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浅析分类讨论思想在数学中的意义及应用

目 录
中文摘要··························································2
外文摘要··························································3
1．分类讨论思想方法的含义
1.1分类讨论思想方法的含义········································4
2．在数学教学中渗透分类讨论思想方法的意义和原则
2.1 什么是数学思想方法和数学思想方法教学的原则··················5
2.2 在数学教学中渗透分类讨论思想方法的意义·······················6
3．数学教学中渗透分类讨论思想方法的实践
3.1 怎样在数学教学中渗透分类讨论思想法····························7
3.2 根据问题中有可能出现的各种情况进行分类讨论····················9
3.3 根据研究对象的不同类型进行分类讨论···························10
3.4 根据曲线类型进行分类讨论·····································11
4. 分类讨论思想在高中数学中的应用
4.1 分类讨论思想在集合中的应用···································12
4.2分类讨论思想在函数中的应用···································12
4.3分类讨论思想在不等式中的应用·································14
4.4分类讨论思想在排列组合中的应用·······························16
4.5 分类讨论思想在数列中的应用···································16
4.6 分类讨论思想在圆锥曲线中的应用·······························17
4.7分类讨论思想在立体几何中的应用·······························18
4.8 分类讨论思想在实际问题中的应用·······························19
结束语····························································20
参考文献··························································21
致谢······························································22

摘要: 分类讨论思想是人们常用的重要思想方法，是重要的数学思想，也是一种逻辑方法。在解数学问题时，通过正确应用分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答。本文首先介绍了分类讨论思想，分类讨论的要求与原则，重点讲述了分类讨论思想在高中数学中的具体应用，最后强调了根据问题的特殊性和简单性，避免分类讨论，简化分类讨论过程，从而提高分类讨论的效果。

关键词：分类讨论思想 正确分类 应用 简化分类

Abstract
Classified discussion thought is commonly used in an important way of thinking, is an important mathematics thought, but also a logical method.In solving mathematical problems, the correct application of classified discussion, can make the complex problem to be clear, complete, exact solution.This paper first introduces the classified discussion thought, discuss the requirements and principles, focus on classified discussion thought in high school mathematics in the specific application, finally emphasizes the particularity of this problem and simplicity, avoid discussion of classification, a simplified classification discussion process, thereby improving the classification to discuss effect.

Key word :Classified discussion thought correct classification using a simplified classification

1. 分类讨论思想方法的含义
1.1分类讨论思想方法的含义
分类讨论法就是对问题进行分情况讨论的方法。当问题含有多种可能的情况，人们难以对它进行统一处理时，可以按其出现的各种情况分类进行讨论，分别得出与分类相应的结论，综合这些结论，便得到问题的答案。这种分析问题，解决问题的方法称为分类讨论法。比如在逻辑学中，是从集合的观点来认识分类讨论法。集合的分类，是指把一个非空集合分成若干非空子集合，这些子集合中任意两个的交是空集，所有子集合的并为原集合。由于任何概念的外延都是集合，所有集合的分类包含了逻辑意义上的概念分类。
在中学教学中，分类讨论法广为使用，几乎贯穿于全部教学过程之中。从横向看，在定义，计算，合情推理与演绎推理，数学证明等方面都有广泛的运用；从纵向看，则运用于中学各年级的所有科目的数学教学之中。
分类讨论是初等数学一种重要的数学思想，它是我们必须具备的数学素养，是思维广阔性的要求，也是思维深刻性，批判性的基础。思维过程是对事物经过分类，将事物区分为一定从属关系的不同等级，从而使知识更加具有层次性和系统化，任何事物都有异同点，按照事物的共性，把事物归为较大的类，再根据差异性把事物划分为较小的类，为事物的认识和再认识创造条件。在解决综合问题或复杂问题时，可将所研究对象的集合按照一定的标准，划分为若干个部分去分析研究，再把分析研究的结果综合起来，从而使问题得以解决。
分类讨论是按照数学对象的相同点和相异点将数学对象区分为不同种类的思想方法：分类讨论是根据需要对研究对象进行分类，然后将划分的每一类别分别进行求解，综合后即得答案。分类讨论贯穿在整个数学学习的全过程，通过分类可以使大量繁杂的材料条理化，系统化，从而为人们进行分门别类的深入研究创造条件，分类讨论不仅在数学知识的探究和概念学习中十分重要，而且在解决数学问题过程中起着重要作用。学会用这种思想方法解决问题，对提高学生思维能力，解决问题能力有很大作用。特别地，有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性，综合性，探索性，能训练人的思维条理层次性和概括性。

