无界域上具有记忆的非自治Plate方程随机吸引子的存在性.pdf
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1、 第6 0卷2 0 2 4年第3期 西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)V o l.6 0 2 0 2 4 N o.3 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)D O I:1 0.1 6 7 8 3/j.c n k i.n w n u z.2 0 2 4.0 3.0 1 3收稿日期:2 0 2 3 0 6 0 6;修改稿收到日期:2 0 2 3 0 9 1 6基金项目:国家自然科学基金资助项目(1 2 1 6 1 0 7 1);陇南市科
2、技计划项目(2 0 2 1-S Z-1 3)作者简介:蒲武军(1 9 7 9),男,甘肃庄浪人,副教授,硕士.主要研究方向为生物数学与动力系统.E m a i l:p u w j 2 0 0 51 6 3.c o m无界域上具有记忆的非自治P l a t e方程随机吸引子的存在性蒲武军1,姚晓斌2(1.陇南师范高等专科学校 数学系,甘肃 陇南 7 4 2 5 0 0;2.青海民族大学 数学与统计学院,青海 西宁 8 1 0 0 0 7)摘要:研究无界域上一类具有衰退记忆和加性噪声的非自治 P l a t e方程解的长时间行为.利用一致估计验证了解的拉回渐近紧性,获得了其随机吸引子的存在性.关键
3、词:随机吸引子;非自治P l a t e 方程;衰退记忆;加性噪声中图分类号:O 1 7 5.2 9 文献标志码:A 文章编号:1 0 0 1-9 8 8(2 0 2 4)0 3-0 1 1 5-1 2T h e e x i s t e n c e o f t h e r a n d o m a t t r a c t o r o f n o n-a u t o n o m o u sp l a t e e q u a t i o n w i t h m e m o r y o n u n b o u n d e d d o m a i n sP U Wu-j u n1,YAO X i a o
4、-b i n2(1.D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s,L o n g n a n T e a c h e r s C o l l e g e,L o n g n a n 7 4 2 5 0 0,G a n s u,C h i n a;2.S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s,Q i n g h a i M i n z u U n i v e r s i t y,X i n i n g 8 1 0 0 0 7,Q i n g h a i,C h i
5、n a)A b s t r a c t:T h e-l o n g t i m e d y n a m i c a l b e h a v i o r o f t h e s o l u t i o n f o r n o n-a u t o n o m o u s p l a t e e q u a t i o n w i t h f a d i n g m e m o r y a n d a d d i t i v e n o i s e i s s t u d i e d o n u n b o u n d e d d o m a i n s.B y e s t a b l i s h
6、i n g t h e p u l l b a c k a s y m p t o t i c c o m p a c t n e s s o f s o l u t i o n s b y a i d o f u n i f o r m e s t i m a t e s,t h e e x i s t e n c e o f r a n d o m a t t r a c t o r s i s o b t a i n e d f o r t h i s e q u a t i o n.K e y w o r d s:r a n d o m a t t r a c t o r;n o n-
7、a u t o n o m o u s p l a t e e q u a t i o n;f a d i n g m e m o r y;a d d i t i v e n o i s e 考虑带有衰退记忆和加性噪声的随机P l a t e方程 ut t+ut+2ut+2u+0(s)2(s)ds+0(s)(s)ds+u+f(x,u)=g(x,t)+h(x)dWdt,xRn,t,(1)初值条件为u(x,)=u0(x),ut(x,)=u1(x),xRn,t,(2)其中,R,u=u(x,t)是定义在Rn,+)上的实值函数,均是大于零的正常数,是常数,g(x,)L2l o c(R,L2(Rn),W(
8、t)是概率空间上的双边实值W i e n e r过程,(s)=u(t)-u(t-s).本文假设核函数C1(R+)L1(R+),非线性函数fC1(R),且满足以下条件:(C1)对sR+及某些0,有(s)0,(s)+(s)0,(3)并令m0=L1(R+)=0(s)ds0.(C2)记F(x,u)=u0f(x,s)ds,x Rn,511西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)第6 0卷 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.6 0 u
