热传导方程Robin系数反问题解的唯一性及正则化解的存在性.pdf

西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)第6 0卷2 0 2 4年第2期 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.6 0 2 0 2 4 N o.2 D O I:1 0.1 6 7 8 3/j.c n k i.n w n u z.2 0 2 4.0 2.0 0 5收稿日期:2 0 2 3 0 5 0 5;修改稿收到日期:2 0 2 3 0 5 3 0基金项目:国家自然科学基金资助项目(1 1 5 0 1 2 3 6);江苏省高校自然科学基金面上项目(1 8 k J D 1 1 0 0 0 2);淮阴师范学院博士启动基金项目(3 1WB X 0 0)作者简介:王兵贤(1 9 7 8),男,甘肃民勤人,副教授,博士.主要研究方向为数学物理反问题及统计模型快速算法.E m a i l:w a n g b i n g x i a n 1 2 6.c o m热传导方程R o b i n系数反问题解的唯一性及正则化解的存在性王兵贤,徐 梅,张玲萍(淮阴师范学院 数学与统计学院,江苏 淮安 2 2 3 3 0 0)摘要:R o b i n系数在热传导模型中刻画了热传导区域边界上的热交换,是一类非常重要的参数,本文基于某小时段温度测量值反演热传导模型中的R o b i n系数.首先,在边界值以及测量值满足一定的光滑性条件时,给出了反问题解的唯一性;其次,基于T i k h o n o v正则化思想,通过构造目标泛函将反问题转化为求目标泛函的极小值,并证明了泛函极小元的存在性.关键词:热传导方程;R o b i n系数;反问题;唯一性;极小元中图分类号:O 2 4 1.8 2 文献标志码:A 文章编号:1 0 0 1-9 8 8(2 0 2 4)0 2-0 0 2 6-0 3U n i q u e n e s s o f s o l u t i o n t o i n v e r s e p r o b l e m f o r t h e R o b i n c o e f f i c i e n ti n h e a t c o n d u c t i o n e q u a t i o n a n d e x i s t e n c e o f i t s r e g u l a r i z e d s o l u t i o nWANG B i n g-x i a n,XU M e i,Z HANG L i n g-p i n g(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s,H u a i y i n N o r m a l U n i v e r s i t y,H u a i a n 2 2 3 3 0 0,J i a n g s u,C h i n a)A b s t r a c t:T h e R o b i n c o e f f i c i e n t c h a r a c t e r i z e s t h e h e a t e x c h a n g e o n t h e e d g e o f t h e h e a t c o n d u c t i o n r e g i o n i n t h e h e a t c o n d u c t i o n m o d e l,w h i c h i s a v e r y i m p o r t a n t p a r a m e t e r.T h i s a r t i c l e d i s c u s s e d t h e i n v e r s i o n p r o b l e m o f t h e R o b i n c o e f f i c i e n t i n t h e h e a t c o n d u c t i o n m o d e l b a s e d o n t e m p e r a t u r e m e a s u r e m e n t s d u r i n g a c e r t a i n p e r i o d o f t i m e.F i r s t l y,t h e u n i q u e n e s s r e s u l t o f t h e s o l u t i o n t o t h e i n v e r s e p r o b l e m w a s g i v e n u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s o f b o u n d a r y a n d m e a s u r e d v a l u e s.T h e n,b a s e d o n T i k h o n o v s r e g u l a r i z a t i o n i d e a,t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n a l w a s c o n s t r u c t e d,a n d t h e i n v e r s e p r o b l e m w a s t r a n s f o r m e d i n t o f i n d i n g t h e m i n i m u m o f t h e o b j e c t i v e f u n c t i o n a l,a n d t h e e x i s t e n c e o f m i n i m i z e r w a s p r o v e d.K e y w o r d s:h e a t c o n d u c t i o n e q u a t i o n;R o b i n c o e f f i c i e n t;i n v e r s e p r o b l e m;u n i q u e n e s s;m i n i m i z e r0 引言设区域Rd(d=2,3)为有界区域,且具有L i p c h i t z边界,考虑热传导方程初边值问题ut-u=f(x,t),(x,t)0,T,u+(x)u=g(x,t),(x,t)0,T,u(x,0)=(x),x,(1)其中初始条件L2(),边界条件gL2(0,T;L2(),源项fL2(0,T;L2(),(x)为R o b i n系数,表示区域边界上的热交换,为区域边界的外法向单位向量.