2.在数学教学中渗透分类讨论思想方法的意义和原则
分类讨论是一种数学思想方法，那么什么是数学思想方法？下面加以说明。
2.1 什么是数学思想方法和数学思想方法教学的原则
数学思想方法是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙，是层出不穷的数学发现的源泉，是实现数学教学面向全体学生的重要内容。数学教学必须在数学知识的教学和解题活动中突出数学思想方法。
进行知识的教学必须要遵循一定的原则，数学思想方法是数学知识的重要范畴，进行数学思想方法的教学，也应符合一般的教学原则，根据数学思想方法的特性还应该遵循其他一些原则。也就是必须遵循渗透性，反复性，明确性和实践性的教学原则。
数学思想方法在数学教学中具有重要地位，分类讨论法作为数学思想方法，它在数学教学中的作用不言而喻。分类讨论贯穿在整个数学教学之中。通过分类可以使大量繁杂的问题条理化系统化，从而为人们进行分门别类的深入研究创造条件，分类讨论不仅在数学知识和概念学习中十分重要，而且在解决数学问题过程中起着十分重要作用。学会用这种思想方法解决问题，对提高学生思维能力，解决问题的能力有很大作用。特别的，有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性，综合性，探索性，能训练人的思维条理性和概括性。所以在数学教学中渗透分类讨论是非常重要的，而且也是必要的。

2.2 在数学教学中渗透分类讨论思想方法的意义
分类讨论数学思想方法，它应用于函数，方程，不等式，排列组合等各个方面，在初中数学中有许多体现“分类讨论”思想方法的内容，无论在代数还是在几何中都能找到。它们分布在概念的定义，定理的证明，运算的法则（性质），图形（象）的性质和具体问题的解决中。
如在概念的定义中有：有理数的定义；绝对值的定义等。
在定理的证明中有：圆周角定理的证明。
在运算的法则中有：一元一次不等式（组）的解法；一元二次方程根的判别式等。
在图形（象）的性质中有：点和圆，直线和圆，圆和圆的位置关系；函数图像的性质等。
对分类讨论数学思想方法的学习中，常常在存在这样那样的问题。其一在分析问题时分类讨论的意识不强，如在解分式不等式时往往不注意讨论分母的正负，而给不等式的两边同乘以分母。分类讨论时存在盲目性。分类讨论问题的关键是在解决好分类的合理性，而分类的合理性在很大程度上有取决于分类的标准—“分界点”的确定，学生往往就是因为不能准确地确立“分界点”，而导致盲目地使用分类讨论法，以致出现求解的失误。分类讨论时存在的主观性。凡在数学问题的求解中，遇到数量的大小或符号不能确定，图形位置或形状不确定都应分类讨论，但分类讨论应该是在计算推理的过程中自然的展开，而不是一开始就主观的认为应该怎样讨论。
基于以上原因，在教学中应从以下几个方面，对学生加以引导，帮助学生增强分类讨论的意识，克服分类讨论中的盲目性和主观性。①在概念，定义本身就是分类叙述的。如有关双曲线，椭圆，抛物线位置不定的。用分类讨论叙述的某些性质，如在数中含字母的指数或对数不等式。②公式，定理具有分类讨论的附加条件，如等比数列求和公式及求极限问题。具有分类讨论的运算法则。③几何图形具有分类讨论的位置关系。如何进行合理的分类。这是分类讨论思想的核心和灵魂，首先要有扎实的基础知识，同时要掌握好分类的基本原则和分类的步骤.

