五-数系扩充与复数引入.doc
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1、第五节数系的扩充与复数的引入1复数的有关概念(1)复数的概念:形如bi(,bR)的数叫复数,其中,b分别是它的实部和虚部若b0,则bi为实数,若b0,则bi为虚数,若0且b0,则bi为纯虚数(2)复数相等:bicdic,bd(,b,c,dR)(3)共轭复数:bi与cdi共轭c,bd(,b,c,dR)(4)复数的模:向量的模r叫做复数zbi的模,即|z|bi|2复数的几何意义复数zbi一一对应复平面内的点Z(,b)一一对应平面向量(,b)3复数的运算(1)运算法则:设z1bi,z2cdi,b,c,dRz1z2(bi)(cdi)(c)(bd)iz1z2(bi)(cdi)(cbd)(bcd)ii(c
2、di0)(2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如右图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即,1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)复数z1i的虚部为i.()(2)若zbi(,bR),当0时,z是纯虚数()(3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模()答案:(1)(2)(3)(4)3实部为2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析:由题意知,该复数在复平面内对应的点为
3、(2,1),所以该点位于复平面的第二象限答案:B4(2016课标全国卷)设(12i)(ai)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a()A3 B2 C2 D3解析:先化简复数,再根据实部与虚部相等列方程求解(12i)(ai)a2(12a)i,由题意知a212a,解得a3,故选A.答案:A5(2015北京卷)复数i(1i)的实部为_解析:因为i(1i)ii21i,所以实部为1.答案:1一个关键复数分类的关键是抓住zbi(,bR)的虚部:当b0时,z为实数;当b0时,z为虚数;当0,且b0时,z为纯虚数一个实质复数除法的实质是分母实数化,其操作方法是分子、分母同乘以分母的共轭复数一种方法化“虚”为“实
4、”是解决复数问题的基本方法,其中,复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提,复数相等的充要条件是化“虚”为“实”的桥梁两点注意1判定复数是实数,仅注重虚部等于0是不够的,还需考虑它的实部是否有意义2利用复数相等bicdi列方程时,注意,b,c,dR的前提条件一、选择题1(2015湖北卷)i为虚数单位,i607的共轭复数为()AiBiC1D1解析:因为i607i41513i3i,所以其共轭复数为i,故选A.答案:A4(2017郑州一检)设i是虚数单位,若复数m(mR)是纯虚数,则m的值为()A3 B1 C1 D3解析:由mm3i为纯虚数,则m30,所以m3.答案:A5(2017广州一模)复数的虚部
5、是()A2 B1 C1 D2解析:本题主要考查复数的概念与几何意义复数1i,所以它的虚数为1.答案:B6设z是复数,则下列命题中的假命题是()A若z20,则z是实数 B若z20,则z是虚数C若z是虚数,则z20 D若z是纯虚数,则z20解析:设zbi(,bR),则z22b22bi,由z20,得则b0,或,b都为0,即z为实数,故选项A为真同理选项B为真;选项C为假,选项D为真答案:C二、填空题7若复数z满足iz24i,则在复平面内,z对应的点的坐标是_解析:由于iz24i,所以z42i,故z对应点的坐标为(4,2)答案:(4,2)8若复数z1i(i为虚数单位),z是z的共轭复数,则z2z2_解
6、析:z1i,z1i,则z2z2(1i)2(1i)22i2i0.答案:09(2015重庆卷)设复数bi(,bR)的模为,则(bi)(bi)_解:|bi|,(bi)(bi)2b23.答案:3三、解答题10在复平面内,复数54i,12i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,求点C对应复数的模解:由题意知点A(5,4),B(1,2),所以点C的坐标为(2,3),所以点C对应的复数为z23i,它的模为.11已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1z2是实数,求z2.解:(z12)(1i)1i,z1222i,设z22i(R),则z1z2(2i)(2i)(22
7、)(4)i,又z1z2是实数,4,从而z242i.三角函数与平面向量的高考热点题型三角函数、解三角形、平面向量是高考考查的重点与热点,本专题的热点题型有:一是三角恒等变换的综合应用;二是三角函数与解三角形的综合问题;三是三角函数与平面向量的综合应用,中档难度。在解题过程中应挖掘题目的隐含条件,注意公式的内在联系,灵活地正用、逆用、变形使用公式,充分发挥平面向量的工具作用,向量具有“形”与“数”的两个特点,这就为利用数形结合思想创造了条件. 热点1三角恒等变换的综合应用要研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性,求三角函数的单调区间、最值等,都应先进行三角恒等变换,将其化为一个角的一种三角函
8、数,求解这类问题,要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换 (2017潍坊质检)已知函数f(x)sincos,g(x)2sin2.(1)若是第一象限角,且f(),求g()的值;(2)求使f(x)g(x)成立的x的取值集合解:f(x)sincossin xcos xcos xsin xsin x,g(x)2sin21cos x,(1)由f()得sin .又是第一象限角,所以cos 0.从而g()1cos 11.(2)f(x)g(x)等价于sin x1cos x,则sin xcos x1,于是sin,从而2kx2k,kZ,即2kx2k,kZ.故使f(x)g(x)
9、成立的x的取值集合为x|2kx2k,kZ1将f(x)化简为sin x,将g(x)化简为1cos x,从而沟通了g()与f()之间的关系2进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用3把形如ysin xbcos x化为ysin(x),可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性【变式训练】(2015天津卷)已知函数f(x)sin2xsin2,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解:(1)由已知,有f(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin.所以f(x)的最小正周期T.(2)因为f(x)在区间上是减函
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