数值方法优秀课程设计幂法反幂法计算矩阵特征值和特征向量附Matlab程序.docx

矩阵特征值和特征向量计算

摘 要

物理，力学，工程技术中很多问题在数学上全部归结于求矩阵特征值问题，比如振动问题（桥梁振动，机械振动，电磁振动等）、物理学中一些临界值确实定问题和理论物理中部分问题。矩阵特征值计算在矩阵计算中是一个很关键部分，本文使用幂法和反幂法分别求矩阵按模最大，按模最小特征向量及对应特征值。
幂法是一个计算矩阵主特征值一个迭代法，它最大优点是方法简单，对于稀疏矩阵比较适宜，但有时收敛速度很慢。其基础思想是任取一个非零初始向量。由所求矩阵结构一向量序列。再经过所结构向量序列求出特征值和特征向量。
反幂法用来计算矩阵按模最小特征向量及其特征值，及计算对应于一个给定近似特征值特征向量。本文中关键使用反幂法计算一个矩阵按模最小特征向量及其对应特征值。计算矩阵按模最小特征向量基础思想是将其转化为求逆矩阵按模最大特征向量。然后经过这个按模最大特征向量反推出原矩阵按模最小特征向量。

关键词： 矩阵；特征值；特征向量；冥法；反冥法

THE CALCULATIONS OF EIGENVALUE AND EIGENVECTOR OF MATRIX

ABSTRACT

Physics, mechanics, engineering technology in a lot of problems in mathematics are attributed to matrix eigenvalue problem, such as vibration (vibration of the bridge, mechanical vibration, electromagnetic vibration, etc.) in physics, some critical values determine problems and theoretical physics in some of the problems. Matrix eigenvalue calculation is a very important part in matrix computation. In this paper, we use the power method and inverse power method to calculate the maximum of the matrix, according to the minimum characteristic vector and the corresponding characteristic value.
Power method is an iterative method to calculate the eigenvalues of a matrix. It has the advantage that the method is simple and suitable for sparse matrices, but sometimes the convergence rate is very slow. The basic idea is to take a non - zero initial vector. Construct a vector sequence from the matrix of the matrix. Then the eigenvalues and eigenvectors are obtained by using the constructed vector sequence.
The inverse power method is used to calculate the minimum feature vectors and their eigenvalues of the matrix, and to calculate the eigenvalues of the matrix. In this paper, we use the inverse power method to calculate the minimum eigenvalue of a matrix and its corresponding eigenvalues. The basic idea of calculating the minimum characteristic vector of a matrix is to transform it to the maximum characteristic vector of the modulus of the inverse matrix. Then, according to the model, the minimum feature vector of the original matrix is introduced.

Key words: Matrix；Eigenvalue；Eigenvector；Iteration methods;

目 录

1 引言............................................................1
2 相关定理。......................................................1
3 符号说明........................................................2
4 冥法及反冥法....................................................2
4.1冥法.........................................................3
4.2反冥法.......................................................8
5 QR算法.........................................................14
参考文件.........................................................18
附录............................................................19

1 引言

在本论文中，我们关键讨论矩阵特征值和特征向量计算，我们知道，有很多现实中问题全部能够用到矩阵特征值和特征向量计算知识，比如，在物理、力学和工程技术方面有很多应用，而且发挥着极其关键作用.因为这些问题全部可归结为求矩阵特征值问题，具体到部分具体问题，如振动问题，物理中一些临界值确实定问题和部分理论物理中问题.
在本论文中，我们关键介绍求矩阵特征值和特征向量部分原理和方法，原理包含高得代数中矩阵相关定理，方法关键介绍冥法及反冥法并利用MATLAB算法程序来求解相关问题，加以验证.

2 相关定理

定理2.1 假如 是矩阵A特征值，则有

定理2.2 设A和B为相同矩阵，则
A和B有相同特征值；
若是一个特征向量，则是A特征向量
定理2.3 设，则A每一个特征值必属于下述某个圆盘之中：

定义2.1 设A是n阶是对称矩阵，对于任意非零向量x，称为对应于向量xRayleigh商.
定理2.4 设为对称矩阵（其特征值次序记作，对应特征向量组成规范化正交组，即），则
（对于任何非零向量x）；

3 符号说明

A:n阶矩阵
B:n阶矩阵
I：n阶单位阵
:矩阵特征值
x:实数域上n维向量
：实数域上n维向量
：实属上规范化向量

4 冥法及反冥法

4.1 冥法
幂法是一个计算矩阵主特征值一个迭代法，它最大优点是方法简单，适合于计算大型稀疏矩阵主特征值.

