泰勒公式在证明不等式中的几个应用.doc
《泰勒公式在证明不等式中的几个应用.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《泰勒公式在证明不等式中的几个应用.doc(13页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、(完整word)泰勒公式在证明不等式中的几个应用泰勒公式在证明不等式中的几个应用 摘 要:泰勒公式作为一种重要的数学工具,无论对科研还是在证明、计算等方面,它都起着很重要的作用。特别在高等数学范畴内,灵活运用泰勒公式,对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩等是解决不等式证明问题的常用方法与思想。本文主要通过对各类典型不等式证明问题的分析处理,归纳了用泰勒公式来证明有关定积分不等式问题、含有初等函数与幂函数的不等式和一般不等式问题,以及泰勒公式在一元函数、二元函数不等式中的推广、证明与应用.关键词:泰勒公式;偏导数;不等式 引言 泰勒公式是高等数学中的重点,也是一个难点,它贯穿于高等数学的始终。
2、泰勒公式的重点就在于使用一个次多项式,去逼近一个已知的函数,而且这种逼近有很好的性质:与在点具有相同的直到阶的导数.所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓.泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强,一般很难接受,更不用说应用了。但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面,它都起着很重要的作用。文献36介绍了运用泰勒公式,对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想。本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳,总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 1 泰勒公式知识的回顾:定理11 设函数在点处的某邻域内具有阶导数,则对该邻域内异于的任意
3、点,在与之间至少存在一点,使得:=+ +,其中称为余项,上式称为阶泰勒公式;若0,则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式,即= +.2 泰勒公式在证明不等式中的应用 不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一,它反映了各变量之间很重要的一种关系即他们之间的大小关系。不等式的内容也极其丰富,证明方法很多,而泰勒公式在证明不等式问题中起着举足轻重的作用。2.1 泰勒公式在证明有关定积分不等式问题的应用 对于被积函数具有二阶或二阶以上连续可导,且又知最高阶数符号的命题.通过作辅助函数,将在所需点处(一般根据右边表达式确定展开点)进行泰勒展开或直接写出的泰勒展式,然后根据题意对展开式(余项)作适当处理(一
4、般是利用介值定理或放缩技巧)。例12 设在上单调增加,且0,证明 :.题设条件告知二阶可导且0,由于高阶导数的存在,提示我们尝试使用泰勒公式.因为不等式左边被积函数是,右边有、,我们不妨对,将在点x处展开为泰勒公式,再令,进而找出与、的关系。证明 对,在点处的一阶泰勒展开式为:=+,其中在与之间, 0, + 1 将,分别代入1并相加,得+ 2 对2的两边在上积分,则 + + 故. 在证明有关定积分不等式问题时,有时还需构造函数,然后通过泰勒公式与介值定理的结合使用,可以在不等式证明问题中达到事半功倍结果明朗化的效果。例23 设在上二阶连续可微,其中,则在该区间上存在一个,使得:=+。题设条件告
5、知二阶可微,且题中含有,提示可用泰勒公式证明。又因为含有,可构造函数展开为二阶泰勒公式,注意证明过程中与介值定理的结合使用。证明 令,将在 ()处展成二阶泰勒公式: +,在与之间,即+ 3令,则有3可得:+(-)+ 434得-令, ,,并且 则有 (),因为在上连续,由介值定理知存在,使得所以=-+。 泰勒公式不但在证明连续函数的不等式问题中起重要作用,同样在证明某一定点的不等式问题中也发挥着很大作用.例34 设其中函数,1上具有二阶导数,且满足条件,其中,都是非负数,是(,1)上任意一点,试证明:。由于在,1具有二阶导数,可考虑利用在的一阶泰勒公式.证明 由于在0,1上具有二阶导数,在的一阶
6、泰勒公式: 5 其中+,0中令=,则有: (1)在5中令=1,则有: (1)将上述两式相减,得于是 , 又因,, 故 . 从上述几例可以看出,使用泰勒公式去证明关于定积分不等式问题,我们可以遵循以下几个步骤:1高阶(二阶及二阶以上)导数的存在是提示使用泰勒公式最明显的特征之一;(2)找一个函数,选一个展开点,然后写出在处的泰勒公式;(3)对 进行放缩或或与介值定理结合使用.2.2 泰勒公式在证明关于初等函数和幂函数不等式中的应用 对于欲证不等式中含有初等函数、三角函数、超越函数与幂函数结合的证明问题,要充分利用泰勒公式在时的麦克劳林展开式,选取适当的基本函数麦克劳林的的展开式,对题目进行分析、
7、取材、构造利用。例41 证明不等式:. 不等式左边是三次二项式的初等函数,右边是三角函数,两边无明显的大小关系 .这时我们可用在的二阶麦克劳林公式表示出来,然后进行比较判断两者的大小关系。 证明 ,,,,当时,的泰勒展式为:0 (0, ,01)所以0,,有 . 在含有无理函数与幂函数结合的不等式证明问题中,它们之间没有明显的大小关系。如果用常规方法(放缩法、比较法,代换法等),我们很难比较它们之间的大小关系,但这时用泰勒公式却能轻易解答.例51 证明不等式:,(0).对于此题,若我们对不等式两边同时平方,虽可以去掉根号,但的次数却提高了次,这还是难以比较他们之间的大小关系,但若用泰勒公式却可以
8、轻易解答。证明 设,则,,,,,代入=0的二阶泰勒公式,有=1+ + (01) 0, 0所以 (x0)。 对于含有超越函数与幂函数结合的不等式证明,由于我们接触很少,看不出它们之间的大小关系,更不知如何去分析比较,但这时泰勒公式将是对付这类题的最有效武器.例65 证明不等式:,其中0.证明 令 ,由一阶麦克劳林公式知: + + ,()所以 x, 再有二阶麦克劳林公式知: +x+, 其中从而 ,故 ,(0)。 在不等式的证明问题中,若题目中出现了一阶导数、二阶导数、初等函数、三角函数或超越函数等与幂函数结合时,可优先考虑泰勒公式在=0时的麦克劳林表达式.当然能做好此类题的前提条件是要对一些基本函
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 泰勒 公式 证明 不等式 中的 几个 应用
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【w****g】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【w****g】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。