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计数原理一.doc
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1、(完整word)计数原理一计数原理【例1】 少先队员外出旅游,途经一个小卖部,有人要喝可乐,有人要喝雪碧,有人既要可乐,又要雪碧,没有人不喝饮料。问有多少少先队员参加这次旅游?【分析】 只喝可乐的人有人,只喝雪碧的有人,两者都喝的有人,没有人都不喝,所以总人数应该是人。或者直接依据容斥原理解决:人.【例2】 有种食品.其中含钙的有种,含铁的有种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是多少?【分析】 根据容斥原理最小值是种,最大值就是含铁的种数,即有种。【例3】 图书室有100本书,借阅图书者要在图书上签名.已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33、44和55本,其中同时有甲、
2、乙签名的有29本,同时有甲、丙签名的有25本,同时有乙、丙签名的有36本。问这批图书中至少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?【分析】 设没被任何人借阅过的和同时被三人借阅过的分别为本,本,则根据容斥原理公式得:,化简得,要使取值最少,那么值应该尽量大,表示三人都借阅过的,最大为,此时,所以,至少本没被三人中的任何一人借阅过。【例4】 某年级的课外学科小组分语、数、外三个小组,参加语数外三个小组的人数分别为人,人和人,同时参加语数、数外、语外小组的人数分别是人、人、人,三个小组都参加的有人。问这个年级参加课外小组的共有多少人?【分析】 由容斥原理可以得到人数是人。【例5】 四年级一班有
3、46名学生参加3项课外活动其中有24人参加了数学小组,20人参加了语文小组,参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的35倍,又是3项活动都参加人数的7倍,既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍,既参加数学小组又参加语文小组的有10人求参加文艺小组的人数五年级三班学生参加课外【分析】 设参加数学小组的学生组成集合A,参加语文小组的学生组成集合B,参加文艺小组的学生组成集合G三者都参加的学生有z人有=46,=24,=20,=3。5,=7,=2,=10因为,所以46=24+20+7x102x-2x+x,解得x=3,即三者的都参加的有3人那么参加文艺小组的有37=
4、21人【例6】 新年联欢会上,共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数;同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人;只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人;50人没有参加演奏;10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏;40人参加了合唱;那么,同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有_人【分析】 设只参加合唱的有人,那么只参加跳舞的人数为,由人没有参加演奏、人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏,得到只参加合唱的和只参加跳舞的人数和为人,即,得,所以只参加合唱的有人,那么只参加跳舞的人数为人,又由“同时参加三种节目的人比只参加合唱的人
5、少人,得到同时参加三项的有人,所以参加了合唱的人中“同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的”有:人【例1】 在不大于1000的自然数中,不能被3、5、7中任何一个整除的数共有( )个.【分析】 不管0是否属于自然数,由于它可以被3、5、7中任何一个整除,所以它不应该包含在最后的结论中。能被3整除的有10003=333(个);能被(35)整除的有1000(35)=66(个);能被(37)整除的有1000(37)=47(个);能被(57)整除的有1000(57)=28(个);能被(357)整除的有1000(357)=9(个)。所以能被3、5、7中某一个整除的有(333+200+142)(66+47+
6、28)+9=543(个),不能被3、5、7中任何一个整除的有1000543=457(个)【例2】 求分母为的最简真分数的个数。【分析】 因为,所以分子必定是这个范围内既不是的倍数,又不是的倍数的数,因为的倍数有个,的倍数有个,同时是和的倍数的数只有一个,所以既不是的倍数,又不是的倍数的数有个。也就是说分母为的最简真分数的个数是个。【例3】 求分母为的最简真分数的个数。【分析】 因为,分母为的最简真分数,其分子不可能是,的倍数。在这个自然数中:的倍数有(个)的倍数有(个)的倍数有(个)既是的倍数,又是的倍数有(个)既是的倍数,又是的倍数有(个)既是的倍数,又是的倍数有(个)同时是,,的倍数只有这
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