b2+c2+3bc的取值范围是()A. (5,15B. (7,15C. (7,11D. (11,152. 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足sinA=2sinBcosC,则ABC的形状为()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形3. 在ABC中,A=60,b=1,SABC=3,则a2b+csinA2sinB+sinC的值等于()A. 2393B. 2633C. 833D. 234. 在ABC中,有正弦定理:asinA=b
2、sinB=csinC=定值,这个定值就是ABC的外接圆的直径.如图2所示,DEF中,已知DE=DF,点M在直线EF上从左到右运动(点M不与E、F重合),对于M的每一个位置,记DEM的外接圆面积与DMF的外接圆面积的比值为,那么()A. 先变小再变大B. 仅当M为线段EF的中点时,取得最大值C. 先变大再变小D. 是一个定值5. 已知三角形ABC中,AB=AC,AC边上的中线长为3,当三角形ABC的面积最大时,AB的长为()A. 25B. 36C. 26D. 356. 在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,b=c,且满足sinBsinA=1cosBcosA.若点O是ABC外一点,A
3、OB=(0),OA=2OB=2,平面四边形OACB面积的最大值是()A. 8+534B. 4+534C. 3D. 4+5327. 在ABC中,a=1,b=x,A=30,则使ABC有两解的x的范围是()A. (1,233)B. (1,+)C. (233,2)D. (1,2)8. ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若AB+AC=2AO,且|OA|=|AC|,则ABC的面积为()A. 3B. 32C. 23D. 19. 在ABC中,若sinBsinC=cos2A2,则ABC是()A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形10. 在ABC中,已知C=60.a,b,c分别为A
4、,B,C的对边,则ab+c+bc+a为()A. 323B. 1C. 323或1D. 3+2311. 设锐角ABC的三内角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c,且a=1,B=2A,则b的取值范围为()A. (2,3)B. (1,3)C. (2,2)D. (0,2)12. 在ABC中,内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且满足2bcosB=acosC+ccosA,若b=3,则a+c的最大值为()A. 23B. 3C. 32D. 9二、填空题(本大题共7小题,共35.0分)13. 设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且acosC+12c=b,则角A的大小为_ ;若a=1,则ABC
5、的周长l的取值范围为_ 14. 在ABC中,A,B,C所对边的长分别为a,b,c.已知a+2c=2b,sinB=2sinC,则sinC2= _ 15. 已知ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,若ab=ccosBccosA,则ABC的形状是_ 16. 在ABC中,若a2b2=tanAtanB,则ABC的形状为_ 17. 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(ab)sinB=asinAcsinC,且a2+b26(a+b)+18=0,则ABBC+BCCA+CAAB= _ 18. 如果满足ABC=60,AC=12,BC=k的三角形恰有一个,那么k的取值范围是_ 19. 已知AB
6、C的三个内角A,B,C的对边依次为a,b,c,外接圆半径为1,且满足tanAtanB=2cbb,则ABC面积的最大值为_ 三、解答题(本大题共11小题,共132.0分)20. 在锐角ABC中,a,b,c是角A,B,C的对边,且3a=2csinA(1)求角C的大小;(2)若a=2,且ABC的面积为332,求c的值21. 在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinB=3bcosA(1)求角A的大小;(2)若a=7,b=2,求ABC的面积22. 已知ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足asinAcsinC=(ab)sinB(1)求角C的大小;(2)若边长c=3,