设，其特征值为，对应特征向量为即

且线性无关.设特征值满足：（即为强占优）
（4.1.1）
幂法基础思想，是任取一个非零初始向量，由矩阵乘幂结构一向量序列
(4.1.2)
称为迭代向量.
下面来分折.
由设为中一个基础，于是，有展开式 （且设）
且有
(4.1.3 )

由假设（4.1.1）式,则

即

且收敛速度由比值确定.且有
（4．1.4）

这说明，当充足大时，有，或越来越靠近特征向量.
下面考虑主特征值计算.
用表示第个分量，考虑相邻迭代向量分量比值.

从而是
(4.1.5)
说明相邻迭代向量分量比值收敛到主特征,且收敛速度由比值来度量,越小收敛越快,但越小收敛越快,但,而靠近于1时,收敛可能很慢.
定理4.1 （1）设n个线性无关特征向量：
（2）设特征值满足

（3）幂法：
）
则 （1）；
（2）
假如主特征值为实重根，即有

又设A有个线性无关特征向量，其中

对于任意初始向量

则由幂法有

且有
（设不全为零）

由此，当充足大时，靠近于和对应特征向量某个线性组合.
应用幂法计算主特征值及对应特征向量时，假如），迭代向量各个不等于零分量将随而趋于无究（或趋于零），这么电算时就可能溢出.为此，就南非要将迭代向量加以规范化.
设有非零向量

其中表示向量绝对值最大元素，即假如有草药则

其中为全部绝对值最大分量中最小指标.
显然有下面性性质：
设，则

在定理4.1条件下幂法可改善为：
任取初始向量.
迭代： 规范化：
，
（4.1．6）

于是，由上式产生迭代向量序列及规范化向量
且改善幂法计算公式为：
设
对于
（4.1.7）
下面考查和计算关系.
由
且有 （4.1.8）
其中
(1) 考查规范化向量序列:
由(4.1.7)及(4.1.8)式,则有

(2) 考查迭代向量序列:

于是，

定理 (改善幂法)
(1) 设有个线性无关特征向量;
(2) 设特征值满足

且
(3)由改善幂法得到((4.1.7)式),则有
(a)
(b)
且收敛速度由比值确定.
实现幂法，每迭代一次关键是计算一次矩阵乘向量，可编一个子程序求矩阵按模最大特征值以下：
%这个函数用于使用幂法求矩阵特征向量和特征值
%A--矩阵，v--初始向量，e--精度
function [t,p]=pm(A,v,e)
u=v./max(abs(v));%
old = 0;%统计上一次迭代得到特征值
while(1)
v=A*u;
u=v./max(abs(v));
if(abs(max(v)-old)<e)
break;
end
old = max(v);
end
p = u;
t = max(v);
end

例1.为检验以上代码正确性，我们使用以上代码计算以下矩阵最大特征值和特征向量

结果为：

例2.利用你所编制子程序求以下矩阵（从60到70阶）

按模最大、按模最小特征值及对应特征向量。

解：代码见附录，运行得到结果以下：

以上仅给出特征值计算结果。特征向量见附录，这里给出70阶特征向量：
[0.58 -0.94 1.00 -0.81 0.54 -0.29 0.13 -0.05 0.01 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.01 -0.05 0.13 -0.29 0.54 -0.81 1.00 -0.94 0.58 ]

4.2 反冥法
(1) 反幂法可用来计算矩阵按模最小特征值及对应特征向量.
设为非厅异矩阵，特征值满足

对应特征向量为线性无关，则特征求值为

特征向量为
所以计算按模最小特征值部题就是计算按模最大特征值部题.
对于应用幂法迭代（称为反幂法），可求矩阵主特征值.
反幂法迭代公式：
任取初始向量，
1，2，…
（4.2.1）
其中迭代向量可经过解方程组求得:

假如个线性无关特征向量且特征值满足:

则由反幂法(2.11)结构向量序列满足

且收敛速度由比值确定.
（2）应用反幂法求一个似特征值对应特征向量.
～
设已知特征值一个近似值（通常是用其它方法得到），现要求对应特征向量（近似），在反幂法中也可用原点平移法来加速收敛.
假如存在，显然，特征值为

对应特征向量.
～
现取（但不能取），且设和其它特征值是分离，即
《
即 》
说明是主特征值.
现对应用幂法得到反幂法计算公式：
取初始向量

（4.2.2）
和定理8证实类似,可得下述结果.
～
定理10 （1）设有个线性无关特征向量即.
（2）取（为特征值一个近似值），设存在且
《
则由反幂法迭代公式（2，12）结构向量序列满足：

或
且收敛速度由比值

确定.
由定理可知，反幂法计算公式（4.2.2）可用计算特征向量.选择是一个近似且特征值分离情况很好，通常很小，所以迭代过程收敛较快，同时改善特征值.
反幂法迭代公式中是以经过解方程组

求得.为了节省计算量，可先将进行三角分解.

