热力学第三章气体分子热运动速率.ppt
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1、第三章气体分子热运动速率第三章气体分子热运动速率和能量的统计分布和能量的统计分布n3.1气体分子的速率分布律n3.2用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律n3.3玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布n3.4能量按自由度均分定理5/25/20241崎山苑工作室3.1气体分子的速率分布律l 统计规律性:统计规律性:分子运动论从物质微观结构出发,研究大量分子组分子运动论从物质微观结构出发,研究大量分子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动(在动力学支成的系统的热性质。其中个别分子的运动(在动力学支配下)是配下)是无规则无规则的,存在着极大的偶然性。但是,总体的,存在着极大的偶然性。但是,总体上却存
2、在着确定的上却存在着确定的规律性规律性。(例:理想气体压强)。(例:理想气体压强)人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为的规人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为的规律性称为律性称为统计规律性统计规律性。气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的,但就大量分子的整体来看,在一定的条件下,是偶然的,但就大量分子的整体来看,在一定的条件下,气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。为研究气气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。为研究气体分子速度分布的定量规律,有必要介绍体分子速度分布的定量规律,有必要介绍分布函数分布函数的概的概念。念。5/
3、25/20242崎山苑工作室例例1:统计某城市中每个商店里职工的分布情况,:统计某城市中每个商店里职工的分布情况,可用下列方法。可用下列方法。分布函数和平均值分布函数和平均值分布函数和平均值分布函数和平均值偶然事件偶然事件:大量出现不可预测的事件。多次重复:大量出现不可预测的事件。多次重复观察同样的事件,可获得该偶然事件的分布,从观察同样的事件,可获得该偶然事件的分布,从而得到其统计规律。而得到其统计规律。表示该城市中的商店总数表示该城市中的商店总数表示该城市中有表示该城市中有 个职工的商店数,称分布数。个职工的商店数,称分布数。5/25/20243崎山苑工作室例例:我们以人的身高为例,来引入
4、分布函数的概念。我们以人的身高为例,来引入分布函数的概念。设设 N 为总人数,为总人数,dN(h)为身高在为身高在 h-h+dh 间间 的人数。显然的人数。显然令令 f(h)=dN(h)/Ndh,则,则我们把我们把 f(h)称为归一化分布函数。称为归一化分布函数。f(h)表征在单位高度内,身高为表征在单位高度内,身高为 h 的人数占总的人数占总人数的比率。人数的比率。f(h)dhf(h)dh:高度在高度在h h与与h+dhh+dh之间的概率之间的概率5/25/20244崎山苑工作室N 个人的平均身高个人的平均身高为为h f(h)h h+dhof(h)f(h)为归一化分布函数为归一化分布函数分布
5、曲线分布曲线高度在高度在h h与与h+dhh+dh之间的人数:之间的人数:5/25/20245崎山苑工作室推广至任一变量(物理量)推广至任一变量(物理量)x,由由分布函数分布函数f(x)求平均值,有:求平均值,有:对具有统计性的系统来讲,总存在着确定的分对具有统计性的系统来讲,总存在着确定的分布函数布函数f(x),),因此,写出分布函数因此,写出分布函数f(x)是研是研究一个系统的关键之处,具有普遍的意义。究一个系统的关键之处,具有普遍的意义。5/25/20246崎山苑工作室l 速率分布函数速率分布函数一定量的气体分子总数为一定量的气体分子总数为NdNv表示速率分布在某区间表示速率分布在某区间
6、 vv+dv内的分子数,内的分子数,dNv/N表示分布在此区间内的分子数占总分子表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率(或百分比)。数的比率(或百分比)。dNv/N 是是 v 的函数,在不同速率附近取相等的的函数,在不同速率附近取相等的区间,此比率一般不相等。区间,此比率一般不相等。当速率区间足够小时(宏观小,微观大),当速率区间足够小时(宏观小,微观大),dNv/N还应与区间大小成正比。还应与区间大小成正比。5/25/20247崎山苑工作室因此有因此有物理意义:速率在物理意义:速率在 v 附近,单位速率区间的附近,单位速率区间的分子数占总分子数的比率。分子数占总分子数的比率。f(v):速
