行列式的计算方法-.doc

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计算n阶行列式的若干方法举例
1．利用行列式的性质计算
例： 一个n阶行列式的元素满足 则称Dn为反对称行列式, 证明：奇数阶反对称行列式为零。
证明：由知,即
故行列式Dn可表示为，由行列式的性质，
当n为奇数时，得Dn =－Dn，因而得Dn = 0.
2．化为三角形行列式
例2 计算n阶行列式．
解 这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n列之和全同．将第2，3，…，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1．

例3 计算n阶行列式
解：这个行列式的特点是每行(列）元素的和均相等,根据行列式的性质,把第2,3，…,n列都加到第1列上，行列式不变，得

例4：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题(重庆大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值：

［分析］显然若直接化为三角形行列式,计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质,先从第n—1列开始乘以－1加到第n列，第n—2列乘以－1加到第n-1列,一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了.
解：

4．降阶法（按行(列)展开法）
降阶法是按某一行(或一列）展开行列式，这样可以降低一阶,更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
例1、计算20阶行列式
[分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20!＊20－1次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的,更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。
　　注意到此行列式的相邻两列(行）的对应元素仅差1,因此，可按下述方法计算：
解:

例2 计算n阶行列式
解 将Dn按第1行展开
.

例3 计算n（n≥2)阶行列式．
解 按第一行展开，得．
再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到
．

5．递（逆)推公式法
递推法是根据行列式的构造特点,建立起 与  的递推关系式，逐步推下去,从而求出 的值。 有时也可以找到 与 ， 的递推关系，最后利用  ， 得到    的值。

［注意]用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话,即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。

例1 计算行列式。
解：将行列式按第列展开,有,

得 。
同理得 ，
例2 计算
解

同理
联立解得
当时,

例3 计算n阶行列式．
解 首先建立递推关系式．按第一列展开，得：

这里与有相同的结构,但阶数是的行列式．
现在，利用递推关系式计算结果．对此，只需反复进行代换，得：

因，故．
最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的．
当时,显然成立．设对阶的情形结果正确，往证对n阶的情形也正确．由
、
可知，对n阶的行列式结果也成立．根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．

例4 证明n阶行列式．
证明 按第一列展开，得．
其中，等号右边的第一个行列式是与有相同结构但阶数为的行列式,记作；第二个行列式，若将它按第一列展开就得到一个也与有相同结构但阶数为的行列式，记作．
这样，就有递推关系式：．
因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的．
当时，，结论正确．当时，，结论正确．
设对的情形结论正确，往证时结论也正确．
由 可知，对n阶行列式结果也成立．
根据归纳法原理,对任意的正整数n，结论成立．

例5、2003年福州大学研究生入学考试试题第二大题第10小题要证如下行列式等式：

（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。）
［分析］此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外,其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式[1].从行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1与Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算.
证明：Dn按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：

这是由Dn—1 和Dn—2表示Dn的递推关系式.若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递推，计算较繁,注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n—2阶行列式表示n阶行列式，因此，可考虑将其变形为:

或　
现可反复用低阶代替高阶，有：

同样有：

因此当时
由（1）（2）式可解得：，证毕.

6．利用范德蒙行列式
根据行列式的特点，适当变形(利用行列式的性质——如：提取公因式;互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去; 。。。） 把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。

例1 计算行列式
解 把第1行的－1倍加到第2行,把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式

例2 计算阶行列式．其中．
解 这个行列式的每一行元素的形状都是，0，1，2,…，n．即按降幂排列，按升幂排列，且次数之和都是n，又因,若在第i行（1,2,…，n）提出公因子，则D可化为一个转置的范德蒙行列式，即

例3 计算行列式.
解:

例4 计算行列式
解 作如下行列式，使之配成范德蒙行列式
=
易知等于中 的系数的相反数,而中 的系数为 ,因此,

例5、 计算n阶行列式

解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同,所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。
先将的第n行依次与第n—1行,n—2行，…，2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n行与第n—1行，n-2行,…，2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n—1行对换,这样，共经过（n-1）+（n—2）+…+2+1=n（n—1）/2次行对换后，得到

上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得:

7．加边法（升阶法）
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。
它要求:1 保持原行列式的值不变； 2 新行列式的值容易计算.根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第 列(行）的元素分别为 n—1 个元素的倍数的情况。

例1 计算n阶行列式
解：

例2 计算n（n≥2)阶行列式，其中．
解 先将添上一行一列，变成下面的阶行列式：
．显然，．
将的第一行乘以后加到其余各行，得．
因，将上面这个行列式第一列加第i(，…，）列的倍，得:

8．数学归纳法
当 与    是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此,数学归纳法一般是用来证明行列式等式.因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。（数学归纳法的步骤大家都比较熟悉,这里就不再说了）
例1 计算n阶行列式
解:用数学归纳法. 当n = 2时，
假设n = k时，有
则当n = k+1时，把Dk+1按第一列展开，得

由此，对任意的正整数n，有

例2 计算行列式。
解：，于是猜想 .
证明:对级数用第二数学归纳法证明。
时,结论成立。假设对级数小于时，结论成立。将级行列式按第行展开，有
.
例3 计算行列式

解：

猜测：
证明
（1）n = 1， 2, 3 时，命题成立。假设n≤k – 1 时命题成立,考察n=k的情形：

故命题对一切自然数n成立.

9．拆开法
拆项法是将给定的行列式的某一行（列)的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的。使问题简化以利计算。
例1 计算行列式
解：
=……
．
例2 计算n（n≥2）阶行列式．
解 将按第一列拆成两个行列式的和，即
．
再将上式等号右端的第一个行列式第i列(，3,…，n）减去第一列的i倍；第二个行列式提出第一列的公因子，则可得到

当n≥3时，．当时,．

例3 计算n阶行列式 ，（）．
解 将第一行的元素都表成两项的和,使变成两个行列式的和,即

将等号右端的第一个行列式按第一行展开，得: ．
这里是一个与有相同结构的阶行列式；将第二个行列式的第一行加到其余各行，得：

于是有 （1）
另一方面，如果将的第一行元素用另一方式表成两项之和:
仿上可得： （2）
将(1）式两边乘以，（2）式两边乘以，然后相减以消去，得:．

5.消去法求三对角线型行列式的值
例6 求n阶三对角线型行列式的值：
      (1）
的构造是:主对角线元全为2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为1,其余的元全为0。
解 用消去法，把中主对角线下方第一条次对角线的元1全部消成0：首先从第二行减去第一行的倍,于是第二行变为

其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的倍,则第三行变为

再从第四行减去第三行的倍，则第四行变为

类似地做下去，直到第n行减去第n – 1行的倍,则第n行变为

最后所得的行列式为
        （2）
上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次为
          93）
又主对角线下方的元全为0.故的值等于(3）中各数的连乘积，即。

注3 一般的三对角线型行列式
            （4）
也可以按上述消去法把次对角线元全部消去，得到一个三角型行列式，它的值等于该三角型行列式的主对角线元的连乘积。

10。 因式分解法
如果行列式是某个变数的多项式,可对行列式施行某些变换，求出的互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为，则，再比较与的某一项的系数,求出值.
例8 计算行列式。
解：注意时，所以，. 同理均为的因式
又与各不相同 所以
但的展开式中最高次项的系数为1，所以
注:此题也可将的第行减去第一行化为三角形行列式计算.