量纲分析例题集.doc

(完整word)量纲分析例题集
1—4—6、解：（1）当T=20℃时，=1.205kg/,=1.81Pas
=998.2kg/，=100。42Pas
此为管内低速流动，流动的粘性起主要作用,即Re是决定性相似准数
设空气的流动为“实物”，水的流动为“模型”,则：
===1， ===1.207， ===0.018
考虑雷诺相似，有==14。913,
所以，风速v==14.9132。5=37。28m/s
（2）由欧拉相似，得 ==0。268
由 = , 得=3。73
即通过空气时测得的压力损失应扩大3.73倍才是通过水的压降.
1-4—7、解：（1)当T=20℃时,=998。2kg/，=100.42Pas
此为管内低速流动,流动的粘性起主要作用,即Re是决定性相似准数
==10， ===4。007， ===0.036
考虑雷诺相似,有==8。984,
所以,水速===0。89m/s
（2)由欧拉相似,得 ==0。032
所以 ===3。75kPa
1-4-8、解：拟定函数关系式为f（d，v，，，，g）=0
取d，v，为基本物理量,由定理可得:
F（ 1， 1, 1，，,)=0
式中= ，= ,
对以上三式可写出量纲方程式如下：
=
由=0 ,可解得 所以=
同理，可解得== ， =
所以f（ ， 即= f（
所以v=
1—4—9、解：拟定函数关系式为f（D，v，,，，F)=0
取D，v，为基本物理量，由定理可得：
F（ 1， 1, 1，,）=0
式中= ，=
所以 ==
由=0 ，可解得 所以==
同理，可解得 = 所以 f（）=0
即= f（） 所以 F=f（)
1—4—10、解:拟定函数关系式为f（d,v，，，，g）=0
取d，v，为基本物理量，显然hf/L是一个π，因hf和L量纲都是长度由定理可得：
F( 1， 1, 1，，)=0
式中= ，=
所以==
由=0 ,可解得 所以==
同理，可解得 = ， =
所以 =f(
1—4-11、解:拟定函数关系式为f（D，n,，，，P）=0
取D，n，为基本物理量，由定理可得：
F( 1, 1， 1,，）=0
式中= ，=
所以 ==
由=0 ，可解得 所以=
同理,可解得= ， 所以f（）=0
即= f（） 所以 P=f(）
1-4—12、解：当T=10℃时，=999.7kg/，=1。306Pas
此为管内低速流动，流动的粘性起主要作用，即Re是决定性相似准数
由=2。78/s ,=4.5m 可解得 =0。175m/s
由=2。78/s ,=2。25m 可解得 =0.670m/s
考虑雷诺相似，有===v=0.018
==3。15
由 =Q 可解得=3.46m
同理，可解得=1.74m
故用水做实验时，大口处的直径=3。46m ,小口处的直径=1.74m
课外例题
例1：用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式τ0。已知τ0与液体的密度ρ,液体的动力沾滞系数μ，圆管直径D，管壁材料的粗糙度△以及管中断面平均流速υ有关。
    解    拟定函数关系式为f（D，υ ,ρ，τ0，μ,△)=0            
   选取D（几何量）,υ（运动量）,ρ（动力量）为基本量建立（6～3 ）π项：

    对每一π项建立量纲关系式，排列量纲和谐方程求解ai，bi ，ci .
    对π1 ：

    同理求得         

    将各π代入得           
     整理得             
    令             
    则           
例2：液体在水平等直径的管内流动,设两点压强差△p与下列变量有关:管径d,ρ，υ，l，μ，管壁粗糙度△，试求△p的表达式。                       
    解：F（d，ρ，υ,l,μ，△，△p)=0
       基本量d，ρ，υ, n=7， m=3, π数n-m=4个

    对π1:

    对π2：

    同理得 ：

设
则

例3、 确定圆管流动中边壁切应力的表达式τ0。
    解 影响τ0的独立影响因素有液体的密度ρ,液体的动力粘度μ,圆管直径D，管壁材料的粗糙度△以及管中断面平均流速v0拟定函数关系式为

    写出量纲关系式为

    排列量纲和谐方程求各指数。

    联立以上三式解得b=1-a,c=a-d—1，e=a+1.
    将各指数值代入函数关系式中得

    整理得

    令
式中λ——系数，由实验确定。     所以
例4、确定粘性流体流经竖置的单位长度长直圆柱体时的绕流阻力表达式

解:单位长度所受的阻力FD=F/L（F为柱的整体阻力，L为柱长），影响阻力的因素包括柱的直径D,流体密度ρ,粘度μ,以及行近流速U：      
    依据量纲和谐原理，上式可写成量纲方程为
           FD=kDx Uyρz μa
    应用［M-L-T]制，并代入相应的量纲
        ［ML0T—2］=[L］ x  [LT—1 ]y   [ML-3 ]z ［ML-1 T -1 ］a
    为满足量纲的和谐，相应的量纲指数必须相同。因此
         M：1=z+a          L： 0=x+y—3z-a          T：-2=—y-a
    得     x=1-a，y=2-a，z=1—a
    故     FD=kD1—a U2—aρ1—aμa

或