分类的原则：①分类应该按同一标准进行；②分类应当没有遗漏；③分类应
当没有重复
分类的步骤：①确定要讨论的对象及讨论对象的取值范围；②正确选择分类标准合理分类；③逐类逐段分类讨论；④归纳整合。

3．数学教学中渗透分类讨论思想方法的实践
如何进行合理的分类，这是分类讨论思想的核心。在数学教学中合理分类，是要精心设计的。
3.1 怎样在数学教学中渗透分类讨论思想方法
在数学教学中，从来都存在一种发展的眼光来看待数学思想方法，不仅要求体会概念和结论所蕴含的数学思想方法，同时要求体会他的在后续学习中的作用。它是数学知识发生过程的提炼，抽象概括和升华，要经过教师长期的，有意识的，有目的教学活动去渗透，提示，归纳。并使学生能在后续的学习与解题的实践中去运用与领悟，才能最终转化为他们自己的东西。很显然，数学思想方法教学的渗透性与实践性决定了数学教学中并不直接明显所指，而只能通过精心设计教案，努力营造教学氛围，引导学生积极主动的参与到数学知识的发生和发展过程，或者通过学生的自主学习与主动探究。以这种很自然与合理的方式来揭示，归纳与应用。
案例：已知a∈R,函数f(x)﹦。
(1) 略 （2） 求函数在区间上的最小值。
这是一道以研究函数性质。重点考察学生分类讨论思想方法的问题。但很多学生由于平时学习中对分类讨论思想的掌握与应用不十分扎实，不明白为什么要分类，以谁为分类对象。怎样分类以及这种分类的合理性之所在，以致造成解题思路受阻。
事实上，在研究问题中含有变化不定的动态因素，不能用同一种方法解决或同一种形式叙述时，就要对问题精心分类讨论。本题中由于函数f(x)﹦中含有绝对值符号，如果没有这个“麻烦”，它就是一个三次函数，利用求导就容易解决了。我们自然就想到应该先处理这个“麻烦”。而脱去绝对值符号的方法就是
确定x-a的符号。而x-a的符号是正负都可能，不是对x-a的符号进行分类讨论就必然，这就是要看x与a两个均是变量。故x与a都可以作为分类的对象。若对x分类，则属于定义域分类讨论；若对a分类，则属于对字母参数分类讨论。由于研究函数的性质是在整个定义域内进行的，故划分定义域不是上策，从而参数a 为首选为分类的对象，接下来的问题自然就是以什么标准对a进行分类了。由于函数f(x)的定义域为区间。我们应该想到选择闭区间的两个端点1，2作为标准，将a的范围分为三类：a≤1,1<a<2,a≥2.
(1)当a≤1时，由于，得=0，= ，因为0，均小于1.
故当时,＞0.所以在上为增函数，所以==1-a.
(2)当1<a<2是，在区间上，由，而，0故。
(3) 当a≥2时，由。得=0，= 。因为a≥2，所以,(而。于是自然就产生了一级分类：和2，及和）.
当时，在上为增函数。在上为减函数。所以的最小值应为与的大小，而-=7-3a(与的大小要由7-3a符号确定，于是就产生了下面三级分类)
(1) 当时，
(2) 当时，。
(3) 当时，
这是一道错综负杂的分类讨论综合题，动态因素多，分类层次多，但我们
从上述分析也可看，无论问题多么复杂，分类讨论这一思想方法的选用（分类的原因），分类对象的确定，分类标准的界定以及每一分类层次的产生都有其自然而合理的理由。只要教师教学中更多的去关注这种自然性与合理性，学生对数学思想方法的掌握与使用才能运用自如，得心应手。
在解决数学问题时，由于研究问题过程中出现了不同情况，因而需要对不同情况进行分类研究。通过分类讨论常能化繁为简，更清楚的暴露问题的本质，并增加条件，使问题易于解决，同时，避免丢解。

3.2 根据问题中有可能出现的各种情况进行分类讨论
例1.已知：函数 (a,b为常数)，方程有两个实数为
.
（1）求函数的解析式 （2）设解关于的不等式，（05年，江西）
分析：（1）要求出a,b需要建立关于a,b的方程。
（2）解上述不等式是否需要进行分类讨论？为什么？如果要进行分类讨论，讨论的对象是什么？分类的标准又是什么？
解：（1）将=3，=4分别代入得： 得，所以。
（2）原不等式即为，可化为。
即。由于k的位置（比如k可能在2的左边也可能在2的右边等等）。要最终影响最终的解集，故需要对参数k进行分类讨论。
由数轴得：当时，解集为；
当时，不等式为解集为。
当时，解集是。
小结：先要确定此题分类讨论对象是参数k,注意进一步讨论。不重复，不漏，
此题切忌再去讨论的情况。

