幺半群中最小的变色龙.pdf

第6 0卷2 0 2 4年第1期 西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)V o l.6 0 2 0 2 4 N o.1 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)D O I:1 0.1 6 7 8 3/j.c n k i.n w n u z.2 0 2 4.0 1.0 0 1收稿日期:2 0 2 3 0 6 2 4;修改稿收到日期:2 0 2 3 0 8 1 8作者简介:李永康(1 9 7 3),男,中国香港人,教授,博士.主要研究方向为半群代数.E m a i l:e d m o n d.l e e n o v a.e d u幺半群中最小的变色龙李永康(诺瓦东南大学 数学系,美国 佛罗里达 3 3 3 2 8)摘要:称一个半群为变色龙,如果它既是一个有限基对合半群的约简,又是一个非有限基对合半群的约简.目前已知的变色龙最小的阶数为8,本文构造了两个阶数更小的变色龙,一个是阶数为7的半群,另一个是阶数为6的幺半群,后者恰好是幺半群中阶数最小的一个变色龙.关键词:半群;幺半群;对合半群;有限基;变色龙中图分类号:O 1 5 3.5 文献标志码:A 文章编号:1 0 0 1-9 8 8(2 0 2 4)0 1-0 0 0 1-0 4A s m a l l e s t c h a m e l e o n a m o n g m o n o i d sL E E E d m o n d W H(D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s,N o v a S o u t h e a s t e r n U n i v e r s i t y,F l o r i d a 3 3 3 2 8,U S A)A b s t r a c t:A s e m i g r o u p i s a c h a m e l e o n i f i t i s t h e r e d u c t o f b o t h a f i n i t e l y b a s e d i n v o l u t i o n s e m i g r o u p a n d a n o n-f i n i t e l y b a s e d i n v o l u t i o n s e m i g r o u p.P r e s e n t l y,t h e s m a l l e s t p u b l i s h e d e x a m p l e o f a c h a m e l e o n i s o f o r d e r e i g h t.T h i s a r t i c l e c o n s t r u c t s t w o s m a l l e r e x a m p l e s:a s e m i g r o u p o f o r d e r s e v e n a n d a m o n o i d o f o r d e r s i x.T h e l a t t e r t u r n s o u t t o b e a s m a l l e s t c h a m e l e o n a m o n g m o n o i d s.K e y w o r d s:s e m i g r o u p;m o n o i d;i n v o l u t i o n s e m i g r o u p;f i n i t e l y b a s e d;c h a m e l e o n 称一个代数为有限基的,如果它的等式可以有限公理化.许多重要代数类的有限成员都是有限基的,例如群1、结合环2-3和李代数4.但不是所有的有限代数都是有限基的.有限基问题,即确定哪些有限型的有限代数是有限基的,在一般情况下是不可判定的5.对于有限半群和有限对合半群,虽然近几十年得到了广泛研究,但它们的有限基问题仍未解决.称S,*为对合半群,如果S为半群,且“*”为满足以下等式的一元运算:(x*)*x,(x y)*y*x*.(1)称此一元运算“*”为S的对合运算.常见的例子是:群G在逆映射“-1”下构成的对合半群G,-1,矩阵半群Mn 在转置“T”下构成的对合半群Mn,T.虽然半群和对合半群在许多方面相似,但它们的等式性质可能会有很大的差异.尤其值得注意的是,对合半群S,*及其约简S不一定同时是有限基的6-1 0.在研究对合半群的等式时,另一个有趣的现象是:存在一个半群S既是一个有限基对合半群 S,*的 约 简 又 是 一 个 非 有 限 基 对 合 半 群S,的约简9-1 1,为了方便起见,称这样的半群S为变色龙.目前已知变色龙中阶数最小的为8:它是由一个非有限基6阶半群与一个3阶循环群或3阶非链半格合并而成的1 0-1 2.一个有趣的问题是:是否存在更小阶数的变色龙.本文构造了一个7阶的变色龙和一个6阶的变色龙,后者恰好是一个幺半群,并证明了6阶变色龙是幺半群中阶数最小的一个.在非幺半群的半群中,是否存在小于6阶的变色龙?目前已经知道不存在阶数小于等于3的变色龙,这是因为每个阶数小于等于3的对合半群都是1西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)第6 0卷 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.6 0 有限基的1 3.问题1 是否存在4阶或者5阶的变色龙?本文变色龙可以称为等式化的,因为在不同的对合运算下,它们变成具有不同等式特性的对合半群.值得注意的是,可以定义其他类型的变色龙,例如存在具有两个对合运算“*”和“”的半群S,其中簇V a rS,*包含有限多个子簇,但簇V a rS,包含不可数多个子簇1 4.