7、率分布函数速率分布函数归一化条件(Normalizing condition)或或5/25/20248崎山苑工作室l 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律(Maxwell speed distribution law)(一定条件下,速率分布函数的具体形式)一定条件下,速率分布函数的具体形式)在平衡态下,当气体分子间的相互作用可以在平衡态下,当气体分子间的相互作用可以忽略时,分布在任一速率区间忽略时,分布在任一速率区间 vv+dv 的分子数占的分子数占总分子数的比率为总分子数的比率为麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数5/25/20249崎山苑工作室麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线5
8、/25/202410崎山苑工作室麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线面积面积速率在速率在 区间内的分子数占总分子数的比例;区间内的分子数占总分子数的比例;或分子速率位于或分子速率位于 区间内的几率。区间内的几率。速率在速率在 区间内的分子数区间内的分子数占总分子数的比例;或分子速率位占总分子数的比例;或分子速率位于于 区间区间 内的几率。内的几率。5/25/202411崎山苑工作室表示单位体积内分布在速率区间表示单位体积内分布在速率区间 内内的分子数。的分子数。5/25/202412崎山苑工作室表示分布在速率区间表示分布在速率区间 内的分内的分子数。子数。5/25/202413崎山苑工作室
9、表示分布在单位体积内,速率区间表示分布在单位体积内,速率区间 内的分子数。内的分子数。5/25/202414崎山苑工作室表示速率在区间表示速率在区间 内的分子的平均速内的分子的平均速率。率。5/25/202415崎山苑工作室气体的三种统计速率气体的三种统计速率速率分布函数速率分布函数 中的极大值对应中的极大值对应的分子速率的分子速率 。极值条件极值条件(1)最可几速率最可几速率:温度超高,温度超高,vp越大;分子的质量越大,越大;分子的质量越大,vp越小越小5/25/202416崎山苑工作室最最 可几可几 速速 率(率(most probable speed)5/25/202417崎山苑工作室
10、 对大量分子而言,在相同的速率间隔对大量分子而言,在相同的速率间隔中,气体分子的速率在中,气体分子的速率在v vp p附近的分子数附近的分子数最多。最多。对单个分子而言,速率在对单个分子而言,速率在v vp p附近的几附近的几率最大。率最大。最可几速率最可几速率“v p”的意义是:的意义是:5/25/202418崎山苑工作室气体分子速率的算术平均值。气体分子速率的算术平均值。(2)平均速率平均速率:5/25/202419崎山苑工作室平平 均均 速速 率率(average speed)5/25/202420崎山苑工作室(3)方均根速率方均根速率(root-mean-square speed):)
11、:气气体分子速率平方的平均值的平方根。体分子速率平方的平均值的平方根。5/25/202421崎山苑工作室方方 均均 根根 速速 率率方方 均均 根根 速速 率率5/25/202422崎山苑工作室三种速率均与三种速率均与 ,成反比,但三者有一个确定成反比,但三者有一个确定的比例关系的比例关系;三种速率使用三种速率使用于不同的场合。于不同的场合。讨论速率分讨论速率分布时用最可几速率;计算分布时用最可几速率;计算分子运动的平均距离时用平均子运动的平均距离时用平均速率;计算分子平均平动能速率;计算分子平均平动能时用方均根速率时用方均根速率。三种速率三种速率比较比较5/25/202423崎山苑工作室温度
12、越高,速率温度越高,速率大的分子数越多大的分子数越多同一气体不同温度下速率同一气体不同温度下速率分布比较分布比较5/25/202424崎山苑工作室同一温度下不同同一温度下不同种种气体速率气体速率分布比较分布比较分子质量越小,速率分子质量越小,速率大的分子数越多。大的分子数越多。5/25/202425崎山苑工作室例例题题1 试试计计算算气气体体分分子子热热运运动动速速率率的的大大小小介介于于 vp-vp/100 和和 vp+vp/100 之之间间的的分分子子数数占占总总分分子子数数的的百分数。百分数。在在此此利利用用vp,引引入入W=v/vp,把把麦麦克克斯斯韦韦速速率率分分布律改写成如下简单形