3.3 根据研究对象的不同类型进行分类讨论
例2：解关于x的不等式：。
分析：首先这是一个含参数a的不等式，学生很容易认为是一个二次不等式实际上不一定。因为二次项函数是含参数的取值不同使不等式类型发生变化，故需要对二次项系数a分类；（1）。对于（2），不等式易解；对于（1）；又需要再次分类：或，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还在两根之间。而确定这一点滞后，又会遇到1与谁大谁小的问题。因而又需要做一次分类讨论，故而解题时，需要做三次分类讨论。
解：当时，原不等式化为 ，即解集；
当时，原不等式化为，
（1） 若，则原不等式化为，不等式解为；
（2） 若，则原不等式为
（a） 当时，，不等式解集为；
（b） 当时，，不等式解集为；
（c） 当，不等式的解为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当解集为。

3.4 根据曲线类型进行分类讨论
例3: ,问方程表示什么曲线？
分析：对于此题学生很容易想到学习过的椭圆和双曲线标准方程，即想到把原式化成为。但是化成这一种型式的前提条件是。而且的正负会引起曲线类型的不同。因此对要进行分类讨论：。又注意到与（）表示的曲线是不一样的。因此还应该有一个“分界点”。即，故恰当的分类为。
解：（1）当时，方程变为，即，表示直线；
（2）当时，方程变为，即，表示直线；
（3）当时，原方程变为；
(a) 当时，方程表示双曲线；
(b) 当时，方程表示椭圆；
(c) 当时，方程表示圆；
(d) 当时，方程表示椭圆；
(e) 当时，方程表示双曲线。
小结：此题的分类讨论点也是非常多，故需要不重复，不遗漏的分类研究。
例4，的极限是( )
A .2 B.-2, C.0 D. 不存在
分析：这是一个函数极限问题。首先要让学生回忆什么是函数极限，函数极限和已学的数列极限有什么不同？显然通过回忆数列极限是一个数列极限，即有两个意思，应分别考察两种情况下的极限，故此题我们在解决时应分类进行。
解：当时，
由于 ，故该函数极限不存在。
小结：此题就是因为函数极限自身的特点进行了分类研究，如果把题目换成结果是否相同？显然不同，因为是一个数列极限是单侧极限，无需分类讨论，只能选A。

4. 分类讨论思想在高中数学中的应用

4.1分类讨论思想在集合中的应用
在集合运算中也常常需结合元素与集合，集合与集合之间的关系分类讨论，尤其是对一些含参数的集合问题，常需要进行分类讨论求解。
例1：且，求实数a的取值范围。
分析：当 时 ， 的范围与实数a取值的正负号， 与2的大小均有关系，因此必须对a分情况讨论，从而得到集合C,再根据，求出a的取值范围。
解：，

。
当 时， ，因为，所以 ，解得，与 矛盾。
当 时 ， ，因为，所以 ，解得，故。
当时，，因为，所以，解得 ，故。综上可得 。

4.2分类讨论思想在函数中的应用
(1)用分段函数来分类讨论
例.已知函数 ，作函数 的图像 。
分析：是分段函数，没有统一的表达式，所以按其零点分区间讨论。
解：当 时，；
当 时，；
当 时， ；
即
故 的函数图像为如图（1）所示： 图（1）
(2)函数中含参数的分类讨论
例1.已知函数 在区间 上有最小值，记作,求 的函数表达式。
分析：本题涉及到二次函数对称轴的相对题设区间位置，故根据对称轴的不同位置加以分类讨论。
解：原式配方得 ，其对称轴方程为，
当 时，即 时， 在 上递增，
时，；
当时，即 时，在 处有最小值，；
当 即 时， 在 上单调递减，
时 ，；
综上所述可得