9、R,且存在正常数ci(i=1,2,3,4),使得f(x,u)c1up+1(x),1L2(Rn),(4)f(x,u)u-c2F(x,u)2(x),2L1(Rn),(5)F(x,u)c3up+1-3(x),3L1(Rn),(6)f u(x,u),f x(x,u)4(x),4L2(Rn),(7)其中0,1p(n+4)/(n-4).(4)和(5)式意味着 F(x,u)c(u2+up+1+21+2).(8)不失一般性,全文假定正常数c是变化的,每一行甚至同一行都不一定相同.(C3)对函数g(x,t),存在常数0,使得0-e sg(,+s)21ds,()(,()0)=()0,()(t,()0)E(Rn)在
10、()0处连续.对(t,()0)R+RE(Rn),映射(t,()0)=()(t+,-,()0)(1 6)在R和(,F,P,ttR)上生成一个从R+RE(Rn)到E(Rn)的连续余圈.2 主要结果本节讨论Rn上随机P l a t e方程(1 2)(1 3)弱解的一致估计,通过转换后的随机方程(1 4)(1 5)证明随机动力系统拉回吸收集的存在性和拉回渐近紧性.选取(0,1)充分小,使得2+-0,1-0,m i n1-,2+-8m03.(9)式中的定义为=m i n-,1-8m03(1-),c22,2,1-8m03(+2-),(1 7)其中c2是(5)式中的正常数.2.1 解的一致估计引理1 假设h
11、H2(Rn),若条件(C1)(C3)成立,则对任意的R,D=D(,):RD,存在T=T(,D)0,使得对所有的tT,有()(,-t,-,0)2E+-te(s-)v(s,-t,-,v0)2ds+-te(s-)u(s,-t,-,u0)2ds+-te(s-)u(s,-t,-,u0)2ds+-te(s-)v(s,-t,-,v0)2ds R1(,),其中()0=(u0,v0,0)TD(-t,-),c是依赖于,m0的正常数,但独立于(,D),而R1(,)=c+c20-e s(1+z(s)2+z(s)2+z(s)k+1H2)ds.711西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)第6 0卷 J o u r
12、n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.6 0 证明 在L2(Rn)上用v与系统(1 4)的第二个方程作内积,有12ddtv2=-(-)(v,v)-(+2-)(u,v)-(1-)(A u,v)-(A v,v)-(f(x,u),v)+(g(x,t),v)+(1-+)(z(t),v)-(A z(t),v)-0(s)(A(s),v)ds-0(s)(s),v)ds.(1 8)系统(1 4)的第一个方程可写为v=ut+u-z(t),(1 9)于是(u,v)=
13、12ddtu2+u2-(u,z(t)12ddtu2+34u2-23z(t)2,(2 0)-(A u,v)-12ddtu2-34u2+23z(t)2,(2 1)(f(x,u),v)=ddtRnF(x,u)dx+(f(x,u),u)-(f(x,u),z(t).(2 2)由(5)式可得(f(x,u),u)c2RnF(x,u)dx+Rn2(x)dx.(2 3)由(4)和(6)式可得(f(x,u),z(t)1(x)z(t)+c1 Rnuk+1dx kk+1z(t)k+1 121(x)2+22z(t)2+c22RnF(x,u)dx+c22Rn3(x)dx+c2z(t)k+1H2.(2 4)利用C a u
14、c h y-S c h w a r t z不等式和Y o u n g不等式可得(1-+)(z(t),v)2(1-+)22-z(t)2+-8v2,(2 5)-(A z(t),v)22z(t)2+12v2,(2 6)(g(x,t),v)2-g(x,t)2+-8v2,(2 7)0(s)(A(s),v)ds=0(s)(s),ut)ds+0(s)(s),u)ds-0(s)(s),z(t)ds.对系统(1 4)的第三个方程关于s分部积分,有0(s)(s),ut)ds 12ddt2,2+22,2.(2 8)由Y o u n g不等式可得-0(s)(s),z(t)ds -82,2-2m02z(t)2,(2 9
15、)0(s)(s),u)ds -82,2-2m02u2.(3 0)综合(2 8)(3 0)式,有0(s)(A(s),v)ds12ddt2,2+42,2-2m02z(t)2-2m02u2.(3 1)同理可得0(s)(s),v)ds 12ddt2,0+42,0-2m02z(t)2-2m02u2.(3 2)将(2 0)(3 2)式代入(1 8)式,并结合(1 7)式可得811 2 0 2 4年第3期 蒲武军等:无界域上具有记忆的非自治P l a t e方程随机吸引子的存在性 2 0 2 4 N o.3T h e e x i s t e n c e o f t h e r a n d o m a t t
16、 r a c t o r o f n o n-a u t o n o m o u s p l a t e e q u a t i o n w i t h m e m o r y o n u n b o u n d e d d o m a i n sddt v2+(2+-)u2+(1-)u2+2,2+2,0+2RnF(x,u)dx+v2+(2+-)u2+(1-)u2+2,2+2,0+2RnF(x,u)dx+12(-)v2+12(2+-)1-8m03(2+-)u2+12(1-)1-8m03(1-)u2+v2 c2(1+z(t)2+z(t)2+z(t)k+1H2)+4-g(x,t)2.(3 3)根据
17、(1 1)式,(3 3)式可进一步化为ddt 2E+2RnF(x,u)dx+2E+2RnF(x,u)dx+12(-)v2+12(2+-)1-8m23(2+-)u2+12(1-)1-8m03(1-)u2+v2 c2(1+z(t)2+z(t)2+z(t)k+1H2)+4-g(x,t)2.(3 4)(3 4)式的两端同乘以e t并从-t到上积分,同时用-替代,则对所有的tRn,R,有e (,-t,0)2E+2RnF(x,u(,-t,u0)dx+12(-)-te sv(s,-t,v0)2ds+-te sv(s,-t,v0)2ds+12(2+-)1-8m03(2+-)-te su(s,-t,u0)2ds
