实正定矩阵的判定及其重要结论.doc
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1、(完整word)实正定矩阵的判定及其重要结论实正定矩阵的判定及其重要结论摘 要 本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知识,给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明,并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论.关键词 实对称正定矩阵 等价定理 充分条件Decision of Real Positive Definite Matrixand Its Important ConclusionAbstractThis paper provide a series of matrix theory knowledge of higher algebra ,give some of the equival
2、ence theorem of real symmetric matrix and its proof and obtain some of the important conclusions of real symmetry positive definite matrix .Keywordsreal symmetry positive definite matrix, equivalence theorem , sufficient condition 实正定矩阵的判定及其重要结论禄 鹏(天水师范学院数学与统计学院,甘肃天水,741000)摘 要 本文将运用高等代数中一系列矩阵理论的相关知
3、识,给出了实对称矩阵的若干个判定定理及其证明,并且得到了实对称正定矩阵的若干重要结论。关键词 实对称正定矩阵 等价定理 充分条件 引言矩阵理论是数学的一个重要分支,它不仅是一门基础学科,也是最具有使用价值、应用广泛的数学理论,现已成为处理有限维空间形式和数量关系的强有力的工具. 正定矩阵作为一类常用矩阵,其在数学学科和其他学科技术领域的应用也非常广泛,因此它的判断问题一直倍受关注.虽然个别判定条件已被人们所熟知,但缺少系统的总结,本文将尽可能给出多个实对称正定矩阵的判定定理和重要结论,从而使人们能够更好地使用正定矩阵这个工具. 实正定矩阵的等价定理定义1 实二次型称为正定的,如果对于任意一组不
4、全为零的实数都有。定义2 实对称矩阵称为正定的,如果二次型正定.引理1 元实二次型是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于。引理2 任意一个实数域上的二次型,经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形,且规范形是唯一的.引理3 设是阶实对称矩阵,则存在正交矩阵使得 , 其中为的特征值. 引理 任何可逆实方阵都可以分解为正交矩阵和上三角矩阵的乘积其中的主对角元均为正定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是对于任意的维非零列向量即,使。证明 由定义和定义可证 定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是的一切顺序主子式大于。证明 必要性, 因为是实对称正定矩阵,由定义2知,存在二次型 是正定的。对于每个令
5、。我们来证明是一个元的正定二次型. 对于任意一组不全为零的实数有因此是正定的。 由正定矩阵的行列式大于零可知,的行列式 这就证明了矩阵的一切顺序主子式大于.充分性, 对作数学归纳法。 当时 由条件,显然有是正定的.假设充分性的论断对于元二次型成立现在来证明元的情形。令 于是矩阵可以分块写成 既然的顺序主子式全大于零,当然的顺序主子式也全大于零。 由归纳法假定 是正定矩阵,换句话说,有可逆的阶矩阵使 这里代表阶单位矩阵 令 于是 再令 有 令 就有 两边取行列式 由条件因此 显然 这就是说,矩阵与单位矩阵合同,所以是正定矩阵.定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是的一切顺序主子矩阵都是正定矩阵.
6、证明 由定理可证.定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是的特征值全大于.证明 必要性,为正定矩阵,若的全部特征值为不全大于,不妨设。由引理3存在正交矩阵使得式成立。令 则,即为的属于特征值的特征向量。 特别的,取单位特征向量,即.于是有 ,这与为正定矩阵相矛盾,故的全部特征值为都大于.充分性 设的特征值为,由引理3知存在正交矩阵,使得 .从而有 . 任取,则,其中 ,于是,即为正定矩阵. 定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是合同与。证明 必要性, 由引理1和引理2知正定二次型可经过一适当的非退化线性替换化为规范形 。其对应的矩阵为单位矩阵。即,故合同与.充分性, 由于合同与,即存在可逆矩阵使
7、得。任取,令,则,于是. 故是正定矩阵。定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是的一切主子式都大于.证明 必要性,正定令 其中 为的主子矩阵 。设矩阵与的二次型分别为和 对任意 存在 其中 由正定得是正定的 故存在实可逆矩阵 使 ,其中 从而 。又 故 充分性, 实对称矩阵的一切主子式都大于 所以的一切顺序主子式都大于。 由定理可证为正定矩阵。定理 实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是的一切主子矩阵都是正定矩阵。证明 必要性,正定令 其中 为的主子矩阵 。显然 也是实对称矩阵。又因为 的个顺序主子式均为的个主子式由定理知个主子式都大于零 从而为正定矩阵充分性, 实对称矩阵的一切主子矩阵都是正定矩阵
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- 正定 矩阵 判定 及其 重要 结论
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