更多关于对合半群簇的信息可见文献1 5-1 6.1 7阶变色龙半群H=e,f:e2=e,f2=f,e f e f=f e f e=0具有两个对合运算“*”和“”,分别由映射(e,f)(e,f)和(e,f)(f,e)诱导.本节证明H是一个变色龙(命题1和2).H0e f ef e fe ff efe00000000e f e000000e f ef e f00000f e f0e f0000e f ee fe f ef e000f e f0f e ff ef00f e ff e ff eff ee0e f e0e fe f ee fex*0e f ef e ff ee ffex0f e fe f ee ff eef命题1 对合半群H,*是有限基的.证明 引入下列对合半群H0,*:H00e f ef ee ffe0000000e f e00000e f ef e00000f ee f00e f e0e fe f ef00f e0ff ee0e f ee f ee fe fex*0e f ee ff efe其中H0=e,f:e2=e,f2=f,f e f=0,且运算“*”由映射(e,f)(e,f)诱导.对合半群H0,*的所有等式可以由(1)式和下式推导:x3x2,x2y x2x y x,x h y k x t yy h x k y t x,x y*x*x y x*,x*y x*x y x,x h x*k xx h x k x.(2)换句话说,H0,*是有限基的1 0.因为H0,*同构于H,*模理想0,f e f,所以V a rH0,*V a rH,*.又因为H,*满足等式(2),所以V a rH,*=V a rH0,*,故H,*是有限基的.】一个对合半群S,称为扭的,如果它的簇V a rS,包含对合半格S l3,其中S l3=0,e,e,且e2=e,e e=ee=0.引理11 2 令S,是任意一个扭对合半群.如果S是非有限基的,那么S,也是非有限基的.命题2 对合半群H,是非有限基的.证明 由命题1的证明可知,V a rH,*=V a rH0,*,故V a rH=V a rH0.因为半群H0是非有限基的1 7,所以半群H也是非有限基的.由于对合半群H,模理想0,e f,f e,e f e,f e f 之后同构于S l3,故 H,是 扭的.根据引理1,H,是非有限基的.】2 6阶变色龙幺半群K=e,f:e2=e,f2=f,e f e=f e f=01具有两个对合运算“*”和“”,分别由映射(e,f)(e,f)和(e,f)(f,e)诱导.本节证明K是一个变色龙(命题3和4).K0e ff eef10000000e f0000e fe ff e000f e0f ee0e f0ee fef00f ef eff10e ff eef1x*0f ee fef1x0e ff efe1命题3(i)对合幺半群K,是非有限基的;(i i)幺半群K的等式可以由以下等式集公理化:x3x2,x2y x2x y x,x h x k xx h k x,x y x yy x y x.(3)证明 引入下列对合幺半群K0,:2 2 0 2 4年第1期 李永康:幺半群中最小的变色龙 2 0 2 4 N o.1A s m a l l e s t c h a m e l e o n a m o n g m o n o i d sK00e fef1000000e f000e fe fe0e fee fef000ff10e fef1x0e ffe1其中K0=e,f:e2=e,f2=f,f e=01,且运算“”由映射(e,f)(f,e)诱导.因为K,模理想0,f e 之后同构于K0,所以V a rK0,V a rK,.注意到从K,到K0,K0,的映射0(0,0),e f(e f,0),f e(0,e f),e(e,f),f(f,e),1(1,1)是一个嵌入,所以V a rK,=V a rK0,故V a rK=V a rK0.性质(i)成立是因为K0,是非有限基的6,而性质(i i)成立是因为K0的等式可以由(3)公理化;具体细节参见文献1 8 的命题3.2(a).】设X是可数无限字母表且X*=x*:xX 是与X不交的X的一个复制.称XX*的元素为变元.字母表X上的自由对合幺半群是自由半群(XX*)+加上空集并且带有一元运算“*”,其中对任意xX,x1,x2,xnXX*,有(x*)*=x,*=,(x1x2xn)*=x*nx*n-1x*1.称(XX*)+中的元素为字,而X+中的字为单纯字.字w的内容记作c o n(w),是w中出现的变元的集合.显然每一个字w(XX*)+都可写成w=x11x22xnn,其中x1,x2,xnX,1,2,n1,*;这个字w的单纯投影是指单纯字w=x1x2xn.字w中的变元xXX*是线性的,如果w=u x v,其中u,v(XX*)+,xc o n(u v).字w中线性变元的集合记作l i n(w).引理2 令w1w2是K,*的任一等式且w1,w2(XX*)+,则(i)c o n(w1)=c o n(w2);(i i)l i n(w1)=l i n(w2).证明(i)假设存在某个变元xc o n(w1)c o s(w2).令:XK为将x映射到0而将其他变元映射到1的替代,则(w1)=0,(w2)=1,矛盾.因此,这样的变元x不存在,故c o n(w1)=c o n(w2).(i i)假设存在某个变元x l i n(w1)l i n(w2).不失一般性,设xX,则w1=u1x v1,其中u1,v1(XX*)+并且x c o n(u1v1).由(i)可知x c o n(w2),因此在w2中有以下两种可能:1)w2=x1x2,其中1,21,*;2)w2=u2x*v2,其中u2,v2(XX*)+并且x c o n(u2v2).令:XK为将x映射到e f而将其他变元映射到1的替代,则(w1)=e f,(w2)0,f e,矛 盾.因 此,这 样 的 变 元x不 存 在,故l i n(w1)=l i n(w2).】