解决不等式恒成立问题的几种方法及指数不等式.doc
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1、解决不等式恒成立问题的几种方法及指数不等式与对数不等式一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数,有1)对恒成立; 2)对恒成立 例1已知函数的定义域为R,求实数的取值范围。解:由题设可将问题转化为不等式对恒成立,即有解得。所以实数的取值范围为。若二次不等式中的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。例2设,当时,恒成立,求实数的取值范围。解:设,则当时,恒成立Oxyx-1当时,显然成立;当时,如图,恒成立的充要条件为:解得。综上可得实数的取值范围为。二、最值法(分类讨论) 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有:1)
2、恒成立2)恒成立例3 已知,若恒成立,求a的取值范围. 解析 本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意.若恒成立或或,即a的取值范围为.点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用恒成立;恒成立.本题也可以用零点分布策略求解.练习、若时,不等式恒成立,求的取值范围。解:设,则问题转化为当时,的最小值非负。(1) 当即:时, 又所以不存在;(2) 当即:时, 又 (3) 当 即:时, 又综上所得:例4函数,若对任意,恒成立,求实数的取值范围。解:若对任意,恒成立,即对,恒成立,考虑到不等式的分母,只需在时恒成立而得而抛物
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