4.3分类讨论思想在不等式中的应用
涉及运算要求的分类讨论.
我们在解题过程中，往往将式子变形或转化为另外一个式子来进行解题和运算，很多变形和运算是受条件限制的，如解不等式当两边同时乘（除）以一个代数式时，要考虑代数式的值是否为负；解无理不等式时，去掉根号要考虑两边是否都大于0等等。
解不等式 。
分析： 解此不等式需要去掉根号，而去掉根号时，需要考虑两边是否同为正，才能同时平方而不改变不等号方向，因此根据运算要求进行分类讨论。
解： 原不等式等价于 或
解得或.
原不等式解集为.
含参数不等式的分类讨论
解关于的不等式.
分析：原不等式是关于的一元二次不等式,可化为.
由于与无法确定，此不等式无法解下去，因此对 进行讨论，讨论的着眼点应该在与的大小上。
解：(1) 当 时,,不等式的解集为 或;
(2) 当 时,,不等式解集为且；
(3)当 时，,不等式解集为且；
(4)当 或 时，,不等式.

4.4分类讨论思想在排列组合中的应用

分类讨论思想在排列组合中也常见，尤其是解含有约束条件的排列组合问题时，运用分类讨论的方法可以把复杂的问题化为简单的问题。
在正方体的8个顶点中，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中 心共27个点中，共线的三点组的个数是多少？
解：依题意，共线的三点组可以分为三类：
两端点皆为顶点的共线三点组,共有(个)；
两端点皆为面的中心的共线三点组,共有(个)；
两端点皆为各棱中点的共线三点组,共有(个)；
所以总共有(个).
例3：（08年海南、宁夏卷）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一个人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排共有多少方法？
解： 本题考查排列组合，按甲参加的日期分类：
(1)甲周一参加，乙和丙在剩下的4天中选两天参加，共有种；
(2)甲周二参加，同理可知有种；
(3)甲周三参加，有 种；
根据加法原理可知，总共有种.
4.5 分类讨论思想在数列中的应用
在有些数列问题中存在不确定的因素，如等比数列的公比q 是否为1；数列的项的个数为偶数还是奇数等等，就那样的数列问题，我们要进行分类讨论。
已知数列求它的前n 项和。
分析：本题未指明数列为等比数列,所以分类讨论时还要考虑 这一情况。
解： 设，
当时,；
当 时,；
当且 时，
由
得，
两式相减 ：
，

综上所述

已知数列的前和为，满足关系式 ，且，若，求数列的前项的和.
解：当时,由.得；
当时，由，得。
,，即是首项为1，公差为2 的等差数列,从而，。
当，即偶数时，

；
当，即奇数时，
。
综上所述 。

4.6 分类讨论思想在圆锥曲线中的应用
例1 如图（二）所示，给定点和直线上的动点， 的角平分线交于点，求点的轨迹方程，并说什么曲线。 （1999年全国卷）
（ 图二）
分析：由于动点 因 点在直线L 上的位置的变动而变化，故设出 点的坐标为（-1，b）(b为参数)，由题意知C 点应为b 的表达式，消去参数，即得C点的轨迹方程。本体的关键是如何求C点的坐标,方法有多种，如利用角平分线的定义，性质可得。
解：依题意，记，则直线和的方程分别为和 。
设点，则有，
由点到直线的距离公式得 ①
点 在直线上，故，由 得 ②
将②代入① 得
.
若，则；
若,则,，点的坐标为，满足上式。
综上得点 的轨迹方程为
.
此轨迹方程里含有参数 a ,因参数a 的值的不同而导致曲线的形状不同，从而需要对参数a 分情况讨论。
（1） 当 时，方程化为 ③
此时，方程 ③ 表示为抛物线弧段；
（2） 当时，轨迹方程为 ④
所以，当 时，方程 ④ 表示椭圆弧段，
当时，方程 ④ 表示双曲线支的弧段。
4.7分类讨论思想在立体几何中的应用
点，线，面是组成几何图形的三个要素，有些立体几何题中，这三者的位置关系是不确定的，因此要对每种情况进行分类讨论求解，这样防止漏解。下面一题是涉及点与线的位置关系不确定的分类讨论。
例1：线段与平面平行,平面 的斜线, 与平面 所称的角分别为和，且,,,，求与平面 的距离。
分析：作，垂足为，则即为所求距离。
作，垂足为，，，由已知可证面，同理可证面， 面面，由面面平行的性质定理可知。
考虑到在的同侧或异侧，所以分两种情况讨论。
解：（1）如图（三），在的同侧时,点 作，垂足为，由已知，，设，则可用 表示，在中，利用勾股定理列方程，解得。