18、+12(1-)1-8m03(1-)-te su(s,-t,u0)2ds e-t 02E+2RnF(x,u0)dx+c20-te s(1+z(s)2+z(s)2+z(s)k+1H2)ds+4-e(s-)g(x,s)2.(3 5)由文献2 8 的引理3.5可得0-te s(z(s)2+z(s)2+z(s)k+1H2)ds 0-e s2(2()(h2+h2)+k+1()(hk+1+hk+1+hk+1)ds0,使得对所有的tT,有e-t 02H+2RnF(x,u0)dx 1.结合(9),(3 5)和(3 6)式,引理得证.】引理2 假设hH2(Rn),若条件(C1)(C3)成立,则存在以0为中心的随机
19、球E(,):R,D,其随机半径为(,)=c+c20-e s(1+z(s)2+z(s)2+z(s)k+1H2)ds,使得对于问题(1 4)(1 5)的连续余圈,E(,):R,是一个闭可测D-拉回吸收集,即对每个R,D=D(,):R,D,以及对所有的tT,有(t,-t,-t,D(-t,-t)A(,).(3 9)证明 由(1 6)式和引理1直接得证.】引理3 假设hH2(R),若条件(C1)(C3)911西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)第6 0卷 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a
20、 t u r a l S c i e n c e)V o l.6 0 成立,则对任意的 R,D=D(,):R,D以及所有的tT,方程(1 4)(1 5)的解满足A1/4()(,-t,-,()0)2ER2(,),其中R2(,)=ce-t(A1/4v02+(+2-)A1/4u02+(1-)A3/4u02+A3/402,0+A1/402,0)+c20-e s(1+A1/4z(s)2+A3/4z(s)2)ds+c-e(s-)g(x,s)21ds.证明 在L2(Rn)上用A1/2v与系统(1 4)的第二个方程作内积,有12ddtA1/4v2=-(-)A1/4v2-(1-)(A u,A1/2v)-(+2-
21、)(u,A1/2v)-A3/4v2-(A z(t),A1/2v)+(1-+)(z(t),A1/2v)-(f(x,u),A1/2v)-0(s)(A(s),A1/2v)ds-0(s)(s),A1/2v)ds+(g(x,t),A1/2v),(4 0)借助引理1的证明过程可得以下估计:(u,A1/2v)12ddtA1/4u2+34A1/4u2-23A1/4z(t)2,(4 1)(A u,A1/2v)12ddtA3/4u2+34A3/4u2-23A3/4z(t)2,(4 2)(1-+)(z(t),A1/2v)2(1-+)22-A1/4z(t)2+-8A1/4v2,(4 3)(A z(t),A1/2v)2
22、2A3/4z(t)2+12A3/4v2,(4 4)(g,A1/2v)cg21+-8A1/4v2,(4 5)-(f(x,u),A1/2v)Rn xf(x,u)A1/4vdx+Rn xf(x,u)A1/4uA1/4vdx 4A1/4v+A1/4vA1/4v c+2+2(-+2)A1/4v2+14(1-)A1/4u2,(4 6)0(s)(A(s),A1/2v)ds 12ddtA3/42,0+4A3/42,0-2m02A3/4z(t)2-2m02A3/4u2,(4 7)0(s)(s),A1/2v)ds 12ddtA1/42,0+4A1/42,0-2m02A1/4z(t)2-2m02A3/4u2,(4
23、8)将(4 1)(4 8)代入到(4 0)式有12ddt(A1/4v2+(+2-)A1/4u2+(1-)A3/4u2+A3/42,0+A1/42,0)+(+2-)34-2m0(+2-)A1/4u2+(-)A1/4v2+(1-)34-2m0(1-2)A3/4u2+4A1/42,0 c2(1+A1/4z(t)2+A3/4z(t)2)+cg21.(4 9)给(4 9)式的两端同乘以e t,并从-t到上积分,同时用-替代,有021 2 0 2 4年第3期 蒲武军等:无界域上具有记忆的非自治P l a t e方程随机吸引子的存在性 2 0 2 4 N o.3T h e e x i s t e n c e
24、 o f t h e r a n d o m a t t r a c t o r o f n o n-a u t o n o m o u s p l a t e e q u a t i o n w i t h m e m o r y o n u n b o u n d e d d o m a i n se t(A1/4v(,-t,v0)2+(+2-)A1/4u(,-t,u0)2+(1-)A3/4u(,-t,u0)2+A3/4(,-t,0,s)2,0+A1/4(,-t,0,s)2,0)ce-t(A1/4v02+(+2-)A1/4u02+(1-)A3/4u02+A3/402,0+A1/402,0)
25、+c20-e s(1+A1/4z(s)2+A3/4z(s)2)ds+c-e(s-)g(x,s)21ds.】引理4 假设hH2(Rn),若条件(C1)(C3)成立,则对任意的0,R,D=D(,):R,D,存在T=T(,D,)0,K=K(,)1,对系统(1 4)(1 5)满足tT,kK的所有解,有()(,-t,-,()0)2E(RnBk),其中k1,Bk=xRn:xk,RnBk是Bk的余空间.证明 选取光滑函数,使得对任意的xRn有01,且(x)=0,0 x1,1,x2.(5 0)则对任意的kN,k(x)=(x/k),xRn,存在正常数1,2,使得对任意的xRn,有k(x)1k,k(x)2k.用k
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