7、求ABC的周长最大值23. 已知函数f(x)=3sinxcosxcos2x12,xR(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期;(2)已知ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=3,f(C)=0,若向量m=(1,sinA)与n=(2,sinB)共线,求a,b的值24. 已知ABC中,ABC,a=cosB,b=cosA,c=sinC (1)求ABC的外接圆半径和角C的值;(2)求a+b+c的取值范围25. ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且满足(2ac)cosB=bcosC,(1)求角B的大小;(2)若ABC的面积为为334且b=3,求a+c的值26. 已知a,b,c分别为A
8、BC的三个内角A,B,C的对边,a=2且(2+b)(sinAsinB)=(cb)sinC (1)求角A的大小;(2)求ABC的面积的最大值27. 已知函数f(x)=2cos2x+23sinxcosx(xR)()当x0,时,求函数f(x)的单调递增区间;()若方程f(x)t=1在x0,2内恒有两个不相等的实数解,求实数t的取值范围28. 已知A、B、C是ABC的三个内角,向量m=(cosA+1,3),n=(sinA,1),且m/n;(1)求角A; (2)若1+sin2Bcos2Bsin2B=3,求tanC29. 在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1sinC2
9、(1)求sinC的值(2)若a2+b2=4(a+b)8,求边c的值30. 在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足:(a+c)(sinAsinC)=sinB(ab) (I)求角C的大小;(II)若c=2,求a+b的取值范围答案和解析【答案】1. D2. A3. A4. D5. A6. A7. D8. B9. B10. B11. A12. A13. 60;(2,314. 2415. 等腰三角形或直角三角形16. 等腰三角形或直角三角形17. 27218. 0k12或k=8319. 33420. 解:(1)ABC是锐角,a,b,c是角A,B,C的对边,且3a=2csinA由正弦定理
10、得:3sinA=2sinCsinA ABC是锐角,sinC=32,故C=3;(2)a=2,且ABC的面积为332,根据ABC的面积S=12acsinB=122bsin3=332 解得:b=3由余弦定理得c2=a2+b22abcosC=4+923=7 c=7故得c的值为721. (本题满分为14分) 解:(1)asinB=3bcosA,由正弦定理得sinAsinB=3sinBcosA.(3分) 又sinB0,从而tanA=3.(5分) 由于0A0,所以c=3.(11分) 故ABC的面积为S=12bcsinA=332.(14分) 解法二:由正弦定理,得7sin3=2sinB,从而sinB=217,
11、(9分) 又由ab知AB,所以cosB=277故sinC=sin(A+B)=sin(B+3)=sinBcos3+cosBsin3=32114.(12分) 所以ABC的面积为12bcsinA=332.(14分)22. 解:(1)由已知,根据正弦定理,asinAcsinC=(ab)sinB 得,a2c2=(ab)b,即a2+b2c2=ab由余弦定理得cosC=a2+b2c22ab=12又C(0,)所以C=3(2)C=3,c=3,A+B=23,asinA=bsinB=332=2,可得:a=2sinA,b=2sinB=2sin(23A),a+b+c=3+2sinA+2sin(23A) =3+2sinA
12、+2(32cosA+12sinA) =23sin(A+6)+3 由0A23可知,6A+656,可得:12sin(A+6)1a+b+c的取值范围(23,33.23. 解:(1)由于函数f(x)=3sinxcosxcos2x12=32sin2x1+cos2x212=sin(2x6)1,故函数的最小值为2,最小正周期为22=(2)ABC中,由于f(C)=sin(2C6)1=0,可得2C6=2,C=3再由向量m=(1,sinA)与n=(2,sinB)共线可得sinB2sinA=0再结合正弦定理可得b=2a,且B=23A故有sin(23A)=2sinA,化简可得tanA=33,A=6,B=2再由asin
13、A=bsinB=csinC可得asin6=bsin2=3sin3,解得a=3,b=2324. 解:(1)由正弦定理csinC=2R=1,R=12再由a=cosB,b=cosA,可得cosBsinA=cosAsinB,故有sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B再由ABC,可得2A+2B=,C=2(2)由于a+b+c=cosB+cosA+sinC=sinA+cosA+1=2sin(A+4)+1再由OA4,可得4A+42,22sin(A+4)1,22sin(A+4)+12+1,即a+b+c的取值范围为(2,2+1)25. 解:(1)又A+B+C=,即C+B=A,sin(C+B)
