[考研数学]概率论与数理统计复习题.doc
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1、(完整版)考研数学概率论与数理统计复习题概率论与数理统计复习题一:全概率公式和贝叶斯公式例:某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,它们的产量之比为3:2:1,各车间产品的不合格率依次为8,9, 12 。现从该厂产品中任意抽取一件,求:(1)取到不合格产品的概率;(2)若取到的是不合格品,求它是由甲车间生产的概率.解:设A1,A2,A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品不合格,则A1,A2,A3为一个完备事件组。P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6,P(B A1)0。08,P(B A2)0.09,P(B| A3)0。12。由全概率公式P(B) = P(A1)
2、P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B A3) = 0。09由贝叶斯公式:P(A1 B)P(A1B)/P(B) = 4/9练习:市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货,其供应量第一厂家为第二厂家的2倍,第二、三两厂家相等,而且第一、二、三厂家的次品率依次为2,2%,4% 。若在市场上随机购买一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率是多少? 【 0.4 】练习:设两箱内装有同种零件,第一箱装50件,有10件一等品,第二箱装30件,有18件一等品,先从两箱中任挑一箱,再从此箱中前后不放回地任取2个零件,求:(1)取出的零件是一等品的概率;(2)在先取的是一等品的条
3、件下,后取的仍是一等品的条件概率。解:设事件=从第i箱取的零件,=第i次取的零件是一等品(1)P()=P()P()+P()P()=(2)P()=,则P()= 0。485二、连续型随机变量的综合题例:设随机变量X的概率密度函数为求:(1)常数;(2)EX;(3)P1X3;(4)X的分布函数F(x)解:(1)由得到1/2(2)(3)(4)当x0时,当0x2时,当x2时,F(x)=1故练习:已知随机变量X的密度函数为且E(X)=7/12。求:(1)a , b ;(2)X的分布函数F(x) 练习:已知随机变量X的密度函数为求:(1)X的分布函数F(x) ;(2)P0.3X2三、离散型随机变量和分布函数
4、例:设X的分布函数F(x)为: , 则X的概率分布为( )。分析:其分布函数的图形是阶梯形,故x是离散型的随机变量 答案: P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2。练习:设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0。2,P(X=2)=0。3,P(X=3)=0。5,写出其分布函数F(x)。 答案:当x1时,F(x)=0; 当1x2时,F(x)=0.2; 当2x3时,F(x)=0。5;当3x时,F(x)=1 四、二维连续型随机向量例:设与相互独立,且服从的指数分布,服从的指数分布,试求:(1)联合概率密度与联合分布函数;(2);(3)在取值的概率.解:(1)依题知 所以联合
5、概率密度为当时,有所以联合分布函数 (2); (3)练习:设二元随机变量(X,Y)的联合密度是求:(1)关于X的边缘密度函数f X(x);(2)PX50,Y50五、二维离散型随机向量设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机向量(X,Y)的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其他数值填入表中的空白处. 答案: 六、协差矩阵例:已知随机向量(X,Y)的协差矩阵V为计算随机向量(XY, XY)的协差矩阵解:DX=4, DY=9, COV(X,Y)=6D(XY)= DX + DY +2 COV(X,Y)=25D(X-Y) = DX + DY -2 COV(X,Y)=1COV(X
6、Y, XY)=DXDY=5故(XY, XY)的协差矩阵练习:随机向量(X,Y)服从二维正态分布,均值向量及协差矩阵分别为计算随机向量(9XY, XY)的协差矩阵解:E(9X+Y)= 9EX+ E Y91+2E(XY)= EXE Y12D(9XY)=81DX + DY +18 COV(X,Y)=8112181222D(XY)= DX + DY 2 COV(X,Y)=1221222COV(9XY, XY)=9DX-DY8 COV(X,Y)= 91281222然后写出它们的矩阵形式(略)七、随机变量函数的密度函数例:设XU(0,2),则Y=在(0,4)内的概率密度( )。 答案 填:解:XU(0,2
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