当f,g,均已知,且满足一定光滑性条件时,问题(1)的解存在唯一1.设是很小的正数,满足T-0,给定附加条件u(x,t)=(x,t),(x,t)T-,T,(2)62 2 0 2 4年第2期 王兵贤等:热传导方程R o b i n系数反问题解的唯一性及正则化解的存在性 2 0 2 4 N o.2U n i q u e n e s s o f s o l u t i o n t o i n v e r s e p r o b l e m f o r t h e R o b i n c o e f f i c i e n t i n h e a t c o n d u c t i o n e q u a t i o n a n d e x i s t e n c e o f i t s r e g u l a r i z e d s o l u t i o n或者的测量值满足TT-2L2()dt2,(3)反演边界上R o b i n系数(x),这是一个不适定问题2,也是一 个 非 常 有 意 义 的 研 究 课 题.关 于R o b i n系数的反演,已有很多有效的正则化算法.当R o b i n系数与时间和空间均无关,即(x,t)=时,J i n等2建立了参数到状态u()的映射,在讨论该映射相关性质的基础上,提出了一种正则化方法,并讨论了算法的收敛性;当R o b i n系数仅与时间有关,即(x,t)=(t)时,Y a n g等3基于偏差原理结合共轭梯度法构造迭代算法,并讨论了算法的收敛性;当R o b i n系数仅与传导介质边界上的位置有关,即(x,t)=(x)时,L i u等4对于二维区域的热传导系统,由边界上的非局部测量数据反演边界的R o b i n系数.更多关于R o b i n系数反演的正则化方法与理论分析可见文献5-1 1.1 反问题解的唯一性对于R o b i n系数(x)及正常数c0,c1,定义容许集N:N=L():0c00为正则化参数,0为R o b i n系数的初始猜测值.将反问题转化优化问题m i nNJ(),(7)即讨论求目标泛函J()的极小值.设n 为N中的一个极小化序列,则nL2()且有界,因此一定存在一个子序列m 弱收敛于L2(),下 面讨论为优化问题(7)的极小元.由N的闭凸性可得它也是弱闭的,所以N.对于序列m,设u(m)为问题(1)的弱解且满足估计(4),则u(m)有界,且属于L2(0,T;H1(),进而u(m)存在子序列,不妨仍记为u(m),使得u(m)弱收敛于u*L2(0,T;H1().对于任意函数L2(0,T;H1(),因为T0 mu(m)dxdt=T0 u(m)dxdt+T0(m-)u(m)dxdt,所以由m 的弱收敛性和u(m)的有界性可得,当m时,有T0 mu(m)dxdt=T0 u*dxdt.(8)因为u(m)为问题(1)的弱解,结合(8)式,对满足(,T)=0的函数H1(0,T;H1(),有T0-u*t+u*dxdt+T0 u*dxdt=T0fdxdt+T0 gdxdt+(,0)dx.对于=,因为u()为问题(1)的唯一弱解,因此u*=u().72西 北 师 范 大 学 学 报(自然科学版)第6 0卷 J o u r n a l o f N o r t h w e s t N o r m a l U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e)V o l.6 0 下面考虑等式l i m i n fmTT-u(m)-2dxdt=l i m i n fmTT-u(m)-u()2+u()-2+2(u(m)-u()(u()-)dxdt.因为u(m),u()分别是问题(1)对应于=m和=的弱解,所以利用估计(4),有l i mmTT-u(m)-u()2dxdt=0,进而有l i m i n fmTT-u(m)-2dxdt=TT-u()-2dxdt.因为m 为问题(7)的极小化序列,因此利用L2范数的弱下半连续性,有TT-u()-2dxdt+-02L2()l i m i n fm TT-u(m)-2dxdt+m-02L2()=m i nrNJ().由于m 为问题(7)的极小化序列,利用L2范数的弱下半连续性,有TT-u()-2dxdt+-02L2()l i m i n fm TT-u(m)-2dxdt+m-02L2()=m i nrNJ(),即为问题(7)的极小元,而且泛函的极小元实际上就是反问题的正则化解.4 结束语本文讨论了R o b i n系数反演问题解的唯一性以及目标最优化问题极小元的存在性.对于反问题的条件稳定性、目标泛函最优化下降算法的研究,以及数值模拟,我们将另文讨论.