14、=sin(A)=sinA,将(2ac)cosB=bcosC,利用正弦定理化简得:(2sinAsinC)cosB=sinBcosC,2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(C+B)=sinA,在ABC中,0A0,cosB=12,又0B,则B=3 (2)ABC的面积为334,sinB=sin3=32,S=12acsinB=34ac=334,ac=3,又b=3,cosB=cos3=12,由余弦定理b2=a2+c22accosB得:a2+c2ac=(a+c)23ac=(a+c)29=3,(a+c)2=12,则a+c=2326. 解:(1)ABC中,a=2,且(2+b)(sinA
15、sinB)=(cb)sinC,利用正弦定理可得(2+b)(ab)=(cb)c,即b2+c2bc=4,即b2+c24=bc,cosA=b2+c2a22bc=bc2bc=12,A=3(2)再由b2+c2bc=4,利用基本不等式可得42bcbc=bc,bc4,当且仅当b=c=2时,取等号,此时,ABC为等边三角形,它的面积为12bcsinA=122232=3,故ABC的面积的最大值为:327. 解:(I)f(x)=2cos2x+23sinxcosx=cos2x+3sin2x+1 2sin(2x+6)+1 令2+2k2x+6+2k(kZ) 解得:k3xk+6(kZ) 由于x0, f(x)的单调递增区间
16、为:0,6和23,. ()依题意:由2sin(2x+6)+1=t+1 解得:t=2sin(2x+6) 设函数y1=t与y2=2sin(2x+6) 由于在同一坐标系内两函数在x0,2内恒有两个不相等的交点因为:x0,2 所以:2x+66,76 根据函数的图象:当2x+66,2sin(2x+6)12,1,t1,2 当2x+62,76时,sin(2x+6)12,1,t1,2 所以:1t228. 解:(1)m/n,3sinAcosA=1,2(sinA32cosA12)=1,sin(A6)=12,0A,6A60得4C22即2CcosC=74a2+b2=4(a+b)8(a2)2+(b2)2=0a=2,b=
17、2由余弦定理得c2=a2+b22abcosC=8+27c=1+730. (本题满分为12分) 解:(I)在ABC中,(a+c)(sinAsinC)=sinB(ab),由正弦定理可得:(a+c)(ac)=b(ab),即a2+b2c2=ab,(3分) cosC=12,由C为三角形内角,C=3.(6分) (II)由(I)可知2R=csinC=232=433,(7分) a+b=433(sinA+sinB)=433sinA+sin(A+3) =433(32sinA+32cosA)=4sin(A+6).(10分) 0A23,6A+656,12sin(A+6)1,24sin(A+6)4 a+b的取值范围为(
18、2,4.(12分)【解析】1. 解:由正弦定理可得,asinA=bsinB=csinC=332=2,b=2sinB,c=2sinC,ABC为锐角三角形,0B90,0C90且B+C=120,30B90 bc=4sinBsin(120B)=4sinB(32cosB+12sinB) =23sinBcosB+2sin2B=3sin2B+(1cos2B)=2sin(2B30)+1,30B90,302B30150,12sin(2B30)1,22sin(2B30)+14,即2bc3,a=3,A=3,由余弦定理可得:3=b2+c2bc,可得:b2+c2=bc+3,b2+c2+3bc=4bc+3(11,15故选
19、:D由正弦定理可得,asinA=bsinB=csinC=332=2,结合已知可先表示b,c,然后由ABC为锐角三角形及B+C=120可求B的范围,再把所求的bc用sinB,cosB表示,利用三角公式进行化简后,结合正弦函数的性质可求bc的范围,由余弦定理可得b2+c2+3bc=4bc+3,从而可求范围本题综合考查了正弦定理和面积公式及两角和与差的正弦、余弦公式及辅助角公式的综合应用,解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用,属于中档题2. 解:因为sinA=2sinBcosc,所以sin(B+C)=2sinBcosC,所以sinBcosCsinCcosB=0,即sin(BC)=0,因为A,B,
20、C是三角形内角,所以B=C三角形为等腰三角形故选:A通过三角形的内角和,以及两角和的正弦函数,化简方程,求出角的关系,即可判断三角形的形状本题考查两角和的正弦函数的应用,三角形的判断,考查计算能力,属于基础题3. 解:A=60,b=1,SABC=3=12bcsinA=121c32,c=4,a2=b2+c22bccosA=1+1421412=13,a=13,a2b+csinA2sinB+sinC=asinA=1332=2393故选:A先利用面积公式求得c的值,进而利用余弦定理可求a,再利用正弦定理求解比值本题的考点是正弦定理,主要考查正弦定理的运用,关键是利用面积公式,求出边,再利用正弦定理求解
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