如图（四），在 异侧 时，在平面内作，交其延长线于，同理可得。

4.8 分类讨论思想在实际问题中的应用
近几年来，高考命题从知识转向能力测试，出现了大量有鲜活背景
的实际应用题，这种应用题，这种应用题，往往需要有分类讨论的思想才能顺利解决。其解题思路是:用数学的语言加以表达和交流，敏捷的接受试题所提供的信息，并和所学的有关知识相结合，确定适当的分类标准，把一个复杂的应用题分解成几个较简单的问题，从而使问题获解。

1.批货物，如在本月初出售，可获利10万元，然后将本利都存入银行，每月利率为2.4%，如在下月出售，可获利12万元，但要付0.5万元货物保管费，试问这批货物在本月初出售合算还是下月初出售合算？
解：设这批货物的成本 万元。
若这批货物在本月初出售，将本利存入银行，到下月初货主有金额为 ；
若这批货物在下月初出售，货主有金额为
，
当成本 时，应该本月初出售合算；
当成本时，在本月初出售或下月初出售都一样；
当成本 时，在下月初出售合算。

结束语
分类思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫逻辑划分。不论是宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象，发展科学必不可少的思想，因此分类讨论思想既是一种逻辑方法，也是一种数学思想，在数学教学中运用这一思想，必能构解决许多问题，为课堂加血带来许多亮点，使学生学习数学中越来越有兴趣，越来越有激情。使课堂大放光彩，让学生在轻松愉快的学习之中获得知识，同时也获得这一分类讨论的思想与方法。
分类讨论思想在解答某些数学问题时,因为存在一些不确定的因素,解答无法用统一的方法或结论不能给出统一的表述,对这类问题依情况加以分类,并逐类求解,然后综合求解,这种解题的方法叫分类讨论法,它是一种极其重要的数学思想方法.分类讨论设计全部初中数学的知识点，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做出既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。

参考文献
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18.高考真题随时练---数学（理科），天利38套，西藏人民出版社

目 录
第一章 总论 1
第一节 项目背景 1
第二节 项目概况 2
第二章 项目建设必要性 5
第三章 市场分析与建设规模 7
第一节 汽车市场需求分析 7
第二节 市场预测 12
第三节 项目产品市场分析 13
第四节 建设规模 16
第四章 场址选择 17
第一节 场址所在位置现状 17
第二节 场址建设条件 17
第五章 技术方案、设备方案、工程方案 22
第一节 技术方案 22
第二节 设备方案 28
第三节 工程方案 33
第六章 原材料、燃料供应 38
第七章 总图布置与公用辅助工程 39
第一节 总图布置 39
第二节 公用辅助工程 43
第八章 环境影响评价 52
第一节 环境保护设计依据 52
第二节 项目建设和生产对环境的影响 52
第三节 环境保护措施 54
第四节 环境影响评价 56
第九章 劳动安全卫生与消防 57
第一节 劳动安全卫生 57
第二节 消防 64
第十章 节能与节能措施 67
第一节 项目概况 67
第二节 项目综合能耗 69
第三节 节约及合理利用能源的主要措施 71
第十一章 项目实施进度与人力资源配置 76
第一节 建设工期 76
第一节 项目实施进度 76
第二节 生产组织与人员培训 79
第十二章 投资估算与资金筹措 82
第一节 建设投资估算 82
第二节 总投资估算 86
第三节 资金筹措 86
第十四章 财务效益分析 88
第一节 财务评价基础数据与参数选取 88
第二节 销售收入及销售税金估算 89
第三节 成本费用估算 89
第四节 财务评价 91
第五节 不确定性分析 93
第十三章 风险分析 95
第十四章 结论与建议 97
第一节 研究结论 97
第二节 建议 97