柯西不等式.doc
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1、柯西不等式1学习目标: 1. 认识二维柯西不等式的几种形式,理解它们的几何意义; 2. 会证明二维柯西不等式及向量形式知识情景: 1. 定理1 如果, 那么. 当且仅当时, 等号成立.当时,由基本不等式: 2. 如果, 那么, 另一方面,有 问题: 新知建构: 1. 柯西不等式:若,则. 当且仅当 时, 等号成立. 此即二维形式的柯西不等式. 证法10.(综合法) 当且仅当 时, 等号成立. 证法20.(构造法) 分析: 而的结构特征 那么, 证:设, 0 恒成立. . 得证. 证法30.(向量法)设向量, 则,. ,且,有. . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式: 变式10.若,则 或;变
2、式20. 若,则 ; 变式30. 若,则. 几何意义: 3. 二维柯西不等式的应用: 例4 . 选修4-5练习 . 1A 2、B 33 4 5 6、 求函数的最大值?;7、已知,求的最小值.8、若,求证:.9、已知,且,则的最小值.10、若,求证:. 11、 已知点及直线 用柯西不等式推导点到直线的距离公式12、已知求证:。 13、解方程 练习 6分析:如何变形? 构造柯西不等式的形式 板演 变式: 推广:7(凑配法).8分析:如何变形后利用柯西不等式? (注意对比 构造) 要点:9要点:. 其它证法10、要点: 11、设点是直线上的任意一点, 则 (1) 点两点间的距离: (2) 的最小值就
3、是点到直线的距离, 由(1)(2)得: 即 (3) 当且仅当 (3)式取等号 即点到直线的距离公式即12. 证明:由柯西不等式,得 当且仅当时,上式取等号, 于是 。 13.解: = 由柯西不等式知 即 当上式取等号时有成立,即(无实根) 或,即,经检验,原方程的根为柯西不等式2学习目标: 1. 熟悉一般形式的柯西不等式,理解柯西不等式的证明; 2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式,等一些问题知识情景:1. 柯西主要贡献简介: 柯西(Cauchy),法国人,生于1789年,是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定 了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字,如柯西收敛原
4、理、柯西中值 定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等. 2.二维形式的柯西不等式: 若, 则 . 当且仅当 时, 等号成立. 变式10. 若,则或; 变式20. 若,则 ; 变式30.(三角形不等式)设为任意实数,则: 3. 一般形式的柯西不等式:设为大于1的自然数,(1,2,), 则: . 当且仅当 时, 等号成立. (若时,约定,1,2,). 变式10. 设 则: . 当且仅当 时, 等号成立. 变式20. 设 则:. 当且仅当时,等号成立. 变式30. (积分形式)设与都在可积, 则, 当且仅当时,等号成立. 如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系,那么这个定理
5、肯定很重要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的! 柯西不等式的应用: 例1. 已知实数满足, . 试求的最值 例2 在实数集内 解方程 例3 设是三角形内的一点,是到三边的距离,是外接圆 的半径, 证明 例4 (证明恒等式) 已知 求证:。例5 (证明不等式)设 求证:选修4-5练习 1、已知,求证: 2、已知是不全相等的正数,求证: 3、已知. 4、 设 求证: 5、已知实数满足, 求的取值范围. 6、已知 且 求证: 7、已知正数满足 证明 8、解方程组 9、若n是不小于2的正整数,试证:。 参考答案:
6、 一般形式的柯西不等式: 设为大于1的自然数,(1,2,),则:, 其中等号当且仅当时成立(当时,约定,1,2,). 等号成立当且仅当 柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的 不等式,而且它对初等数学也有很可的指导作用,利用它能高远瞩、居高临下,从而方便 地解决一些中学数学中的有关问题。例1 解:由柯西不等式得,有 即 由条件可得, 解得,当且仅当 时等号成立, 代入时, 时 例2解:由柯西不等式,得 又. 即不等式中只有等号成立. 从而由柯西不等式中等号成立的条件,得它与联立,可得 例3证明:由柯西不等式得,记为的面积,则故不等式成立。例4 证明:由柯西不等式,得 当且仅当时,上式取等号
7、, 于是 。 例5 分析:这道题初看似乎无法使用柯西不等式,但改变其结构,我们不妨改为证:证明:为了运用柯西不等式,我们将写成于是 即 故我们进一步观察柯西不等式,可以发现其特点是:不等式左边是两个因式这和,其中每一个因式都是项平方和,右边是左边中对立的两两乘积之和的平方,证题时,只要能将原题凑成此种形式,就可以引用柯西不等式来证明。练习 1证: 2、 3 4、 5 6 7证明:利用柯西不等式 又因为 在此不等式两边同乘以2,再加上得:故8. 解:原方程组可化为 运用柯西不等式得, 两式相乘,得 当且仅当x=y=z=w=3时取等号。故原方程组的解为x=y=z=w=3.9、证明: 所以求证式等价
8、于 由柯西不等式有 于是: 又由柯西不等式有 二项式定理教学目标:1理解和掌握二项式系数的性质,并会简单的应用; 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题;3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质,提高分析问题和解决问题的能力教学重点:二项式系数的性质及其对性质的理解和应用教学难点:二项式系数的性质及其对性质的理解和应用课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:一、复习引入:1二项式定理及其特例:(1),(2).2二项展开式的通项公式: 3求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对的限制;求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课:1二项式系
