第十三章-级数-(2).doc
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1、习 题 13 - 1 1已知级数的前项部分和为:(1)求此级数的一般项,并写出前三项;(2)判别此级数的敛散性,若收敛,则求出级数的和解(1);(2),因而该级数收敛,且和为2用定义判别下列级数的敛散性,并对收敛级数求其和:(1);(2);(3);(4)解(1),因此该级数收敛,且和为;(2),因此该级数收敛,且和为;(3),因此该级数发散;(4)不存在,故该级数发散3判别下列级数的敛散性:(1);(2);(3);(4);(5);(6)解(1),因而级数发散;(2)级数与均为收敛的,级数也是收敛的;(3),级数发散;(4),级数发散;(5)级数为,它是公比的等比级数,因而是收敛的;(6)级数加
2、括号后可化为,因级数收敛,而级数发散,因此该级数发散4设级数收敛,且其和为,问是否收敛?若收敛则求其和解记,则有,记级数的前项和为,那么有,因而级数是收敛的,且其和为习 题 13 - 21用比较审敛法或其极限形式判别下列级数的敛散性:(1);(2);(3);(4);(5);(6)解(1)因为,级数发散,所以级数发散;(2),因级数收敛,所以级数也收敛;(3),级数收敛,因而该级数收敛;(4),级数收敛,该级数收敛;(5)因为,级数发散,因而该级数发散;(6)当时,当时,因此时,该级数发散,当时,而级数当时收敛,因而原级数也收敛,即当时,该级数发散,时,该级数收敛2用比值审敛法判别下列级数的敛散
3、性:(1);(2);(3);(4);(5);(6)()解(1),该级数发散;(2),级数收敛;(3),级数发散;(4),级数收敛;(5),级数收敛;(6),当时,级数收敛,是级数发散,当时,由于,由于级数发散,因此级数也发散3用根值法判别下列级数的敛散性:(1);(2);(3);(4)解(1),级数收敛;(2),级数收敛;(3),级数收敛;(4),级数发散4用适当方法判别下列级数敛散性:(1);(2);(3);(4);(5);(6)解(1),而级数发散,因此该级数发散;(2),因级数收敛,因此该级数收敛;(3),级数收敛;(4),当时,级数收敛,当时,级数发散,当时级数为,它是发散的;(5),
4、级数收敛,该级数收敛;(6)因时,所以该级数是正项级数,因,所以,级数收敛,所以也收敛5利用级数收敛的必要条件证明:(1);(2)证明(1)考察级数,级数收敛,所以;(2)考察级数,级数收敛,所以有6设是收敛的正项级数,证明也收敛证明收敛,则,因而数列有界,即,对为正整数均有,由此可得,级数收敛,因此也收敛7设,且,证明若收敛,则也收敛证明由题设有,即数列是单减正项数列,因此有,级数收敛,因此级数也收敛8设为收敛的正项级数,证明:(1)级数收敛;(2)收敛证明(1)因,级数收敛,则级数也收敛,因此级数收敛,由正项级数的比较审敛法知级数收敛;(2)因,级数收敛,因此也收敛习 题 13 - 31判
5、别下列级数的敛散性,若收敛,则指出是条件收敛还是绝对收敛:(1);(2);(3);(4);(5)为常数);(6);(7);(8)解(1),级数收敛,该级数绝对收敛;(2)记当时,因此有,又,因此该级数收敛,又级数发散,所以该级数条件收敛;(3)因,因此它不满足级数收敛的必要条件,级数发散;(4)收敛,该级数绝对收敛;(5),级数,该级数绝对收敛;(6),级数发散;(7),积分收敛,因而级数收敛,该级数绝对收敛;(8)记,则数列单减,且,由莱布尼茨判别法知该级数收敛,由时,因此级数发散,该级数条件收敛2证明:若数列有界,则级数收敛证明由题设可知,对于均有,因级数收敛,由正项级数的比较审敛法可知级
6、数也收敛3判别下列命题是否正确:(1)若级数收敛,则级数与也收敛;(2)若级数收敛,且,则级数也收敛解(1)命题不正确例如,则收敛,但与均为发散的(2)命题不正确例如,则有,收敛,但发散4设级数与均为收敛级数,证明:(1)级数绝对收敛;(2)收敛证明(1)因,级数与均收敛,因而也收敛,由此可得级数,即级数绝对收敛;(2),级数,和都收敛,所以也收敛5证明:级数条件收敛证明,因此该级数是交错级数,由于单减,且,由莱布尼茨定理可知级数收敛,又时,而级数是发散的,因此级数为条件收敛的6设正项数列单调减少,且级数发散,证明收敛证明由单调有界收敛原理可知存在,设,则,又级数发散,由莱布尼茨定理可知必有,
7、所以有,由正项级数的根值审敛法可知级数收敛习 题 13 - 41设对任意,证明幂级数的收敛半径不小于幂级数的收敛半径证明设的收敛半径为,那么当时,级数收敛,因,所以有,因此当时,级数收敛,即在区间内级数绝对收敛,因此幂级数的收敛半径不小于幂级数的收敛半径2求下列幂级数的收敛半径与收敛域:(1);(2);(3);(4);(5);(6)解(1),时,级数为是发散的,时,级数为是收敛的,级数的收敛域是;(2),把代入,该级数分别为与均为收敛的,因此它的收敛域是;(3),把代入,级数为,记,因此级数发散,同理把代入,级数为也是发散的,级数的收敛域为;(4),收敛域为;(5)时,该级数绝对收敛,当时,该
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