对数平均数.doc

(完整版)对数平均数高考又见对数平均数在历年的高考压轴题中我们总是能见到对数平均数的影子。2018年高考理科数学全国卷的压轴题最后一问，实际上就是对数平均数不等式的应用。加强对对数平均数的理解，无疑能对我们解决压轴题有很大的帮助。对于ab0，我们把称作a与b的对数平均数，并且有：算术平均数对数平均数几何平均数，即：证明方法（几何证明）：如图，分别过A(a，0）、B（b,0）、C(，0）、D（,0)作x轴的垂线，与函数y=交于F、G、E、H四点,过E作函数的切线,分别与BG、AF交于M、N两点。比较曲边四边形GBAF的面积S1与梯形MBAN的面积S2，得S1S2，其中：S1=ln a-ln b,S2=AB=CEAB=(ab） ln aln b(a-b)即:比较梯形GBDH的面积S3与曲边四边形GBDH的面积S4，得S3S4,其中：S3=（GB+HD)BD=（+）(b）=S4=lnln b=-ln b= 即:综合，得： （ab0)证明方法(函数证明）：令f(x)=+1 (x1）,则有:f(x)=-=0 f(x)f(1）=0，即：+10，令x=,代入整理得： 即：令g（x）=x2ln x (x1),则有：g(x）=1+=0 g(x）g（1)=0，即x2ln x0,令x=,代入整理得：ln a-ln b即：综合，得： （ab0)经过上述证明，我们对对数平均数有了一定的了解，接下来看一看2018年高考数学理科全国卷第21题：已知函数f(x)=-x+aln x(1) 讨论f（x)的单调性；(2) 若f(x)存在两个极值点x1、x2，求证：a-2 第一问略。第二问，由题意可知，x1、x2分别为方程:x2ax+1=0的两个解，故有：x1x2=1，且x1+x2=a0。f(x1)-f(x2）=（-x1+aln x1）(-x2+aln x2)=+x2x1+a(ln x1ln x2) (其中x1x2=1）=2（x2-x1）+a(ln x1-ln x2) =a2要证明题目要求的不等式,其实就是证明1.根据 ,令a、b分别等于x1、x2，则ab=x1x2=1,即：1.可以看到，本题其实就是对数不等式的倒数写法.经典例题：下面是一道在各地区调考、模拟考中的经常出现的一个题型（当然实际题目会略加变化）.因其构思精巧，计算复杂,这一题常常被用作压轴题最后一问.让我们一起来体会一下。x1、x2是函数y=-ax+a的两个零点，求证x1x2x1+x2 。依题意有:，两式相除得:=,两边取对数得:x1x2=ln(x1-1）-ln（x2-1）， =1根据对数不等式有：即：1，整理得：x1x2x1+x2 证毕. 从上述例子中我们可以体会到对数平均数不等式的巧妙应用。在各地区历年高考压轴题中,这样的例子有很多。对数不等式对基本不等式进行了很好的补充，在指数函数、对数函数的计算中有着广泛的应用.