9、数表(杨辉三角)展开式的二项式系数,当依次取时,二项式系数表,表中每行两端都是,除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2二项式系数的性质:展开式的二项式系数是,可以看成以为自变量的函数定义域是,例当时,其图象是个孤立的点(如图)(1)对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等()直线是图象的对称轴(2)增减性与最大值,相对于的增减情况由决定,当时,二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值;当是偶数时,中间一项取得最大值;当是奇数时,中间两项,取得最大值(3)各二项式系数和:,令,则 三、讲解范例:例1在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系
10、数的和证明:在展开式中,令,则,即,即在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和说明:由性质(3)及例1知.例2已知,求:(1); (2); (3).解:(1)当时,展开式右边为,当时,(2)令, 令, 得:, .(3)由展开式知:均为负,均为正,由(2)中+ 得:, , 例3.求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展开式中x3的系数解:=,原式中实为这分子中的,则所求系数为例4.在(x2+3x+2)5的展开式中,求x的系数解:在(x+1)5展开式中,常数项为1,含x的项为,在(2+x)5展开式中,常数项为25=32,含x的项为 展开式中含x的项为 ,此展开式中x的系数
11、为240例5.已知的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为14;3,求展开式的常数项解:依题意 3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10设第r+1项为常数项,又 令,此所求常数项为180四、课堂练习:(1)的展开式中二项式系数的和为 ,各项系数的和为 ,二项式系数最大的项为第 项;(2)的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则第四项为 (3)+,则( )AB.C.D.(4)已知:,求:的值 答案:(1),;(2)展开式中只有第六项的二项式系数最大, , ;(3)A五、小结 :1性质是组合数公式的再现,性质是从函数的角度研究的二项式系数的单调性,性质是利用赋值法
12、得出的二项展开式中所有二项式系数的和;2因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意,给字母赋值,是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法 六、课后作业: 七、板书设计函数的极值与导数一、选择题1若函数yf(x)可导,则“f(x)0有实根”是“f(x)有极值”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析:(1)不充分若f(x)0,则f(x)不一定有极值例如:f(x)x3,xR,f(x)3x2.令f(x)0,可得x0.f(x)0有实根不能推出f(x)有极值(2)必要:若f(x)有极值,则f(x)0一定有实根如:f(x)|x|.在x0处,f(x)的导数不
13、存在答案:A2设x0为f(x)的极值点,则下列说法正确的是()A必有f(x0)0 Bf(x0)不存在Cf(x0)0或f(x0)不存在 Df(x0)存在但可能不为0解析:可导函数的某点是极值点的必要条件是这点的导数为0;函数的不可导点也可能是极值点(如y|x|的极小值点为x0)故选C.答案:C3函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如右图所示,则2SX18.tif函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()A1个 B2个 C3个 D4个解析:如下图所示,由极值点定义可知,只有B点是函数f(x)的极小值点故选A.答案:A4设f(x)x(ax2bxc)(a0)在
14、x1和x1处均有极值,则下列点中一定在x轴上的是()A(a,b) B(a,c)C(b,c) D(ab,c)解析:f(x)3ax22bxc,由题意知,1,1是方程3ax22bxc0的两根,11,b0,故选A. 5对于R上可导的任意函数f(x),若ab1且有(x1)f(x)0,则必有()Af(a)f(b)2f(1)解析:当x1时,f(x)0,所以f(x)在(1,)上是增函数当x1时,f(x)0,所以f(x)在(,1)上是减函数所以f(1)是f(x)在R上的极小值,所以f(1)f(a)且f(1)f(b)所以f(a)f(b)2f(1),故选C. 6(2009安徽高考)设ab,函数y(xa)2(xb)的
15、图象可能是()解析:f(x)(xa)(3x2ba)令f(x)0(xa)(3x2ba)0,得x1a,x2,ab,ab.x10x或xa.f(x)0ax0,即x(0,1时,f(x)ax33x10可化为a,设g(x),则g(x),所以g(x)在区间(0,上单调递增,在区间,1上单调递减,因此g(x)maxg()4,从而a4;当x0,即x1,0)时,f(x)ax33x10可化为a,g(x)在区间1,0)上单调递增,因此g(x)ming(1)4,从而a4.综上可得a4.答案:49直线ya与函数yx33x的图象有相异的三个交点,则a的取值范围是_解析:由函数yx33x的图象可知,直线若跟函数有三个不同交点,
16、则y极小值ay极大值,易求当x1时有y极大值2,当x1时有y极小值2,所以2a2.答案:(2,2)三、解答题10已知函数f(x)x34x4,求函数的极值,并画出函数的大致图象解析:(1)f(x)x24.解方程x240,得x12,x22.当x变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表:x(,2)2(2,2)2(2,)f(x)00f(x)从上表看出,当x2时,函数有极大值,且f(2)(2)34(2)4;而当x2时,函数有极小值,且f(2)23424.函数f(x)x34x4的图象如图所示11已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值10,求a,b的值解:f(x)3x22axb0有一个根是x1,
17、32ab0.又f(1)10,1aba210.联立、消去b,得a2a120.由此可得或当a3,b3时,f(x)3(x1)20,这时f(x)在x1处无极值,不合题意当a4,b11时,f(x)3x28x11(3x11)(x1),x1时,f(x)1时,f(x)0,这时x1是极值点故a4,b11适合题意12设函数f(x)x(x1)(xa)(a1),(1)求导数f(x),并证明f(x)有两个不同的极值点x1,x2;(2)若不等式f(x1)f(x2)0成立,求a的取值范围解:(1)f(x)3x22(1a)xa.令f(x)0得方程3x22(1a)xa0.因为4(a2a1)0,故方程3x22(1a)xa0有两个
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