其中为置换阵，于是每次迭代求相当于求解两个三角形方程组

可按下述方法取，即选使

回代求解即求得.
反幂法计算公式：
1．分解计算
，且保留及信息
2．反幂法迭代
（1）

（2）
1）求
求
2）
3）
～
对于计算对称三对角阵，或计算Hessenberg阵对应于一个给定近似特征值特征向量，反幂法是一个有效方法.
使用Matlab编写一个使用反幂法求矩阵最小特征值和特征向量程序以下：
function [s,y]=fpm(A,x0,eps) % s 为按模最小特征值，y是对应特征向量
k=1;
r=0; % r相当于0?
y=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量
[L,U]=lu(A);
z=L\y;
x=U\z;
u=max(x);
s=1/u; % 按模最小为A-1按模最大倒数.
if abs(u-r)<eps % 判定第一次迭代后是否满足终止条件
return
end
while abs(u-r)>eps % 终止条件.
k=k+1;
r=u;
y=x./max(abs(x));
z=L\y;
x=U\z;
u=max(x);
end
[m,index]=max(abs(x)); % 这两步确保取出来按模最大特征值
s=1/x(index); % 是原值，而非其绝对值。
end

一样，取一个矩阵进行测试：

计算结果为：

例2.利用你所编制子程序求以下矩阵（从60到70阶）

按模最小特征值及对应特征向量。
代码见附录，程序结果以下图：

一样只给出70阶时特征值，具体结果见附录
[0.04 0.09 0.13 0.18 0.22 0.26 0.30 0.35 0.39 0.43 0.47 0.51 0.54 0.58 0.62 0.65 0.68 0.72 0.75 0.77 0.80 0.83 0.85 0.87 0.89 0.91 0.93 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 0.99 0.98 0.97 0.96 0.95 0.93 0.91 0.89 0.87 0.85 0.83 0.80 0.77 0.75 0.72 0.68 0.65 0.62 0.58 0.54 0.51 0.47 0.43 0.39 0.35 0.30 0.26 0.22 0.18 0.13 0.09 0.04 ]

参 考 文 献

[1] 姜启源，谢金星，叶俊编．数学模型（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，：1-202.
[2] 王建卫，曲中水 凌滨编著. MATLAB 7.X 程序设计[M]. 北京：中国水利水电出版社，：55-80.
[3] 李庆扬，王能超，易大义编著.数值分析（第四版）[M]. 武汉：华中科技大学出版社，：219-245.

附 录

%这个函数用来生成老师要求记算那个矩阵，n是指定阶数
function A=createMatrix(n)
A = zeros(n);%先全部初始化为0
for i=1:n
for j=1:n
if(i==j)
A(i,j)=2;%设置主对角线上值为2
else if(i==j-1 || i==j+1)%设置主对角线傍边两条斜线上值为-1
A(i,j)=-1;
end
end
end
end

%这个函数用于使用幂法求矩阵特征向量和特征值
%A--矩阵，v--初始向量，e--精度
function [t,p]=pm(A,v,e)
u=v./max(abs(v));%
old = 0;%统计上一次迭代得到特征值
while(1)
v=A*u;
u=v./max(abs(v));
if(abs(max(v)-old)<e)
break;
end
old = max(v);
end
p = u;
t = max(v);
end

%这个程序用于求60-60阶矩阵特征值和特征向量
clc
clear
e = 0.01;
for i=60:70
A = createMatrix(i);%生成要计算矩阵
v = ones(i,1);%生成初始微量
v(1) = 1;
[t,p] = pm(A,v,e);%计算
fprintf('%d阶 特征值：%f\n',i,t);%输出特征值
%以下三句代码为输出特征值和特征微量
% fprintf('%d阶:%f [',i,t);
% fprintf('%.2f ',p);
% fprintf(']\n');
end

