行列式的计算方法-.doc
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1、个人收集整理 勿做商业用途计算n阶行列式的若干方法举例 1利用行列式的性质计算例: 一个n阶行列式的元素满足 则称Dn为反对称行列式, 证明:奇数阶反对称行列式为零。 证明:由知,即故行列式Dn可表示为,由行列式的性质, 当n为奇数时,得Dn =Dn,因而得Dn = 0.2化为三角形行列式例2 计算n阶行列式解 这个行列式每一列的元素,除了主对角线上的外,都是相同的,且各列的结构相似,因此n列之和全同将第2,3,n列都加到第一列上,就可以提出公因子且使第一列的元素全是1例3 计算n阶行列式 解:这个行列式的特点是每行(列)元素的和均相等,根据行列式的性质,把第2,3,,n列都加到第1列上,行列
2、式不变,得例4:浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题(重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题)的解答中需要计算如下行列式的值:分析显然若直接化为三角形行列式,计算很繁,所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始;每一列与它一列中有n-1个数是差1的,根据行列式的性质,先从第n1列开始乘以1加到第n列,第n2列乘以1加到第n-1列,一直到第一列乘以1加到第2列。然后把第1行乘以1加到各行去,再将其化为三角形行列式,计算就简单多了.解:4降阶法(按行(列)展开法)降阶法是按某一行(或一列)展开行列式,这样可以降低一阶,更一般地是用拉普拉斯定理,
3、这样可以降低多阶,为了使运算更加简便,往往是根据行列式的特点,先利用列式的性质化简,使行列式中有较多的零出现,然后再展开。例1、计算20阶行列式分析这个行列式中没有一个零元素,若直接应用按行(列)展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算,需进行20!201次加减法和乘法运算,这人根本是无法完成的,更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素,则很快就可算出结果。注意到此行列式的相邻两列(行)的对应元素仅差1,因此,可按下述方法计算:解:例2 计算n阶行列式解 将Dn按第1行展开.例3 计算n(n2)阶行列式解 按第一行展开,得 再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开,则可得到
4、5递(逆)推公式法递推法是根据行列式的构造特点,建立起 与 的递推关系式,逐步推下去,从而求出 的值。 有时也可以找到 与 , 的递推关系,最后利用 , 得到 的值。 注意用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话,即很难找出递推关系式,从而不能使用此方法。例1 计算行列式。解:将行列式按第列展开,有,得 。同理得 , 例2 计算解同理联立解得当时,例3 计算n阶行列式解 首先建立递推关系式按第一列展开,得:这里与有相同的结构,但阶数是的行列式现在,利用递推关系式计算结果对此,只需反复进行代换,得:因,故最后,用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的当时,显然成立设对阶的情形结果
5、正确,往证对n阶的情形也正确由、可知,对n阶的行列式结果也成立根据归纳法原理,对任意的正整数n,结论成立例4 证明n阶行列式证明 按第一列展开,得其中,等号右边的第一个行列式是与有相同结构但阶数为的行列式,记作;第二个行列式,若将它按第一列展开就得到一个也与有相同结构但阶数为的行列式,记作这样,就有递推关系式:因为已将原行列式的结果给出,我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的当时,结论正确当时,结论正确设对的情形结论正确,往证时结论也正确由 可知,对n阶行列式结果也成立 根据归纳法原理,对任意的正整数n,结论成立例5、2003年福州大学研究生入学考试试题第二大题第10小题要证如下行列
6、式等式:(虽然这是一道证明题,但我们可以直接求出其值,从而证之。)分析此行列式的特点是:除主对角线及其上下两条对角线的元素外,其余的元素都为零,这种行列式称“三对角”行列式1.从行列式的左上方往右下方看,即知Dn-1与Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算.证明:Dn按第1列展开,再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有:这是由Dn1 和Dn2表示Dn的递推关系式.若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推,计算较繁,注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n2阶行列式表示n阶行列式,因此,可考虑将其变形为:或现可反复用低阶代替高阶,有:同样有:因此当时由(1)(2)式可解得:,证
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