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项目四--无穷级数光盘版.doc
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1、项目四 无穷级数 实验 无穷级数(基础实验) 实验目的观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的逼近. 掌握用Mathematica求无穷级数的和, 求幂级数的收敛域, 展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法. 基本命令 1. 求无穷和的命令Sum 该命令可用来求无穷和. 例如,输入 Sum1/n2,n,l,Infinity则输出无穷级数的和为 命令Sum与数学中的求和号相当. 2. 将函数展开为幂级数的命令Series 该命令的基本格式为 Seriesfx,x,x0,n它将展开成关于的幂级数. 幂级数的最高次幂为余项用表示. 例如,输入 Seri
2、esyx,x,0,5则输出带皮亚诺余项的麦克劳林级数 3. 去掉余项的命令Normal在将展开成幂级数后, 有时为了近似计算或作图, 需要把余项去掉. 只要使用Normal命令. 例如,输入 SeriesExpx,x,0,6 Normal%则输出 4. 强制求值的命令Evaluate如果函数是用Normal命令定义的, 则当对它进行作图或数值计算时, 可能会出现问题. 例如,输入fx=NormalSeriesExpx,x,0,3Plotfx,x,-3,3则只能输出去掉余项后的展开式 而得不到函数的图形. 这时要使用强制求值命令Evaluate, 改成输入 PlotEvaluatefx,x,-3
3、,3则输出上述函数的图形.5. 作散点图的命令ListPlot ListPlot 为平面内作散点图的命令, 其对象是数集,例如,输入ListPlotTablej2,j,16,PlotStyle-PointSize0,012矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。则输出坐标为的散点图(图1.1).图1.16. 符号“/;”用于定义某种规则,“/;”后面是条件. 例如,输入Clearg,gf;gx_:=x/;0=x1gx_:=-x/;-1=x=1则得到分段的周期函数再输入 gf=Plotgx,x,-1,6则输出函数的图形1.2.图1.2注:用Which命令也可以定义分段函数, 从这个例子中看到用“(表达式)/; (
4、条件)”来定义周期性分段函数更方便些. 用Plot命令可以作出分段函数的图形, 但用Mathematica命令求分段函数的导数或积分时往往会有问题. 用Which定义的分段函数可以求导但不能积分. Mathematica内部函数中有一些也是分段函数. 如:Modx,1,Absx,Floorx和UnitStepx.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。其中只有单位阶跃函数UnitStepx可以用Mathematica命令来求导和求定积分. 因此在求分残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。段函数的傅里叶系数时, 对分段函数的积分往往要分区来积. 在被积函数可以用单位阶跃函数UnitStep的四则运算和复合运算表达时, 计算傅里叶
5、系数就比较方便了. 实验举例 数项级数例1.1 (教材 例1.1)(1) 观察级数的部分和序列的变化趋势.(2) 观察级数的部分和序列的变化趋势.输入sn_=Sum1/k2,k,n;data=Tablesn,n,100;ListPlotdata;NSum1/k2,k,InfinityNSum1/k2,k,Infinity,40则输出(1)中级数部分和的变化趋势图1.3.图1.3级数的近似值为1.64493.输入sn_=Sum1/k,k,n;data=Tablesn,n,50;ListPlotdata,PlotStyle-PointSize0.02;则输出(2)中级数部分和的的变化趋势图1.4.
6、图1.4例1.2 (教材 例1.2) 画出级数的部分和分布图.输入命令Clearsn,g;sn=0;n=1;g=;m=3;While1/n10-m,sn=sn+(-1)(n-1)/n;g=Appendg,GraphicsRGBColorAbsSinn,0,1/n,Linesn,0,sn,1;n+;Showg,PlotRange-0.2,1.3,Axes-True;则输出所给级数部分和的图形(图1.5),从图中可观察到它收敛于0.693附近的一个数.图1.5例1.3 求的值.输入 Sumx(3k),k,1,Infinity得到和函数 例1.4 (教材 例1.3) 设 求. 输入Cleara;an
7、_=10n/(n!);vals=Tablean,n,1,25;ListPlotvals,PlotStyle-PointSize0.012则输出的散点图(1.6),从图中可观察的变化趋势. 输入 Suman,n,l,Infinity则输出所求级数的和.图1.6求幂级数的收敛域 例1.5 (教材 例1.4) 求的收敛域与和函数. 输入Cleara;an_=4(2n)*(x-3)n/(n+1);stepone=an+1/an/Simplify则输出 再输入 steptwo=Limitstepone,n-Infinity则输出 这里对an+1和an都没有加绝对值. 因此上式的绝对值小于1时, 幂级数收
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