% 使用反幂法求矩阵按模最小特征值
function [s,y]=fpm(A,x0,eps) % s 为按模最小特征值，y是对应特征向量
k=1;
r=0; % r相当于0?
y=x0./max(abs(x0)); % 规范化初始向量
[L,U]=lu(A);
z=L\y;
x=U\z;
u=max(x);
s=1/u; % 按模最小为A-1按模最大倒数.
if abs(u-r)<eps % 判定第一次迭代后是否满足终止条件
return
end
while abs(u-r)>eps % 终止条件.
k=k+1;
r=u;
y=x./max(abs(x));
z=L\y;
x=U\z;
u=max(x);
end
[m,index]=max(abs(x)); % 这两步确保取出来按模最大特征值
s=1/x(index); % 是原值，而非其绝对值。
end

%这个程序用于使用反幂法求60-60阶矩阵特征值和特征向量
clc
clear
e = 0.01;
for i=60:70
A = createMatrix(i);
v = ones(i,1);
v(1) = 1;
[t,p] = fpm(A,v,e);
% fprintf('%d阶 特征值：%f\n',i,t);
fprintf('%d阶:%f [',i,t);
fprintf('%.2f ',p);
fprintf(']\n');
end

使用幂法求矩阵最大特征值和特征向量结果：
60阶:3.754011 [0.58 -0.94 1.00 -0.81 0.54 -0.29 0.13 -0.05 0.01 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.01 -0.05 0.13 -0.29 0.54 -0.81 1.00 -0.94 0.58 ]

61阶:3.754011 [0.58 -0.94 1.00 -0.81 0.54 -0.29 0.13 -0.05 0.01 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.01 -0.05 0.13 -0.29 0.54 -0.81 1.00 -0.94 0.58 ]

62阶:3.754011 [0.58 -0.94 1.00 -0.81 0.54 -0.29 0.13 -0.05 0.01 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.01 -0.05 0.13 -0.29 0.54 -0.81 1.00 -0.94 0.58 ]

63阶:3.754011 [0.58 -0.94 1.00 -0.81 0.54 -0.29 0.13 -0.05 0.01 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.01 -0.05 0.13 -0.29 0.54 -0.81 1.00 -0.94 0.58 ]

64阶:3.754011 [0.58 -0.94 1.00 -0.81 0.54 -0.29 0.13 -0.05 0.01 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.01 -0.05 0.13 -0.29 0.54 -0.81 1.00 -0.94 0.58 ]

65阶:3.754011 [0.58 -0.94 1.00 -0.81 0.54 -0.29 0.13 -0.05 0.01 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.01 -0.05 0.13 -0.29 0.54 -0.81 1.00 -0.94 0.58 ]

66阶:3.754011 [0.58 -0.94 1.00 -0.81 0.54 -0.29 0.13 -0.05 0.01 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.01 -0.05 0.13 -0.29 0.54 -0.81 1.00 -0.94 0.58 ]

67阶:3.754011 [0.58 -0.94 1.00 -0.81 0.54 -0.29 0.13 -0.05 0.01 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.01 -0.05 0.13 -0.29 0.54 -0.81 1.00 -0.94 0.58 ]

68阶:3.754011 [0.58 -0.94 1.00 -0.81 0.54 -0.29 0.13 -0.05 0.01 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.01 -0.05 0.13 -0.29 0.54 -0.81 1.00 -0.94 0.58 ]

69阶:3.754011 [0.58 -0.94 1.00 -0.81 0.54 -0.29 0.13 -0.05 0.01 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.01 -0.05 0.13 -0.29 0.54 -0.81 1.00 -0.94 0.58 ]

70阶:3.754011 [0.58 -0.94 1.00 -0.81 0.54 -0.29 0.13 -0.05 0.01 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.00 -0.00 0.01 -0.05 0.13 -0.29 0.54 -0.81 1.00 -0.94 0.58 ]

使用反幂法求矩阵按模最小特征值和特征向量结果：
60阶:0.002652 [0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.49 0.54 0.58 0.62 0.66 0.70 0.73 0.77 0.80 0.83 0.86 0.88 0.91 0.93 0.94 0.96 0.97 0.98 0.99 1.00 1.00 1.00 1.00 0.99 0.98 0.97 0.96 0.94 0.93 0.91 0.88 0.86 0.83 0.80 0.77 0.73 0.70 0.66 0.62 0.58 0.54 0.49 0.45 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 ]

61阶:0.002567 [0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.39 0.44 0.49 0.53 0.57 0.61 0.65 0.69 0.72 0.76 0.79 0.82 0.85 0.87 0.90 0.92 0.94 0.95 0.97 0.98 0.99 0.99 1.00 1.00 1.00 0.99 0.99