命题4 对 合 幺 半 群 K,*的 等 式 可 以 由(1),(3)式和以下等式集公理化:x*x*x2,x*xx2,x x*x2,x*y x*x y x,x*y xx y x,x y x*x y x.(4)证明 根据命题3(i i),对合幺半群K,*满足等式 集(3).容 易 验 证 K,*也 满 足 等 式 集(4).因 此,K,*的 等 式 可 以 由 (1),(3),(4)公理化,其中是由(XX*)+中的字构成的等式的集合.设w1w2是中的任一等式.假设w1w2中包含一个非单纯变元x*X*,则由引理2(i)可知x c o n(w1)=c o n(w2).对于每个i1,2,设w i是将wi中每个x*的符号“*”移除而得到的字,那么有以下两种可能:1)x*在w1或w2中是线性的,则由引理2(i i)可知,x*l i n(w1)=l i n(w2),故对于每个i1,2,存 在ui,vi(XX*)+,使 得wi=ui x*vi,其 中xc o n(uivi).于 是w i=uix vi.因此很容易得出(1),w1w2 和(1),w 1w 2 定义了相同的簇.2)x*在w1和w2中是非线性的,则利用等式集(4)可 以 将 每 个x*的 符 号“*”移 除.因 此,(4),w1w2 和(4),w 1w 2 定义了相同的簇.因此在任何情况下,如果将中的等式w13西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)第6 0卷 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.6 0 w2的每个非单纯变元x*的符号“*”移 除,那 么(1),(3),(4)仍然可以公理化K,*中的所有等式.上述论证可以重复应用于中所有等式的所有非单纯变元.换句话说,如果将的所有等式中出现的符号“*”均消除,那么(1),(3),(4)仍然可以公理化K,*中的等式.因此,可以假定中的等式都由单纯字组成,故也是幺半群K的等式.再根据命题3(i i),中的每个等式都是(3)的后承集.因此,(1),(3),(4)和(1),(3),(4)定义了相同的簇.】3 幺半群中最小的变色龙定理1 6阶变色龙K是幺半群中阶数最小的一个.证明 注意到,5阶对合幺半群K0,是非有限基的6,它的约简K0没有不同于“”的其它对合运算,所以K0不是变色龙.此外,每一个不与K0,同构且阶数小于等于5的对合幺半群都是有限基的1 9,因此,在阶数小于等于5的幺半群中不存在变色龙.】参考文献:1 OA T E S S,P OWE L L M B.I d e n t i c a l r e l a t i o n s i n f i n i t e g r o u p sJ.J o u r n a l o f A l g e b r a,1 9 6 4,1(1):1 1.2 K R U S E R L.I d e n t i t i e s s a t i s f i e d b y a f i n i t e r i n gJ.J o u r n a l o f A l g e b r a,1 9 7 3,2 6(2):2 9 8.3 L VOV I V.V a r i e t i e s o f a s s o c i a t i v e r i n g s IJ.A l g e b r a a n d L o g i c,1 9 7 3,1 2(3):1 5 0.4 B AHTUR I N Y A,O L S HAN S K I I A Y.I d e n t i c a l r e l a t i o n s i n f i n i t e L i e r i n g sJ.M a t h e m a t i c s o f t h e U S S R-S b o r n i k,1 9 7 5,2 5(4):5 0 7.5 MC K E N Z I E R N.T a r s k i s f i n i t e b a s i s p r o b l e m i s u n d e c i d a b l eJ.I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f A l g e b r a a n d C o mp u t a t i o n,1 9 9 6,6(1):4 9.6 G AO M,Z HANG W T,L UO Y F.A n o n-f i n i t e l y b a s e d i n v o l u t i o n s e m i g r o u p o f o r d e r f i v eJ.A l g e b r a U n i v e r s a l i s,2 0 2 0,8 1(3):A r t.3 1,1 4 p p.7 J A C K S ON M,VO L KOV M V.T h e a l g e b r a o f a d j a c e n c y p a t t e r n s:R e e s m a t r i x s e m i g r o u p s w i t h r e v e r s i o nC/F i e l d s o f L o g i c a n d C o mp u t a t i o n,L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e,6 3 0 0,B e r l i n:S p r i n g e r,2 0 1 0:4 1 4.8 L E E E W H.N o n-f i n i t e l y b a s e d f i n i t e i n v o l u t i o n s e m i g r o u p s w i t h f i n i t e l y b a s e d s e m i g r o u p r e d u c t sJ.K o r e a n J