13、式:布律改写成如下简单形式:解解:按题意按题意5/25/202426崎山苑工作室把这些量值代入,即得把这些量值代入,即得现在现在5/25/202427崎山苑工作室例例2.有有N个粒子,其速率分布函数为个粒子,其速率分布函数为求:求:(1)速率分布曲线()速率分布曲线(2)由)由v 0 求常数求常数C (3)粒子的平均速率粒子的平均速率解解(1 1)速率分布曲线速率分布曲线 (见下图)见下图)5/25/202428崎山苑工作室(2)常数)常数 C 由归一化条件求得由归一化条件求得(3)平均速率:)平均速率:5/25/202429崎山苑工作室例例3.由麦氏分布律导出理想气体分子按由麦氏分布律导出理
14、想气体分子按平动动能平动动能的分布律的分布律,并并找出找出最可几动能最可几动能是什么?一个分子的是什么?一个分子的平均平动动能平均平动动能是什么?是什么?解:解:一个分子的一个分子的平动动能:平动动能:由麦氏分布律:由麦氏分布律:这就是理想气体这就是理想气体分子按平动动能分布定律。分子按平动动能分布定律。25/25/202430崎山苑工作室最可几动能:最可几动能:分子的平均平动动能为:分子的平均平动动能为:理论与实验符合得很好。理论与实验符合得很好。从理论上从理论上已经得到过:已经得到过:5/25/202431崎山苑工作室在平衡态下,当气体分子之间的相互作用可忽略时,速度在平衡态下,当气体分子
15、之间的相互作用可忽略时,速度分量分量vx在区间在区间vxvx+dvx,vy 在区间在区间vyvy+dvy,vz在区间在区间vzvz+dvz内的分子数占总分子数的比率为内的分子数占总分子数的比率为l 麦克斯韦速度分布律(麦克斯韦速度分布律(麦克斯韦速度分布律(麦克斯韦速度分布律(Maxwell velocity distribution law)上面讨论的是气体分子按速率分布的规律,对分子上面讨论的是气体分子按速率分布的规律,对分子速度的方向未作任何确定。下面进一步介绍气体分子按速度的方向未作任何确定。下面进一步介绍气体分子按速度分布的规律。速度分布的规律。dvx、dvy、dvz为速度空间的一个
16、体积元为速度空间的一个体积元麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数(Maxwell velocity distribution law)5/25/202432崎山苑工作室速度空间速度空间(velocity space)的概念的概念 表示分子的速度表示分子的速度以其分量以其分量vx、vy、vz为轴可构成一直角坐标系,为轴可构成一直角坐标系,由此坐标系所确定的空间为速度空间。由此坐标系所确定的空间为速度空间。麦克斯韦速度分布律指明了分子代表点在速度麦克斯韦速度分布律指明了分子代表点在速度 空间体积元空间体积元d=dvxdvydvz 中的分布情况。中的分布情况。可由麦氏速度分布律推出麦氏速率分布律
17、。可由麦氏速度分布律推出麦氏速率分布律。5/25/202433崎山苑工作室由图(b)可得:5/25/202434崎山苑工作室由麦克斯韦速度分布函数可推出速度的三个分量的分布函数。将分布函数先后对vy和vz积分,即可求出速度分量vx在区间vx vxd vx内的分子数占总分子数N的比率:同理可得:5/25/202435崎山苑工作室例题:用麦克斯韦速度分布律求每秒碰到单位面例题:用麦克斯韦速度分布律求每秒碰到单位面积器壁上的气体分子数。积器壁上的气体分子数。解解:如图,设单位体积内的分子数为:如图,设单位体积内的分子数为n,则单位体积内速则单位体积内速度分量度分量vx在在vx vx+d vx之间的分
18、子数为之间的分子数为nf(vx)d vx。vx dtdA在在dt内能与内能与dA相碰的分子数为:相碰的分子数为:nf(vx)d vx vx dtdA所以,在单位时间内速度分量所以,在单位时间内速度分量vx在在vx vx+d vx之间能之间能与单位面积器壁碰撞的分子数为:与单位面积器壁碰撞的分子数为:而而对于对于vx 0的分子不会与的分子不会与dA相碰,相碰,所以所以vx的的积分区间为积分区间为0 5/25/202436崎山苑工作室每秒每秒碰到单位面积上的分子数为:碰到单位面积上的分子数为:5/25/202437崎山苑工作室统计规律性与涨落(统计规律性与涨落(fluctuation)现现象象麦克
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