参考文献:1 C ANNON J R.T h e O n e-D i m e n s i o n a l H e a t E q u a t i o nM.M e n l o P a r k,C A:A d d i s o n-W e s l e y,1 9 8 4.2 J I N B T,L U X L.N u m e r i c a l i d e n t i f i c a t i o n o f a R o b i n c o e f f i c i e n t i n p a r a b o l i c p r o b l e m sJ.M a t h C o mp u,2 0 1 2,8 1(1 7):1 3 6 9.3 YANG F L,YAN L,WE I T.T h e i d e n t i f i c a t i o n o f a R o b i n c o e f f i c i e n t b y a c o n j u g a t e g r a d i e n t m e t h o dJ.I n t J N u m e r M a t h E n g i,2 0 0 9,7 8:8 0 0.4 L I U J J,WANG Y C.O n t h e r e c o n s t r u c t i o n o f b o u n d a r y i m p e d a n c e o f h e a t c o n d u c t i o n s y s t e m f r o m n o n l o c a l m e a s u r e m e n tJ.I n v e r s e P r o b l e m s,2 0 1 6,3 2(7):0 7 5 0 0 2.5 HAO D N.A n o n c h a r a c t e r i s t i c C a u c h y p r o b l e m f o r l i n e a r p a r a b o l i c e q u a t i o n s I IJ.N u m e r i c a l F u n c t i o n a l A n a l y s i s a n d O p t i m i z a t i o n,1 9 9 2,1 3:5 4 1.6 CHAA B AN E S,F E L L AH I,J AOUA M,e t a l.L o g a r i t h m i c s t a b i l i t y e s t i m a t e s f o r a R o b i n c o e f f i c i e n t i n t w o d i m e n s i o n a l L a p l a c e i n v e r s e p r o b l e m sJ.I n v e r s e P r o b l e m s,2 0 0 4,2 0(1):4 7.7 L I N F,F AN G W.A l i n e a r i n t e g r a l e q u a t i o n a p p r o a c h t o t h e R o b i n i n v e r s e p r o b l e mJ.I n v e r s e P r o b l e m s,2 0 0 5,2 1(5):1 7 5 7.8 D I VO E,KA S S A B A J,KA P A T J S,e t a l.R e t r i e v a l o f m u l t i d i m e n s i o n a l h e a t t r a n s f e r c o e f f i c i e n t d i s t r i b u t i o n s u s i n g a n i n v e r s e b e m-b a s e d r e g u l a r i z e d a l g o r i t h m:n u m e r i c a l a n d e x p e r i m e n t a l r e s u l t sJ.E n g i n e e r i n g A n a l y s i s w i t h B o u n d a r y E l e m e n t s,2 0 0 5,2 9:1 5 0.9 F A S I NO D,I NG L E S E G.A n i n v e r s e R o b i n p r o b l e m f o r L a p l a c e s e q u a t i o n:t h e o r e t i c a l r e s u l t s a n d n u m e r i c a l m e t h o d sJ.I n v e r s e P r o b l e m s,1 9 9 9,1 5(1):4 1.1 0 L I Z Y,L I U Y K,YAMAMO TO M.I n v e r s e s o u r c e p r o b l e m f o r a o n e-d i m e n s i o n a l t i m e-f r a c t i o n a l d i f f u s i o n e q u a t i o n a n d u n i q u e c o n t i n u a t i o n f o r w e a k s o l u t i o n sJ.I n v e r s e P r o b l e m s a n d I m a g i n g,2 0 2 3,1 7(1):1.1 0 J I N G X H,P E N G J G.S i m u l t a n e o u s u n i q u e n e s s f o r a n i n v e r s e p r o b l e m i n a t i m e-f r a c t i o n a l d i f f u s i o n e q u a t i o nJ.A p p l i e d M a t h e m a t i c s L e t t e r s,2 0 2 0,1 0 9:1 0 6 5 5 8.(责任编辑 马宇鸿)82