o u r n a l o f M a t h e m a t i c s,2 0 1 9,2 7(1):5 3.9 L E E E W H.V a r i e t i e s o f i n v o l u t i o n m o n o i d s w i t h e x t r e m e p r o p e r t i e sJ.Q u a r t e r l y J o u r n a l o f M a t h e m a t i c s,2 0 1 9,7 0(4):1 1 5 7.1 0 L E E E W H.F i n i t e l y b a s e d f i n i t e i n v o l u t i o n s e m i g r o u p s w i t h n o n-f i n i t e l y b a s e d r e d u c t sJ.Q u a e s t i o n e s M a t h e m a t i c a e,2 0 1 6,3 9(2):2 1 7.1 1 L E E E W H.F i n i t e i n v o l u t i o n s e m i g r o u p s w i t h i n f i n i t e i r r e d u n d a n t b a s e s o f i d e n t i t i e sJ.F o r u m M a t h e m a t i c u m,2 0 1 6,2 8(3):5 8 7.1 2 L E E E W H.E q u a t i o n a l t h e o r i e s o f u n s t a b l e i n v o l u t i o n s e m i g r o u p sJ.E l e c t r o n i c R e s e a r c h A n n o u n c e m e n t s i n M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s,2 0 1 7,2 4:1 0.1 3 L E E E W H.I n t e r v a l s o f v a r i e t i e s o f i n v o l u t i o n s e m i g r o u p s w i t h c o n t r a s t i n g r e d u c t i n t e r v a l sJ.B o l l e t t i n o d e l lU n i o n e M a t e m a t i c a I t a l i a n a,2 0 2 2,1 5(4):5 2 7.1 4 L E E E W H.V a r i e t i e s g e n e r a t e d b y u n s t a b l e i n v o l u t i o n s e m i g r o u p s w i t h c o n t i n u u m m a n y s u b v a r i e t i e sJ.C o m p t e s R e n d u s M a t h m a t i q u e,2 0 1 8,3 5 6(1):4 4.1 5 C R V E NKOV I C S,D O L I NKA I.V a r i e t i e s o f i n v o l u t i o n s e m i g r o u p s a n d i n v o l u t i o n s e m i r i n g s:a s u r v e yJ.B u l l e t i n o f S o c i e t y o f M a t h e m a t i c i a n s.B a n j a L u k a,2 0 0 2,9:7.1 6 L E E E W H.A d v a n c e s i n t h e T h e o r y o f V a r i e t i e s o f S e m i g r o u p sM.F r o n t i e r i n M a t h e m a t i c s,C h a m:B i r k h u s e r,2 0 2 3.1 7 Z HANG W T,L UO Y F.A n e w e x a m p l e o f a m i n i m a l n o n f i n i t e l y b a s e d s e m i g r o u pJ.B u l l e t i n o f t h e A u s t r a l i a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,2 0 1 1,8 4(3):4 8 4.1 8 E DMUN D S C C.O n c e r t a i n f i n i t e l y b a s e d v a r i e t i e s o f s e m i g r o u p sJ.S e m i g r o u p F o r u m,1 9 7 7,1 5(1):2 1.1 9 HAN B B,Z HAN G W T,L UO Y F.F i n i t e b a s i s p r o b l e m f o r i n v o l u t i o n m o n o i d s o f o r d e r f i v eJ.B u l l e t i n o f t h e A u s t r a l i a n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y,2 0 2 3,d o i:1 0.1 0 1 7/S 0 0 0 4 9 7 2 7 2 3 0 0 0 9 8 9.(责任编辑 马宇鸿)4