浅谈中学数学中的配方、换元法.doc
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1、青海民族大学毕 业 论 文 ( 设 计 )论文题目: 浅谈中学数学中的配方、换元法 学生姓名: 学号: 指导教师: 职称: 院 系: 数学与统计学院 专业班级: 2011级数学与应用数学民族班 二 一五 年 月 日独创性声明本人声明所呈交的毕业论文是本人在导师指导下进行的理论学习、实习实践以及研究所取得的成果,除了文中特别加以标注和致谢之处外,论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含获得 青海民族大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一起探讨、工作的同学对本论文所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。毕业论文作者签名: 签字日期:2015 年 03 月
2、17 日毕业论文版权使用授权书本毕业论文作者完全了解 青海民族大学 有关保留、使用毕业论文的规定。特授权青海民族大学可以将毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。论文作者签名: 签字日期:2015 年 03月 17 日 指导教师签名: 签字日期: 年 月 日 目录 摘要11引言12 配方法22.1配方法的定义22.2配方法的各种配方形式22.3示范性典例:22.4再现性典例:43 换元法53.1换元法的定义53.2换元法的类型及其运用63.3示范性典例:63.4再现性典例:93
3、.5用换元法解题时应遵循的原则:9结论11致谢12参考文献:13 【摘要】为了帮助学生掌握解题的金钥匙,掌握解题的思想方法,本文简要介绍高考中常用的两种数学基本解题方法:配方法、换元法。在每节的内容中,先是对方法或者问题进行综合性的叙述,再以典例的形式出现。示范性典例进行详细的解答和分析,对方法和问题进行示范,再现性典例是一组简单的选择填题进行方法的再现旨在检查学习的效果,起到巩固作用。关键词: 中学数学 高考解题方法数学解题配方法换元法 青海民族大学毕业论文1引言 众所周知,数学解题与数学的进展是紧密相关的我国古代数学经典九章算术就是从“解题”形式展现那个时代数学发展的丰硕成果的伴随着数学的
4、发展,数学解题的思想、方法等也日臻深化和完善如今浩如烟海的解题方法和技巧构思巧妙,千变万化,异彩纷呈,美不胜收著名数学教育家波利亚说过:“一位好的数学老师或学生应努力保持解题的好胃口”这是因为,解题是深刻理解和熟练掌握数学理论和方法的必要手段;解题是培养分析问题、解决问题能力和创造能力的有效途径。配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成”完全平方”)的技巧,通过配方找到已知与未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或未
5、知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。一般而言,在数学问题中,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质就是“转化与化归”的数学思想,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,获得问题的解决。132 配方法2.1配方法的定义配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”
6、与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。2.2配方法的各种配方形式 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab)a2abb,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:ab(ab)2ab(ab)2ab;aabb(ab)ab(ab)3ab(a)(b);abcabbcca(ab)(bc)(ca)abc(abc)2(abbcca)(abc)2(abbcca)结合其它数学知识和性质,相应有另外的
7、一些配方形式,如:1sin212sincos(sincos);x(x)2(x)2 ; 等等。2.3示范性典例:例1. 已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_。 A. 2 B. C. 5 D. 6【分析】 先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为x,y,z,则 ,而欲求对角线长,将其配凑成两已知式的组合形式可得。【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知“长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24”而得: 长方体所求对角线长为:5所以选B。【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方
8、法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例2. 设方程的两实根为p、q,若()+()7成立,求实数k的取值范围。【解】方程的两实根为p、q,由韦达定理得:pqk,pq2 ,()+()7,解得-。 又 p、q为方程的两实根, 即k2或k2综合起来,k的取值范围是:k 或者 k。【注】 关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“”;已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到pq、pq后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成pq与pq的组合式。假如本题不对“”讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对
9、“”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视。2.4再现性典例:1. 在正项等比数列a中,aa+2aa+aa=25,则 aa_。2. 方程xy4kx2y5k0表示圆的充要条件是_。 A. k1 B. k1 C. kR D. k或k13. 已知,则的值为_。 A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 0【简解】 1小题:利用等比数列性质aaa,将已知等式左边后配方易求。答案是:5。 2小题:配方成圆的标准方程形式(xa)(yb)r,解r0即可,选B。 3小题:已知等式经配方成(sincos)2sincos1,求出,然后求出所求式的平方值,再开方求解。选C。2.5使用配方法解题时
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